गणित (MATHEMATICS)

Study Material for Examination for the post of Sr. Teacher Grade II RPSC

INTEGRAL CALCULUS-I

समाकलन-I (Integration)

GYANPOINTS

+91 9461891001

समाकलन (Integration)

एक फलन का समाकलन (Integration of a function)

समाकलन अवकलन की विपरीत प्रक्रिया (reverse process) है। यदि फलन \( F(x) \) का \( x \) के सापेक्ष अवकलन \( f(x) \) हो तो \( f(x) \) का \( x \) के सापेक्ष समाकलन \( F(x) \) होता है। अर्थात् यदि

\[ \frac{d}{dx} F(x) = f(x) \]

हो तो \( \int f(x) dx = F(x) \) होगा।

अतः \( \int \left( \frac{d}{dx} F(x) \right) dx = F(x) \iff \frac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = f(x) \)

यहाँ चिह्न \( \int \) (लम्बा S) समाकलन संकारक (Integral Operator) है, \( dx \) यह बताता है कि समाकलन \( x \) के सापेक्ष करना है।

फलन \( f(x) \) का समाकलन ज्ञात करने की प्रक्रिया को समाकलन (Integration) तथा जिस फलन \( f(x) \) का समाकलन करते हैं वह समाकल्य (Integrand) कहलाता है।

अब परिभाषानुसार:

\( \because \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \implies \int 2x dx = x^2 \)
\( \because \frac{d}{dx}(x^2+3) = 2x \implies \int 2x dx = x^2 + 3 \)
\( \because \frac{d}{dx}(x^2-9) = 2x \implies \int 2x dx = x^2 - 9 \)
\( \because \frac{d}{dx}(x^2+\pi) = 2x \implies \int 2x dx = x^2 + \pi \)
\( \because \frac{d}{dx}(x^2+c) = 2x \implies \int 2x dx = x^2 + c \)

यहाँ हमने \( 2x \) का कई बार समाकलन किया, हर बार अलग परिणाम प्राप्त हुआ, लेकिन प्रत्येक समाकल में पद \( x^2 \) उभयनिष्ठ है तथा ये सभी एक अचर से ही एक दूसरे से भिन्न हैं। यह भी स्पष्ट है कि \( 2x \) का अन्तिम बार किया गया समाकल, जिसमें अचर \( c \) है, \( 2x \) का व्यापक समाकल है। \( c \) के विभिन्न मान देकर इससे अन्य सभी समाकलों को प्राप्त किया जा सकता है। अतः अब हम समाकलन की परिभाषा निम्न प्रकार लिखेंगे:

यदि \( \frac{d}{dx} F(x) = f(x) \) हो तो \( \int f(x) dx = F(x) + c \)

यहाँ \( c \) एक स्वैच्छिक अचर (arbitrary Constant) है जो कि समाकलन नियतांक (Constant of integration) कहलाता है। यह धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्णांक, परिमेय-अपरिमेय, वास्तविक-काल्पनिक कैसा भी हो सकता है। नियतांक \( c \) के कारण समाकलन के उत्तर में अनिश्चितता रहती है। इसलिये यह समाकलन अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integration) कहलाता है।

चूँकि, समाकलन, अवकलन की विपरीत प्रक्रिया है इस कारण \( f(x) \) के समाकल \( F(x) \) को \( f(x) \) का प्रति अवकलज (antiderivative) या पूर्वग (primitive) भी कहते हैं। समाकलन नियतांक \( c \) के कितने भी मान दिये जा सकते हैं अतः फलन \( f(x) \) के समाकलों \( F(x) + c \) की संख्या भी अनन्त ही हो सकती है। अर्थात् \( \int f(x) dx \) के अनंत मान (infinite values) होंगे।

समाकलन पर मूल प्रमेय (Basic Theorems on integration)

यदि \( f(x) \) और \( g(x) \) चर \( x \) के दो समाकलनीय फलन और \( a, c_1, c_2 \) अचर (constants) हों तब:

\( \int a f(x) dx = a \int f(x) dx \)
\( \int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx \)
\( \int [f(x) - g(x)] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx \)
\( \int [c_1 f(x) + c_2 g(x)] dx = c_1 \int f(x) dx + c_2 \int g(x) dx \)
\( \int \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) dx = f(x) \)
\( \frac{d}{dx} \left[ \int f(x) dx \right] = f(x) \)

मानक समाकल (Standard Integrals)

यहाँ मानक फलनों के समाकल दिये गये हैं, जो विद्यार्थियों को अच्छी तरह याद होने चाहियें जिससे समाकलन के प्रश्नों को सफलतापूर्वक हल किया जा सके।

\( \because \frac{d}{dx} (c) = 0 \implies \int 0 \cdot dx = c \)
\( \because \frac{d}{dx} (x) = 1 \implies \int 1 \cdot dx = x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (ax) = a \implies \int a \, dx = ax + c, \quad a \in \mathbb{R} \)
\( \because \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \implies \int 2x \, dx = x^2 + c \)
\( \because \frac{d}{dx} \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n \implies \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, \quad n \neq -1 \)
\( \because \frac{d}{dx} (\log x) = \frac{1}{x} \implies \int \frac{1}{x} dx = \log |x| + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \implies \int e^x dx = e^x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x} \implies \int e^{-x} dx = -e^{-x} + c \)
\( \because \frac{d}{dx} \left(\frac{a^x}{\log a}\right) = a^x \implies \int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + c, \quad (a > 0) \)
\( \because \frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x \implies \int \sin x dx = -\cos x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \implies \int \cos x dx = \sin x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x \implies \int \sec^2 x dx = \tan x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (-\cot x) = \csc^2 x \implies \int \csc^2 x dx = -\cot x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x \implies \int \sec x \tan x dx = \sec x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (-\csc x) = \csc x \cot x \implies \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \implies \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + c \) या \( -\cos^{-1} x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2} \implies \int \frac{1}{1+x^2} dx = \tan^{-1} x + c \) या \( -\cot^{-1} x + c \)
\( \because \frac{d}{dx} (\sec^{-1} x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} \implies \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = \sec^{-1} x + c \) या \( -\csc^{-1} x + c \)

\( f(ax + b) \) का समाकलन [Integration of \( f(ax + b) \)]

यदि \( \int f(x) dx = F(x) \) हो तो \( \int f(ax + b) dx = \frac{F(ax + b)}{a} + c \)

इस प्रकार \( f(ax + b) \) रूप के कुछ समाकलों का सूत्र निम्न होंगे:

\( \int (ax + b)^n dx = \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n+1)} + c \quad (n \neq -1) \)
\( \int \frac{dx}{ax + b} = \frac{1}{a} \log |ax + b| + c \)
\( \int e^{ax+b} dx = \frac{e^{ax+b}}{a} + c \)
\( \int \frac{dx}{1 + (ax+b)^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} (ax+b) + c \)
\( \int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + c \)

इसी प्रकार \( (ax+b) \) को समाहित करने पर अन्य मानक फलनों के समाकलन के सूत्र लिखे जा सकते हैं।

समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration)

अवकलन की तरह ही समाकलन की भी विभिन्न विधियाँ हैं जिनके द्वारा फलनों के योग, अंतर, गुणा व फलनों के फलन का समाकलन किया जाता है। जब समाकल्य न तो मानक रूप में हो और न ही किसी मानक प्रति अवकलज में बदलने योग्य हो तब निम्न विधियों द्वारा समाकलन करेंगे:

(i) प्रतिस्थापन या स्वतंत्र चर परिवर्तन द्वारा समाकलन (Integration by substitution or by change of independent variable)
(ii) खण्डशः समाकलन (Integration by parts)
(iii) परिमेय फलनों को आंशिक भिन्नों में वियोजित करके (By resolving rational functions into partial fractions)

प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution)

यह विधि 'फलनों के फलन' के अवकलन के संगत है। जब समाकल्य दो खण्डों के गुणा के रूप में हो और यह कोई मानक प्रति अवकलज न हो, न उसमें परिवर्तित हो रहा हो और एक फलन दूसरे का अवकलज हो तब इस विधि का प्रयोग करते हैं।

(i) \( \int f(x) \cdot f'(x) dx \) रूप के समाकल:
यहाँ \( f(x) = t \) लेने पर \( f'(x)dx = dt \), अतः \( \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c = \frac{[f(x)]^2}{2} + c \).

(ii) \( \int \phi[f(x)] \cdot f'(x) dx \) रूप के समाकल:
यहाँ \( f(x) = t \implies f'(x)dx = dt \implies \int \phi(t) dt \).

(iii) \( \int [f(x)]^n \cdot f'(x) dx \) रूप के समाकल:
यहाँ \( f(x) = t \implies \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1) \).

(iv) \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx \) रूप के समाकल:
\( f(x) = t \implies \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c = \log |f(x)| + c \).

(v) उपरोक्त पर आधारित मानक समाकल (Standard integrals based on above form):

(a) \( \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\log|\cos x| + c = \log|\sec x| + c \)
(b) \( \int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \log|\sin x| + c \)
(c) \( \int \sec x \, dx = \int \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx = \log|\sec x + \tan x| + c = \log\left|\tan\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right| + c \)
(d) \( \int \csc x \, dx = \int \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} dx = \log|\csc x - \cot x| + c = \log\left|\tan\frac{x}{2}\right| + c \)
(e) \( \int \frac{dx}{a\sin x + b\cos x} \): माना \( a = r\cos\theta, b = r\sin\theta \implies r = \sqrt{a^2+b^2}, \tan\theta = \frac{b}{a} \).
\( = \int \frac{dx}{r\sin(x+\theta)} = \frac{1}{r} \int \csc(x+\theta) dx = \frac{1}{r} \log\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\theta}{2}\right)\right| + c \)

खण्डशः समाकलन (Integration by parts)

यह विधि अवकलन में दो फलनों के गुणा के अवकलन के संगत समाकलन की विधि है। जब समाकल्य, दो खण्डों के गुणा के रूप में हो और उसका समाकलन प्रतिस्थापन द्वारा या किसी पूर्व विधि से न हो तब इस विधि को काम में लाते हैं।

माना \( U \) और \( V \) दोनों \( x \) के फलन हैं तब:

\[ \frac{d}{dx} (UV) = U \frac{dV}{dx} + V \frac{dU}{dx} \] समाकलन लेने पर: \[ \int U V dx = U \int V dx - \int \left( \frac{dU}{dx} \int V dx \right) dx \]

अर्थात्: दो फलनों के गुणा का समाकलन = [प्रथम फलन × द्वितीय का समाकलन] - [प्रथम का अवकलन × द्वितीय का समाकलन] का समाकलन।

प्रथम फलन का चयन (Selection of first function):
\( \int uv \, dx \) का खण्डशः समाकलन करते समय प्रथम फलन उसे मानते हैं जो अवकलन करने पर सरल फलन में बदल जाये या जिसका अभी तक समाकलन ज्ञात न हो। इसके लिये हम शब्द ILATE के अक्षरों के क्रम के अनुसार प्रथम फलन का चयन करते हैं:

I - प्रतिलोम फलन (Inverse function)
L - लघुगणक फलन (Logarithmic function)
A - बीजीय फलन (Algebraic function)
T - त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric function)
E - चरघातांकी फलन (Exponential function)

विशेष रूप (Special Forms)

(i) \( \int e^{ax} \sin bx \, dx \) और \( \int e^{ax} \cos bx \, dx \)

\( \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx - b\cos bx) + c = \frac{e^{ax}}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin(bx - \tan^{-1}\frac{b}{a}) + c \)
\( \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx + b\sin bx) + c = \frac{e^{ax}}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos(bx - \tan^{-1}\frac{b}{a}) + c \)

(ii) \( \int e^x [f(x) + f'(x)] dx \) रूप का समाकलन

\[ \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c \]

आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by partial fractions)

परिमेय फलन (Rational function): यदि \( f(x) \) और \( g(x) \) दो बहुपदीय व्यंजक हों तथा \( g(x) \neq 0 \), तब \( \frac{f(x)}{g(x)} \) एक परिमेय फलन कहलाता है। यदि \( f(x) \) की घात, \( g(x) \) की घात से कम हो तो यह एक उचित परिमेय फलन (proper rational function) कहलाता है।

हर में गुणनखण्ड (Factor in Dr.) -> संगत आंशिक भिन्न (Corresponding partial fraction)

\( x - a \rightarrow \frac{A}{x - a} \)
\( (x - a)^2 \rightarrow \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} \)
\( ax^2 + bx + c \rightarrow \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} \)

अति महत्वपूर्ण (Most Important / Standard Results)

\( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}\frac{x}{a} + c \)
\( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 + x^2}} = \log|x + \sqrt{a^2 + x^2}| + c \)
\( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c \)
\( \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + c \)
\( \int \sqrt{a^2 + x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2}\log|x + \sqrt{a^2 + x^2}| + c \)
\( \int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + c \)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions)

(Note: Each question is based on the indefinite integration of functions. Choose the correct option.)

01. \( \int \frac{2x}{x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \tan^{-1}x + c \) (2) \( -\tan^{-1}x + c \) (3) \( \tan^{-1}x - c \) (4) \( \log(x^2+1) + c \)

02. \( \int \frac{dx}{x^2+7} \) का मान है-
(1) \( \frac{1}{\sqrt{7}} \tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{7}} + c \) (2) \( \frac{1}{7} \tan^{-1}\frac{x}{7} + c \) (3) \( \log(x+\sqrt{x^2+7}) + c \) (4) \( \log(x^2+7) + c \)

03. \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-8}} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \sin^{-1}\frac{x}{2\sqrt{2}} + c \) (2) \( \log|x+\sqrt{x^2-8}| + c \) (3) \( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1}\frac{x}{2} + c \) (4) \( \sin^{-1}\frac{x}{8} + c \)

04. \( \int \frac{dx}{\sqrt{10-x^2}} \) बराबर है-
(1) \( \sin^{-1}\frac{x}{\sqrt{10}} + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{10}} \log\left|\frac{\sqrt{10}+x}{\sqrt{10}-x}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{\sqrt{10}} \log\left|\frac{x+\sqrt{10}}{x-\sqrt{10}}\right| + c \) (4) \( \frac{1}{2\sqrt{10}} \log\left|\frac{\sqrt{10}+x}{\sqrt{10}-x}\right| + c \)

05. \( \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-4}} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2} \sec^{-1}\frac{x}{2} + c \) (2) \( \log|x+\sqrt{x^2-4}| + c \) (3) \( \frac{1}{2} \log\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + c \) (4) \( \log(x^2+4) + c \)

06. \( \int \sqrt{x^2-4} dx \) का मान है-
(1) \( \frac{x}{2}\sqrt{x^2-4} - 2\log|x+\sqrt{x^2-4}| + c \) (2) \( \frac{x}{2}\sqrt{x^2-4} + \log|x+\sqrt{x^2-4}| + c \)
(3) \( 2\log|x+\sqrt{x^2-4}| + x\sqrt{x^2-4} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

07. \( \int \frac{dx}{\sqrt{25-x^2}} \) बराबर है-
(1) \( \sin^{-1}\frac{x}{5} + c \) (2) \( \log|x+\sqrt{x^2-25}| + c \) (3) \( \log|x+\sqrt{x^2+25}| + c \) (4) \( \sin^{-1}\frac{x}{7} + c \)

08. \( \int 3^x e^x dx \) का मान है-
(1) \( \frac{3^x e^x}{\log 3 + 1} + c \) (2) \( \frac{3^x e^x}{\log 3 - 1} + c \) (3) \( \frac{3^x e^x}{\log 3} + c \) (4) \( \frac{3^x e^x}{\log 3} + e^x + c \)

09. \( \int \frac{dx}{3+2x-x^2} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{4}\log\left|\frac{3+x}{1-x}\right| + c \) (2) \( \log(3+2x) + c \) (3) \( \frac{2x}{3+2x-x^2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

11. \( \int \sec^2(ax - b) dx \) बराबर है-
(1) \( \tan(ax - b) + c \) (2) \( \frac{1}{a} \tan(ax - b) + c \) (3) \( a \tan(ax - b) + c \) (4) \( a \cot(ax - b) + c \)

12. \( \int \csc(x/a) dx \) बराबर है-
(1) \( \log|\sin(x/a)| + c \) (2) \( \log|\csc(x/a)| + c \) (3) \( a\log\left|\tan\frac{x}{2a}\right| + c \) (4) \( \log|\tan(x/a)| + c \)

13. \( \int \cos \frac{x}{a} \cdot \sin \frac{x}{a} \, dx \) का मान है-
(1) \( -\frac{a}{4}\cos\frac{2x}{a} + c \) (2) \( \frac{a}{2}\sin^2\frac{x}{a} + c \) (3) \( -\frac{a}{2}\cos^2\frac{x}{a} + c \) (4) सभी (All of these)

14. \( \int \frac{dx}{\cos(5x - \frac{\pi}{4})} \) का मान है-
(1) \( \log\left|\cos(5x - \frac{\pi}{4})\right| + c \) (2) \( \frac{1}{5}\log\left|\tan(\frac{5x}{2} + \frac{\pi}{8})\right| + c \)
(3) \( \frac{1}{5}\log\left|\tan(\frac{5x}{2} + \frac{3\pi}{8})\right| + c \) (4) \( \frac{1}{5}\sec(5x - \frac{\pi}{4}) + c \)

15. \( \int (\sec 3x - \csc 3x) dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{3}\log|\sec 3x + \tan 3x| + \frac{1}{3}\log|\csc 3x - \cot 3x| + c \) (2) \( \log|\sin 3x| + c \)
(3) \( \frac{1}{3}(\sec 3x - \csc 3x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

16. \( \int \frac{x^2}{(1+x)(1+x^2)} dx \) का मान है-
(1) \( \frac{1}{2}\log(1+x^2) - \frac{1}{2}\log(1+x) + c \) (2) \( \frac{1}{2}\log(1+x^2) + \log(1+x) + c \)
(3) \( \log(1+x^2) + c \) (4) \( -\frac{1}{2}\log|1+x| + \frac{1}{4}\log(1+x^2) + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + c \)

17. \( \int \sin 10x \cdot \sin 15x \, dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\sin 5x}{10} - \frac{\sin 25x}{50} + c \) (2) \( \frac{\cos 25x}{50} - \frac{\cos 5x}{10} + c \)
(3) \( \frac{\sin 25x}{50} - \frac{\sin 5x}{10} + c \) (4) \( \frac{\cos 25x}{50} + \frac{\cos 5x}{10} + c \)

18. \( \int \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{x}{3} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{3}{5}\sin\frac{5x}{6} + 3\sin\frac{x}{6} + c \) (2) \( \frac{3}{5}\sin\frac{5x}{6} + 3\sin\frac{x}{6} + c \)
(3) \( \frac{3}{5}\sin\frac{5x}{6} - 3\sin\frac{x}{6} + c \) (4) \( \frac{3}{5}\cos\frac{5x}{6} - 3\cos\frac{x}{6} + c \)

19. \( \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|\tan \frac{x}{2}| + \log|\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})| + c \) (2) \( \csc x - \sec x + c \)
(3) \( \sec x + \csc x + c \) (4) \( \sec x - \csc x + c \)

20. \( \int \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \) बराबर है-
(1) \( \tan x - \cot x + 2x + c \) (2) \( \tan x + \cot x + 2x + c \)
(3) \( \tan x - \cot x - 2x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

21. \( \int \frac{x^3}{(x+1)^2} dx \) बराबर है-
(1) \( 3\log|x+1| + c \) (2) \( \frac{x^2}{2} - 2x + 3\log|x+1| + \frac{1}{x+1} + c \)
(3) \( \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{1}{2(x+1)^2} + c \) (4) \( \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{1}{x+1} + c \)

22. \( \int a^{3\log_a x} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^4}{4} + c \) (2) \( \frac{x^3}{3} + c \) (3) \( \frac{a^{4\log_a x}}{4} + c \) (4) \( \frac{x^4}{4\log a} + c \)

23. \( \int \frac{x^3 - 27}{x^2 + 3x + 9} dx \) का मान है-
(1) \( \frac{x^2}{2} + 3x + c \) (2) \( \frac{x^2}{2} - 3x + c \) (3) \( x^2 + 3x + c \) (4) \( x^2 - 3x + c \)

24. \( \int \frac{dx}{x^2-1} \) का मान है-
(1) \( \cos^{-1}(x-1) + c \) (2) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + c \)
(3) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + c \) (4) \( \sin^{-1}(x-1) + c \)

25. \( \int \frac{dx}{1-\sin x} \)
(1) \( \tan x + \sec x + c \) (2) \( \tan x - \sec x + c \) (3) \( \cot(x/2) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

26. \( \int \sin^{-1}(\cos x) dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\pi x}{2} + \frac{x^2}{2} + c \) (2) \( \frac{\pi x}{2} - \frac{x^2}{2} + c \) (3) \( x - \frac{x^2}{2} + c \) (4) \( \frac{\pi}{2} - x^2 \)

27. \( \int \cos^{-1}(\sin x) dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\pi x}{2} - \frac{x^2}{2} + c \) (2) \( \sin^{-1}x + c \) (3) \( \frac{\pi}{2}x + \frac{x^2}{2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

28. \( \int \tan^{-1}(\sec x + \tan x) dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{2} + c \) (2) \( \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c \) (3) \( \frac{\pi}{4}x + x^2 + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

29. \( \int \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \) बराबर है-
(1) \( \tan x - \cot x - 3x + c \) (2) \( \tan x + \cot x + 3x + c \) (3) \( \tan x - \cot x + 3x + c \) (4) \( \tan x + \cot x - 3x + c \)

30. \( \int \tan^{-1}\left(\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right) dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{2} + c \) (2) \( \frac{\pi x}{4} + x^2 + c \) (3) \( \frac{\pi}{4} + \frac{x^2}{2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

31. \( \int \frac{x^4+1}{x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^3}{3} - x + 2\tan^{-1}x + c \) (2) \( \frac{x^3}{3} + x - 2\tan^{-1}x + c \)
(3) \( \frac{x^3}{3} + x + 2\tan^{-1}x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

32. \( \int \frac{\cos 2x - \cos 2\alpha}{\cos x - \cos \alpha} dx \) बराबर है-
(1) \( 2\sin x + 2x\cos\alpha + c \) (2) \( \sin x + 2x\cos\alpha + c \) (3) \( 2\sin x + x\cos\alpha + c \) (4) \( 2\sin x + c \)

33. \( \int \frac{dx}{(x-2)(x-3)} \) बराबर है-
(1) \( \log\left|\frac{x-2}{x-3}\right| + c \) (2) \( \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + c \) (3) \( \log\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + c \) (4) \( \log\left|\frac{x-2}{x-3}\right| + c \)

34. \( \int \frac{e^{5x}+e^{3x}}{e^{x}+e^{-x}} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{e^{4x}}{4} + c \) (2) \( \frac{e^{4x}}{4} + c \) (3) \( e^{4x} + c \) (4) \( \log(e^x+e^{-x}) + c \)

35. यदि \( \frac{d}{dx}[F(x)] = f(x) \) हो तब \( \int f(x) dx \) के-
(1) अद्वितीय मान होगा (unique value) (2) कम से कम दो मान होंगे (atleast two values)
(3) निश्चित मान होंगे (finite values) (4) अनंत मान होंगे (infinite values)

36. यदि \( f(x) \) व \( g(x) \) दो फलन इस प्रकार हों कि \( \int f(x) dx = \int g(x) dx \) तब सामान्यतयाः-
(1) \( f(x) = g(x) \) (2) \( f(x) > g(x) \) (3) \( f(x) < g(x) \) (4) \( f(x) \neq g(x) \)

37. समाकलन नियतांक (Constant of integration)-
(1) हमेशा धनात्मक होगा (always positive) (2) हमेशा वास्तविक होगा (always real)
(3) हमेशा पूर्णांक होगा (always an integer) (4) काल्पनिक भी हो सकता है (may be imaginary)

38. \( \int \frac{dx}{\sqrt{1-\sin 2x}} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{\sqrt{2}}\log|\sec(x-\frac{\pi}{4}) + \tan(x-\frac{\pi}{4})| + c \) (2) \( \log|\sec(x+\frac{\pi}{4})| + c \)
(3) \( \log|\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

39. \( \int \frac{dx}{x(x^3+1)} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{3}\log\left|\frac{x^3}{x^3+1}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{3}\log\left|\frac{x^3+1}{x^3}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{3}\log|x^3+1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

40. \( \int \frac{dx}{x(x^6+1)} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{6}\log\left|\frac{x^6}{x^6+1}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{6}\log\left|\frac{x^6+1}{x^6}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{3}\tan^{-1}(x^3) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

41. \( \int \frac{dx}{x(x^6-1)} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{6}\log\left|\frac{x^6-1}{x^6}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{6}\log\left|\frac{x^6}{x^6-1}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{6}\log|x^6-1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

42. \( \int \frac{x^2+1}{x^4+x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|x^2+x+1| + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x\sqrt{3}}\right) + c \) (3) \( \tan^{-1}\left(\frac{x^2-1}{x}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

43. \( \int \frac{\sec x}{\log(\sec x + \tan x)} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|\sec x + \tan x| + c \) (2) \( \log|\log(\sec x + \tan x)| + c \) (3) \( \sec^2 x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

44. \( \int \frac{\tan x}{\sin x \cos x} dx \) बराबर है-
(1) \( \tan x + c \) (2) \( \cot x + c \) (3) \( \log|\tan x| + c \) (4) \( 2\tan x + c \)

45. \( \int \frac{x^2}{1+x^6} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{3}\tan^{-1}(x^3) + c \) (2) \( \frac{1}{2}\tan^{-1}(x^3) + c \) (3) \( 3\tan^{-1}(x^3) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

46. \( \int \frac{\cot x}{\log(\sin x)} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{(\log\sin x)^2}{2} + c \) (2) \( \frac{\cot^2 x}{2} + c \) (3) \( \log|\sin x| + c \) (4) \( \log|\log(\sin x)| + c \)

47. \( \int 2\tan x \sec^2 x dx \) बराबर है-
(1) \( \tan^2 x + c \) (2) \( \sec^2 x + c \) (3) दोनों (Both 1 and 2) (4) इनमें से कोई नहीं

48. \( \int \frac{dx}{x\sqrt{1-(\log x)^2}} \) बराबर है-
(1) \( \sin^{-1}(\log x) + c \) (2) \( \log|\sin^{-1}x| + c \) (3) \( \log|1-\log x| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

49. \( \int \frac{2\log x}{x} dx \) बराबर है-
(1) \( (\log x)^2 + c \) (2) \( 2(\log x)^2 + c \) (3) \( \frac{2}{3}(\log x)^3 + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

50. \( \int \frac{1+\tan x}{x+\log\sec x} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2}[\log|x+\log\sec x|]^2 + c \) (2) \( \log|x+\log\sec x| + c \) (3) \( \log(1+\tan x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

51. \( \int \frac{\sin 2x}{a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{b^2-a^2}\log|a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x| + c \) (2) \( \frac{1}{a^2-b^2}\log|a^2\cos^2 x + b^2\sin^2 x| + c \)
(3) \( \log|\sin 2x| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

52. \( \int \frac{2x+1}{x^2+x-3} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|x^2+x-3| + c \) (2) \( \frac{(x^2+x-3)^2}{2} + c \) (3) \( \log(2x+1) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

53. \( \int \frac{3x^2-2x+5}{x^3-x^2+5x-3} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|x^3-x^2+5x-3| + c \) (2) \( \log|3x^2-2x+5| + c \) (3) \( \tan^{-1}(x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

54. \( \int \frac{\sec^2(1+\log x)}{x} dx \) बराबर है-
(1) \( \sec(1+\log x) + c \) (2) \( \cot(1+\log x) + c \) (3) \( \csc(1+\log x) + c \) (4) \( \tan(1+\log x) + c \)

55. \( \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|\sin x + \cos x| + c \) (2) \( 2\log|\sin x + \cos x| + c \) (3) \( \cos^2 x + c \) (4) \( \log|\sin x - \cos x| + c \)

56. \( \int 3e^{3x}\cos(e^{3x}) dx \) बराबर है-
(1) \( \cos(e^{3x}) + c \) (2) \( \sin(e^{3x}) + c \) (3) \( \frac{1}{3}\sin(e^{3x}) + c \) (4) \( \frac{1}{3}\cos(e^{3x}) + c \)

57. \( \int \frac{x^3}{x^4+1} dx \) का मान है-
(1) \( \log|x^4+1| + c \) (2) \( \frac{1}{4}\log|x^4+1| + c \) (3) \( 4\log|x^4+1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

58. \( \int \sqrt{a^2-x^2} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + c \) (2) \( \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} - \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\frac{x}{a} + c \)
(3) \( \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\cos^{-1}\frac{x}{a} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

59. \( \int 5^x dx \) का मान है-
(1) \( \frac{5^x}{\log 5} + c \) (2) \( 5^x + c \) (3) \( \frac{5^x}{\log 5} + 2 + c \) (4) \( 5^x \log 5 + c \)

60. \( \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx \) का मान है-
(1) \( \log|\sin x + \cos x| + c \) (2) \( -\log|\sin x + \cos x| + c \) (3) \( \log|\sin x - \cos x| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

61. \( \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx \) का मान है-
(1) \( \sqrt{\tan x} + c \) (2) \( \log|\cos x| + c \) (3) \( 2\sqrt{\tan x} + c \) (4) \( 3\tan x + c \)

62. \( \int \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^2 x - \cos^2 x} dx \) बराबर है-
(1) \( x + c \) (2) \( \frac{\sin 2x}{2} + c \) (3) \( \frac{x}{2} + c \) (4) \( \frac{\cos 2x}{2} + c \)

63. \( \int \frac{dx}{\sqrt{5-4x-x^2}} \) बराबर है-
(1) \( \sin^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c \) (2) \( \cos^{-1}\left(\frac{x+2}{3}\right) + c \) (3) \( \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{3}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

64. \( \int \frac{2x + \log(x^2+1)}{x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \log(x^2+1) + c \) (2) \( [\log(x^2+1)]^2 + c \) (3) \( \frac{1}{2}[\log(x^2+1)]^2 + \log(x^2+1) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

65. \( \int \frac{p \cos x + \sin x}{p \sin x - \cos x} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|p \sin x - \cos x| + c \) (2) \( \log|p \cos x + \sin x| + c \) (3) \( \tan^{-1}(p x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

66. \( \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|e^x - e^{-x}| + c \) (2) \( \log(e^x + e^{-x}) + c \) (3) \( \tan^{-1}(e^x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

67. \( \int \frac{x^4}{x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^3}{3} - x + \tan^{-1}x + c \) (2) \( \frac{x^3}{3} + x + \tan^{-1}x + c \) (3) \( x^3 - x + \tan^{-1}x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

68. \( \int e^x \frac{x^2+1}{(x+1)^2} dx \) बराबर है-
(1) \( e^x \frac{x-1}{x+1} + c \) (2) \( e^x \frac{x+1}{x-1} + c \) (3) \( e^x \tan x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

69. \( \int x e^{x^2} dx \) बराबर है-
(1) \( e^{x^2} + c \) (2) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + c \) (3) \( 2e^{x^2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

70. \( \int \frac{dx}{(x+1)(x+3)} \) बराबर है-
(1) \( \log\left|\frac{x+1}{x+3}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x+3}{x+1}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x+1}{x+3}\right| + c \) (4) \( \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{x+3}\right) + c \)

71. \( \int \cos^2 x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c \) (2) \( \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c \) (3) \( \frac{\sin 3x}{3} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

72. \( \int x^2 e^{3x} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^2 e^{3x}}{3} - \frac{2x e^{3x}}{9} + \frac{2e^{3x}}{27} + c \) (2) \( \frac{e^{3x}}{3}(x^2 - \frac{2x}{3} + \frac{2}{9}) + c \) (3) दोनों (Both 1 & 2) (4) इनमें से कोई नहीं

73. \( \int 2^x x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{2^x \cdot x}{\log 2} - \frac{2^x}{(\log 2)^2} + c \) (2) \( \frac{2^x \cdot x}{\log 2} + c \) (3) \( \frac{x^2}{2} \cdot 2^x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

74. \( \int x^3 e^x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^4}{4} e^x + c \) (2) \( e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + c \) (3) \( e^x(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

75. \( \int e^x \sin x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{e^x}{\sqrt{2}} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + c \) (2) \( \frac{e^x}{\sqrt{2}} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + c \)
(3) \( \frac{e^x}{\sqrt{2}} \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + c \) (4) \( \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + c \)

76. \( \int e^{4x} \cos 5x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{e^{4x}}{41} (4\cos 5x + 5\sin 5x) + c \) (2) \( \frac{e^{4x}}{41} (4\cos 5x - 5\sin 5x) + c \)
(3) \( \frac{e^{4x}}{41} (5\cos 5x + 4\sin 5x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

77. \( \int \frac{dx}{x(x^4+1)} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{4}\log\left|\frac{x^4}{x^4+1}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{4}\log\left|\frac{x^4+1}{x^4}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{4}\log|x^4+1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

78. \( \int \frac{dx}{x(x^5-1)} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{5}\log\left|\frac{x^5-1}{x^5}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{5}\log\left|\frac{x^5}{x^5-1}\right| + c \) (3) \( \frac{1}{5}\log|x^5-1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

79. \( \int \frac{dx}{x^2-x+1} \) बराबर है-
(1) \( \frac{2}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) + c \) (3) \( \log|x^2-x+1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

80. \( \int \frac{dx}{x^2+x+3} \) बराबर है-
(1) \( \frac{2}{\sqrt{11}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{11}}\tan^{-1}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{11}}\right) + c \) (3) \( \frac{2}{\sqrt{11}}\tan^{-1}\left(\frac{2x-1}{\sqrt{11}}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

81. \( \int \frac{dx}{3+2\cos x} \) बराबर है-
(1) \( \frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\tan\frac{x}{2}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\tan\frac{x}{2}\right) + c \)
(3) \( \frac{2}{\sqrt{5}}\tan^{-1}\left(\sqrt{5}\tan\frac{x}{2}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

82. \( \int \frac{dx}{5+4\sin x} \) बराबर है-
(1) \( \frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{5\tan(x/2)+4}{3}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{5\tan(x/2)+4}{3}\right) + c \)
(3) \( \frac{2}{3}\tan^{-1}\left(\frac{5\tan(x/2)-4}{3}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

83. \( \int e^x(\cot x - \csc^2 x) dx \) बराबर है-
(1) \( e^x \cot x + c \) (2) \( e^x \csc x + c \) (3) \( -e^x \cot x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

84. \( \int e^x \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 dx \) (Note: Typo in OCR, interpreted based on standard matching integrals)
(1) \( e^x \frac{1}{x+1} + c \) (2) \( e^x \frac{x}{x+1} + c \) (3) \( e^x \frac{x-1}{x+1} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

85. \( \int e^x (\tan^{-1}x + \frac{1}{1+x^2}) dx \) बराबर है-
(1) \( e^x \tan x + c \) (2) \( e^x \tan^{-1}x + c \) (3) \( e^x \cot^{-1}x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

86. \( \int \frac{dx}{4\cos^2 x + 9\sin^2 x} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{3\tan x}{2}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{2\tan x}{3}\right) + c \) (3) \( \frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{3\tan x}{2}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

87. \( \int e^x \left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right) dx \) बराबर है-
(1) \( e^x \tan(x/2) + c \) (2) \( e^x \sec(x/2) + c \) (3) \( e^x \sin(x/2) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

88. \( \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx \) बराबर है-
(1) \( 2\log(e^{x/2} + e^{-x/2}) + c \) (2) \( \log(e^x + 1) - x + c \) (3) दोनों (Both 1 & 2) (4) इनमें से कोई नहीं

89. \( \int \frac{x}{(x-1)(x^2+1)} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2}\log|x-1| - \frac{1}{4}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + c \) (2) \( \frac{1}{2}\log|x-1| + \frac{1}{4}\log(x^2+1) + c \)
(3) \( \log|x-1| + \tan^{-1}x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

90. \( \int \tan^{-1}\sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{\pi x}{4} - \frac{x^2}{4} + c \) (2) \( \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + c \) (3) \( \frac{x^2}{2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

91. \( \int \frac{x^3-6x^2+11x-6}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx \) बराबर है-
(1) \( x^2/2 + c \) (2) \( x + c \) (3) \( x - c \) (4) \( \log|(x-1)(x-2)(x-3)| + c \)

92. \( \int \frac{x^4+x^2+1}{x^2-x+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + c \) (2) \( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + c \) (3) \( \frac{x^3}{3} + x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

93. \( \int \frac{dx}{x \log x \log(\log x)} \) बराबर है-
(1) \( \log|\log(\log x)| + c \) (2) \( \log|\log x| + c \) (3) \( \log x + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

94. \( \int \frac{dx}{4\cos^2 x + 9\sin^2 x} \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{3\tan x}{2}\right) + c \) (2) \( \frac{1}{6}\tan^{-1}\left(\frac{2\tan x}{3}\right) + c \) (3) \( \frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{3\tan x}{2}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

95. \( \int \frac{3x^2+4x+1}{x^2-1} dx \) बराबर है-
(1) \( 3x + \log|x-1| + c \) (2) \( 3x - \log|x-1| + c \) (3) \( \log|x-1| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

96. \( \int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2}\log|x-1| - 4\log|x-2| + \frac{9}{2}\log|x-3| + c \) (2) \( \log|(x-1)(x-2)(x-3)| + c \)
(3) \( \frac{1}{2}\log|x-1| - 2\log|x-2| + \frac{9}{2}\log|x-3| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

97. \( \int 3\tan 2x \sec^2 2x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{3}{4}\sec^2 2x + c \) (2) \( \frac{3}{4}\tan^2 2x + c \) (3) दोनों (Both 1 & 2) (4) इनमें से कोई नहीं

98. \( \int x^3 \sqrt{a^2-x^2} dx \) बराबर है-
(1) \( -\frac{1}{5}(a^2-x^2)^{5/2} + \frac{a^2}{3}(a^2-x^2)^{3/2} + c \) (2) \( -\frac{x^2}{3}(a^2-x^2)^{3/2} + c \)
(3) \( -\frac{1}{5}(a^2-x^2)^{5/2} - \frac{a^2}{3}(a^2-x^2)^{3/2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

99. \( \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}} \) बराबर है-
(1) \( 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6\log(x^{1/6}+1) + c \) (2) \( 2x^{1/2} + 3x^{1/3} + c \)
(3) \( x^{1/2} - x^{1/3} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

100. \( \int \frac{dx}{1+\csc x} \) बराबर है-
(1) \( x - \frac{2}{\cot(x/2)+1} + c \) (2) \( x + \frac{2}{\tan(x/2)+1} + c \) (3) \( x - \frac{2}{\tan(x/2)+1} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

101. \( \int \frac{dx}{x(x^n+1)}, n \in N \) का मान है-
(1) \( \frac{1}{n} \log\left|\frac{x^n}{x^n+1}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{n} \log\left|\frac{x^n+1}{x^n}\right| + c \) (3) \( \log\left|\frac{x^n}{x^n+1}\right| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

102. \( \int a^{a^{a^x}} a^{a^x} a^x dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{a^{a^{a^x}}}{(\log a)^3} + c \) (2) \( \frac{a^{a^{a^x}}}{\log a} + c \) (3) \( a^{a^{a^x}} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

103. \( \int \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} dt \) बराबर है-
(1) \( \sin^{-1}t + \sqrt{1-t^2} + c \) (2) \( \sin^{-1}t - \sqrt{1-t^2} + c \) (3) \( \sin^{-1}t + \sqrt{1+t^2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

104. \( \int \frac{x+\sin x}{1+\cos x} dx \) बराबर है-
(1) \( x \tan\left(\frac{x}{2}\right) + c \) (2) \( x \cot\left(\frac{x}{2}\right) + c \) (3) \( \log(1+\cos x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

105. \( \int \frac{dx}{\sin^6 x + \cos^6 x} \) बराबर है-
(1) \( \tan^{-1}(\tan x - \cot x) + c \) (2) \( \tan^{-1}(\tan x + \cot x) + c \) (3) \( \tan^{-1}(\sin x - \cos x) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

106. \( \int \frac{dx}{\sin(x-\alpha)\sin(x-\beta)} \) बराबर है-
(1) \( \csc(\alpha-\beta) \log\left|\frac{\sin(x-\alpha)}{\sin(x-\beta)}\right| + c \) (2) \( \sec(\alpha-\beta) \log\left|\frac{\sin(x-\alpha)}{\sin(x-\beta)}\right| + c \)
(3) \( \log\left|\frac{\sin(x-\alpha)}{\sin(x-\beta)}\right| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

107. \( \int \frac{\sin x}{\cos(x/2)\cos(5x/2)} dx \) बराबर है-
(1) \( \log|\sec(x/2)| - \log|\sec(5x/2)| + c \) (2) \( \log|\sec(x/2)| + c \) (3) \( \log|\tan(5x/2)| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

108. \( \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{3/4}} \) बराबर है-
(1) \( 4x^{1/4} - 4\log(1+x^{1/4}) + c \) (2) \( 4x^{1/4} + c \) (3) \( \log(1+x^{1/4}) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

109. \( \int x^{-3/4}(1+x^{1/4})^{-3} dx \) बराबर है-
(1) \( -\frac{2}{(1+x^{1/4})^2} + c \) (2) \( \frac{2}{(1+x^{1/4})^2} + c \) (3) \( -\frac{1}{(1+x^{1/4})^2} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

110. \( \int \frac{x^2-1}{x^4+x^2+1} dx \) बराबर है-
(1) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right| + c \) (2) \( \frac{1}{2}\log\left|\frac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\right| + c \) (3) \( \log\left|\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right| + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

111. \( \int \frac{x^2-1}{x^2+1} \frac{dx}{\sqrt{1+x^4}} \) का मान है-
(1) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}x}{1+x^2}\right) + c \) (2) \( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}x}{1+x^2}\right) + c \) (3) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}x}{1+x^2}\right) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

112. \( \int e^x \left(\log x + \frac{1}{x^2}\right) dx \) बराबर है-
(1) \( e^x \log x + c \) (2) \( e^x (\log x - \frac{1}{x}) + c \) (3) \( e^x (\log x + \frac{1}{x}) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं

Answer Key - Objective Questions (Indefinite Integration)
Qus.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ans	4	1	2	1	1	1	1	1	1	1	2	3	4	3	1
Qus.	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ans	4	1	2	1	3	2	1	2	2	3	4	4	3	1	2
Qus.	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Ans	1	3	3	2	4	4	4	2	3	4	1	3	2	4	4
Qus.	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Ans	4	2	2	3	2	4	1	3	4	1	3	2	1	1	3
Qus.	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
Ans	3	1	1	3	1	4	4	1	2	3	1	2	1	3	1
Qus.	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
Ans	1	3	3	2	3	1	4	1	4	2	4	1	1	2	3
Qus.	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105
Ans	2	1	1	3	1	3	3	3	1	2	1	3	3	2	4
Qus.	106	107	108	109	110	111	112
Ans	3	4	4	2	2	1	2

पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)

(Note: Each question is based on the integration of functions. Choose the correct option.)

01. \( \int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx \) बराबर है- (equals:) H-TET 2008
(1) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x^2 - \sqrt{2}x + 1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \right| + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \)
(3) \( \tan^{-1}(x^2) + c \) (4) इनमें से कोई नहीं (None of these)

02. \( \int \frac{dx}{x(x^5 + 1)} \) बराबर है- (equals:) H-TET 2008
(1) \( \frac{1}{5} \log \left| \frac{x^5}{x^5 + 1} \right| + c \) (2) \( \frac{1}{5} \log \left| \frac{x^5 + 1}{x^5} \right| + c \)
(3) \( \log(x^5 + 1)^{1/5} + c \) (4) इनमें से कोई नहीं (None of these)

03. \( \int \sqrt{1 + \sin 2x} dx = \) H-TET 2009
(1) \( \sqrt{2} \left[ \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right] + c \) (2) \( \sin x - \cos x + c \)
(3) \( \sqrt{2} \left[ \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right] + c \) (4) \( \sin x + \cos x + c \)

04. समाकल \( \int e^x \frac{x - 1}{(x + 1)^3} dx \) का मान है- (Value of integral is:) H-TET 2009; II Grade RPSC 2011
(1) \( \frac{e^x}{x + 1} + c \) (2) \( \frac{e^x}{(x + 1)^2} + c \) (3) \( \frac{e^x}{(x + 1)^3} + c \) (4) \( \frac{e^x}{x - 1} + c \)

05. \( \int \frac{x e^x}{(x + 1)^2} dx \) का मान है- (Value of integral is:) I Grade RPSC 2012; II Grade RPSC 2010
(1) \( \frac{e^x}{x + 1} + c \) (2) \( \frac{e^x}{(x + 1)^2} + c \) (3) \( e^x(x + 1) + c \) (4) \( e^x(x + 1)^2 + c \)

06. समाकल \( \int \frac{dx}{5 + 4\cos x} \) का मान है- (Value of integral is:) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \tan \frac{x}{2} \right) + c \) (2) \( \frac{2}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{3} \tan \frac{x}{2} \right) + c \)
(3) \( \frac{1}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \tan \frac{x}{2} \right) + c \) (4) \( \frac{2}{3} \tan^{-1} \left( \frac{1}{2} \tan \frac{x}{2} \right) + c \)

07. समाकल \( \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}} \) का मान है- (Value of integral is:) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( \sqrt{x^2 + 2x + 3} + c \) (2) \( \sinh^{-1} \left( \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right) + c \)
(3) \( \log \left| (x + 1) + \sqrt{x^2 + 2x + 3} \right| + c \) (4) \( \cosh^{-1} \left( \frac{x + 1}{\sqrt{2}} \right) + c \)

08. \( \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = \) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( (1 + \sin 2x)^{3/2} + c \) (2) \( \sin x + \cos x + c \) (3) \( x + c \) (4) \( \log x + c \)

09. \( \int \sqrt{1 + \sin x} dx = \) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( 2 \left[ \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right] + c \) (2) \( 2 \left[ \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} \right] + c \)
(3) \( \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} + c \) (4) \( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} + c \)

10. \( \int \frac{dx}{x^2 - 6x + 5} = \) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 5}{x - 1} \right| + c \) (2) \( \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 1}{x - 5} \right| + c \)
(3) \( \frac{1}{4} \log \left| \frac{x - 5}{x + 1} \right| + c \) (4) \( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x - 5}{x - 1} \right| + c \)

11. \( \int 2x \sec^2(x^2) dx = \) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( \tan^{-1}(x^2) + c \) (2) \( \tan^{-1}(x) + c \) (3) \( \frac{1}{2} \tan(x^2) + c \) (4) \( \tan(x^2) + c \)

12. \( \int (\log x)^2 dx = \) SSC INVESTIGATOR 2010
(1) \( 2 \log x + c \) (2) \( (1/x)^2 + c \)
(3) \( x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + c \) (4) \( -x \log x + 2x + c \)

13. यदि \( \int \frac{\sin x}{\sin(x - \alpha)} dx = Ax + B \log \sin(x - \alpha) + c \), तो \((A, B)\) का मान है- (If... then value of (A, B) is:) II Grade RPSC 2011
(1) \( (\sin \alpha, \cos \alpha) \) (2) \( (\cos \alpha, \sin \alpha) \) (3) \( (\sin \alpha, -\cos \alpha) \) (4) \( (-\cos \alpha, -\sin \alpha) \)

14. समाकलन \( \int \frac{dx}{x(x^4 - 1)} \) का मान है- (Value of integral is:) II Grade RPSC 2011
(1) \( \frac{1}{4} \log \left| \frac{x^4 - 1}{x^4} \right| + c \) (2) \( \frac{1}{4} \log \left| \frac{x^4}{x^4 - 1} \right| + c \)
(3) \( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right| + c \) (4) \( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right| + c \)

15. समाकल \( \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \) का मान होगा- (Value of integral is:) II Grade RPSC 2011
(1) \( \tan^{-1}(e^{-x}) + c \) (2) \( \tan^{-1}(e^x) + c \) (3) \( \log(e^x - e^{-x}) + c \) (4) \( \log(e^x + e^{-x}) + c \)

16. \( \int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx \) बराबर है- (is equal to:) RAS Mains 2012
(1) \( \frac{1}{2} \tan^2 x + c \) (2) \( 2 \tan x + c \) (3) \( \log(\tan x) + c \) (4) \( \tan x + c \)

17. \( \int \frac{e^x - 1}{e^x + 1} dx \) का मान है- (value is:) I Grade RPSC 2012
(1) \( \log_e(e^x + 1) + c \) (2) \( \log_e(e^x - 1) + c \)
(3) \( 2 \log(e^{x/2} + e^{-x/2}) + c \) (4) \( 2 \log(e^x + 1) - x + c \)

18. \( \int \frac{1}{e^x - 1} dx \) बराबर है- (is equal to:) RAS Mains 2012
(1) \( \log(e^x - 1) + c \) (2) \( x \log e^x + c \) (3) \( \log e^x(e^x - 1) + c \) (4) \( \log \left| \frac{e^x - 1}{e^x} \right| + c \)

19. \( \int \frac{x^2 - 1}{x^4 + 1} dx = \) II Grade RPSC 2014
(1) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \sin^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \) (2) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x^2 - \sqrt{2}x + 1}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} \right| + c \)
(3) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \sec^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \) (4) \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \csc^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \)

20. \( \int \cot^{-1} x \, dx = \) II Grade RPSC 2014
(1) \( x \cot^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + c \) (2) \( x \cot^{-1} x + \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + c \)
(3) \( x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + c \) (4) \( x + \frac{1}{1 + x^2} + c \)

21. \( \int a^x dx = \) II Grade RPSC 2014
(1) \( \frac{a^x}{\log_e a} + c \) (2) \( a^x \log_e a + c \) (3) \( \frac{a^{x+1}}{x+1} + c \) (4) \( x \cdot a^{x-1} + c \)

22. यदि \(x\) तथा \(y\) एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण रेडियन में हैं, तो \( \int \sin(x - y) dx = \) II Grade RPSC 2014
(If x and y are the acute angle, in radian, of a right angled triangle then \( \int \sin(x - y) dx = \))
(1) \( -\frac{1}{2} \cos(x - y) + c \) (2) \( \frac{1}{2} \cos(x - y) + c \)
(3) \( -\frac{1}{2} \sin(x - y) + c \) (4) \( \frac{1}{2} \sin(x - y) + c \)

23. यदि \( x > 2/3 \), तो \( \int \frac{dx}{\sqrt{9x^2 - 4}} = \) I Grade RPSC 2014, H-TET 2017
(1) \( \frac{1}{3} \log \left| 3x + \sqrt{9x^2 - 4} \right| + c \) (2) \( \frac{1}{3} \log \left| 3x - \sqrt{9x^2 - 4} \right| + c \)
(3) \( \frac{1}{2} \log \left| 2x + \sqrt{9x^2 - 4} \right| + c \) (4) \( \frac{1}{2} \log \left| 3x + \sqrt{9x^2 - 4} \right| + c \)

24. यदि \( I_1 = \int \frac{e^x}{1 + x^2} dx \), \( I_2 = \int \frac{x e^x}{(1 + x^2)^2} dx \) और \( I_3 = \int \frac{x^2 e^x}{(1 + x^2)^3} dx \) तो \( I_1 - 2I_2 + I_3 = \) I Grade RPSC 2014
(1) \( \frac{e^x}{2(1 + x^2)} + c \) (2) \( \frac{e^x}{2(1 + x^2)^2} + c \) (3) \( \frac{x e^x}{(1 + x^2)^2} + c \) (4) \( \frac{e^x}{(1 + x^2)^2} + c \)

25. \( \int \sqrt{x^2 - 9} \, dx \) बराबर है- (is equal to:) I Grade July, 2016
(1) \( \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - 9} - \frac{9}{2} \log|x + \sqrt{x^2 - 9}| + c \) (2) \( \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - 9} + \frac{9}{2} \log|x + \sqrt{x^2 - 9}| + c \)
(3) \( \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - 9} - 3 \log|x + \sqrt{x^2 - 9}| + c \) (4) \( \frac{x}{2} \sqrt{x^2 - 9} + 3 \log|x + \sqrt{x^2 - 9}| + c \)

26. \( \int \frac{dx}{1 + 3\sin^2 x} \) बराबर है- (is equal to:) I Grade July, 2016
(1) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} (\tan x) + c \) (2) \( 2 \tan^{-1} (\tan x) + c \) (3) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} (2\tan x) + c \) (4) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} (\frac{\tan x}{2}) + c \)

27. यदि \( \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = g(f(x)) + C \), तब- (If... then) I Grade July, 2016
(1) \( f(x) = \log(x^2+x+1) \) और \( g(x) = x \) (2) \( f(x) = x^2+x+1 \) और \( g(x) = \log x \)
(3) \( f(x) = \log(x^2+x+1) \) और \( g(x) = \frac{x}{2} \) (4) \( f(x) = \frac{x}{2} \) और \( g(x) = \log(x^2+x+1) \)

28. \( \int \sin^6 x \cos x \, dx \) है- (The integral is) I Grade July, 2016
(1) \(\sin x\) में घात 5 का एक बहुपद (a polynomial of degree 5 in \(\sin x\))
(2) \(e^x\) में घात 4 का एक बहुपद (a polynomial of degree 4 in \(e^x\))
(3) \(\cos x\) में घात 5 का एक बहुपद (a polynomial of degree 5 in \(\cos x\))
(4) \(\tan x\) में घात 5 का एक बहुपद (a polynomial of degree 5 in \(\tan x\))
Note: The options provided in PYQ reference degree 7 usually, best matching selected option logic.

29. \( \int \frac{dx}{\sqrt{9 - 4x^2}} = \) H-TET 2016
(1) \( \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{2x}{3} \right) + c \) (2) \( \frac{1}{3} \sin^{-1} \left( \frac{3x}{2} \right) + c \)
(3) \( \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{2x}{3} \right) + c \) (4) \( \frac{1}{3} \cos^{-1} \left( \frac{3x}{2} \right) + c \)

30. यदि \( \int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx = k \cos 4x + c \), तो \(k^2\) का मान है- (then value of \(k^2\) is) H-TET 2016
(1) \( \frac{1}{4} \) (2) \( -\frac{1}{4} \) (3) \( \frac{1}{8} \) (4) \( \frac{1}{64} \)

31. \( \int \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^4 + 1}} dx \) का मान है- (The value of integral is:) H-TET 2016
(1) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 + 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \) (2) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \)
(3) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1} \left( \frac{x^2 + 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \) (4) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + c \)

32. \( \int \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \) Navodaya Dec. 2016
(1) \( \frac{(\sin^{-1} x)^2}{2} + C \) (2) \( \sin^{-1} x + C \) (3) \( x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C \) (4) \( \frac{x^2}{2} \sin^{-1} x + C \)

33. यदि \( \int \frac{4e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx = ax + b \log|4e^x + 5e^{-x}| + C \) है तो- (If... then) Navodaya Dec. 2016
(1) \( a = \frac{1}{8}, b = -\frac{7}{8} \) (2) \( a = \frac{1}{8}, b = \frac{7}{8} \) (3) \( a = -\frac{1}{8}, b = \frac{7}{8} \) (4) \( a = -\frac{1}{8}, b = -\frac{7}{8} \)

34. \( \int \frac{x e^x}{(x + 2)^3} dx \) का मान है- (The value of integral is:) K.V. 2017
(1) \( \frac{e^x}{x + 2} + c \) (2) \( \frac{e^x}{(x + 2)^2} + c \) (3) \( \frac{e^x}{(x + 2)^3} + c \) (4) \( e^x(x + 2)^2 + c \)

35. \( \int \frac{x^3}{(1 + x^2)^{4/3}} dx = \) H-TAT 2017
(1) \( \frac{3}{2} (1 + x^2)^{1/3} + c \) (2) \( -\frac{3}{2} (1 + x^2)^{1/3} + c \) (3) \( \frac{3}{2} (1 + x^{-2})^{1/3} + c \) (4) \( -\frac{3}{2} (1 + x^{-2})^{1/3} + c \)

36. \( \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx \) बराबर है- (equals:) K.V. Dec. 2018
(1) \( e^x \cdot \log(1 + \cos x) + C \) (2) \( e^x \cdot \tan \frac{x}{2} + C \) (3) \( e^x \cdot \cot x + C \) (4) \( 2e^x \log(\tan \frac{x}{2}) + C \)

37. \( \int \left[ \log(\log x) + \frac{1}{(\log x)^2} \right] dx \) बराबर है- (is equal:) K.V. Dec. 2018
(1) \( x \log(\log x) - \frac{x}{\log x} + C \) (2) \( x \log(\log x) + \frac{x}{\log x} + C \)
(3) \( \log(\log x) - \frac{x}{\log x} + C \) (4) \( \log(\log x) + \frac{x}{\log x} + C \)

38. \( \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} dx \) बराबर है- (equals:) RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
(1) \( \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + C \) (2) \( \sin^{-1}(\sin x + \cos x) + C \)
(3) \( \csc^{-1}(\sec x + \cos x) + C \) (4) \( \csc^{-1}(\sec x - \cos x) + C \)

39. यदि \( \int \ln(x^2 + x) dx = x \ln x + (x + 1) \ln(x + 1) - K \) है तो K का मूल्य किसके समतुल्य होगा- (If... then value of K is equal to) NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) स्थिर (constant) (2) \( 2x + C \) (3) \( 2x - \ln(x - 1) + C \) (4) \( C - 2x \)

40. यदि \( \int e^x \left( \frac{1 - x}{x^2} \right) dx = f(x)e^x + c \), तब \( f(x) = \) (If... then f(x) =) NVS PGT 2019
(1) \( \frac{1}{x^2} \) (2) \( -\frac{1}{x} \) (3) \( \frac{1}{x} \) (4) \( -\frac{1}{x^2} \)

41. यदि \( \int \frac{\cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10}{\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x} dx = k \sin x + c \) है, फिर k है- (If... then k is) Chandigarh (TGT) 2019
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4

42. फलन \( 4e^{3x} - \sin 3x \) का प्रति अवकलज है- (The anti-derivative of the function is:) NVS PGT 2019
(1) \( \frac{1}{3}(4e^{3x} + \cos 3x) + C \) (2) \( \frac{1}{3}(4e^{3x} - \cos 3x) + C \)
(3) \( 3(4e^{3x} + \cos 3x) + C \) (4) \( 3(4e^{3x} - \cos 3x) + C \)

43. पूर्णांक \( \int \frac{1}{\sqrt{7 - 6x - x^2}} dx \) का मान क्या होगा- (The value of the integral is) NVS PGT 2019
(1) \( \sin^{-1} \left( \frac{x + 3}{4} \right) + C \) (2) \( \frac{1}{6} \sin^{-1} \left( \frac{x + 3}{4} \right) + C \)
(3) \( \frac{1}{3} \sin^{-1} \left( \frac{x + 3}{4} \right) + C \) (4) \( \frac{1}{4} \sin^{-1} \left( \frac{x + 3}{4} \right) + C \)

44. पूर्णांक \( \int \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} dx \) का मान क्या होगा? (The value of the integral is) NVS PGT 2019
(1) \( \tan x - \cot x + C \) (2) \( \tan x \cot x + C \) (3) \( \tan x + \cot x + C \) (4) \( \cot x - \tan x + C \)

45. \( \int \frac{dx}{x \ln x} \) का मान क्या होगा? (The value of integral is) NVS PGT 2019
(1) \( \ln(\ln x) + C \) (2) \( 2 \ln(x) + C \) (3) \( \ln(x) + C \) (4) \( \frac{1}{2} \ln(x) + C \)

46. \( \int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{\sin 2x}} \) बराबर है- (is equal to) H-TET 2019
(1) \( \sqrt{2} \left( \sqrt{\tan x} + \frac{1}{5}(\tan x)^{5/2} \right) + c \) (2) \( \sqrt{2} \left( \sqrt{\tan x} - \frac{1}{5}(\tan x)^{5/2} \right) + c \)
(3) \( \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{\tan x}} + \frac{1}{5}(\tan x)^{5/2} \right) + c \) (4) \( \sqrt{2} \left( \sqrt{\tan x} + (\tan x)^{5/2} \right) + c \)

47. यदि \( \int e^x \frac{x^2 - x + 1}{(x^2 + 1)^{3/2}} dx = e^x f(x) + c \) तो- (If... then) H-TET 2019
(1) \( f(x) \) एक सम फलन है (f(x) is an even function)
(2) \( f(x) \) परिबद्ध फलन नहीं है (f(x) is not bounded)
(3) \( f(x) \) का परास है (Range of f(x) is)
(4) इनमें से कोई नहीं (None of these)

48. \( \int \frac{dx}{(x - 5)^{7/8} (x - 3)^{9/8}} \) बराबर है- (is equal to) H-TET 2019
(1) \( 4 \left( \frac{x - 5}{x - 3} \right)^{1/8} + c \) (2) \( 4 \left( \frac{x - 3}{x - 5} \right)^{1/8} + c \)
(3) \( -4 \left( \frac{x - 5}{x - 3} \right)^{1/8} + c \) (4) \( -4 \left( \frac{x - 3}{x - 5} \right)^{1/8} + c \)

49. समाकल \( \int \frac{dx}{1 + e^x} \) बराबर होगा- (The integral is equal to) I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
(1) \( \log \left( \frac{e^x}{1 + e^x} \right) + C \) (2) \( \log(1 + e^x) + x + C \)
(3) \( \log(1 + e^x) + e^x + C \) (4) \( \log \left( \frac{1 + e^x}{e^x} \right) + C \)

50. समाकल \( \int \frac{x^2 - 2}{x^2 + 2} \frac{dx}{x\sqrt{x^2+2}} \) बराबर होगा- (The integral is equal to) I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
(1) \( \frac{1}{2} \sec^{-1} \left( \frac{x^2+2}{2x} \right) + C \) (2) \( \frac{1}{2} \tan^{-1} \left( \frac{x^2-2}{2x} \right) + C \)
(3) \( 2 \tan^{-1} \left( \frac{x^2-2}{2x} \right) + C \) (4) \( \frac{1}{2} \sec^{-1} \left( \frac{x^2-2}{2x} \right) + C \)

51. \( \int \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} dx \) बराबर है- (equals to) [UP TGT 08.08.21]
(1) \( \frac{e^x}{(x + 1)^2} + C \) (2) \( \frac{e^x}{x + 1} + C \) (3) \( \frac{e^x}{(x + 1)^3} + C \) (4) \( \frac{e^x}{(x - 1)^2} + C \)

52. \( \int \frac{\cot x}{\log(\sin x)} dx \) का समाकल है- (Integral of... is) [UP TGT 08.08.21]
(1) \( \log(\sin x) + C \) (2) \( \log(\cos x) + C \) (3) \( \log(\log(\tan x)) + C \) (4) \( \log(\log(\sin x)) + C \)

Answer Key (उत्तरमाला) - Previous Year Examination Questions
Qus.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ans	2	1	1	2	1	2	2	4	1	2	2	3	2	1	4
Qus.	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ans	4	3	4	1	1	3	2	3	1	1	3	3	4	2	3
Qus.	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Ans	3	3	4	3	4	2	1	1	4	2	4	1	4	1	1
Qus.	46	47	48	49	50	51	52
Ans	2	1	3	1	4	1	4

NextPrayas

Sr. Teacher Grade II RPSC INTEGRAL CALCULUS-I