Sr. Teacher Grade II RPSC STATISTICS & PROBABILITY

गणित MATHEMATICS

Study Material for Examination for the post of Sr. Teacher Grade II RPSC

STATISTICS & PROBABILITY

सांख्यिकी एवं प्रायिकता

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सांख्यिकी (STATISTICS)

बारम्बारता बंटन (Frequency distribution)
किसी सन्दर्भ के आंकड़ों के वर्गीकरण में विचर का कोई मान \( x_i \) जितनी बार आता है वह संख्या उस मान (\( x_i \)) की बारम्बारता कहलाती है जिसे प्रायः \( f_i \) से व्यक्त करते हैं। प्रत्येक मान की बारम्बारता उसके सम्मुख या नीचे लिखकर आंकड़ों की सारणी तैयार की जाती है जिसे बारम्बारता सारणी या बारम्बारता बंटन कहते हैं।

प्रायः बारम्बारता बंटन दो प्रकार की होती है :

• (i) अवर्गीकृत बारम्बारता बंटन (Ungrouped frequency distribution) : इसमें विचर के प्रत्येक मान की बारम्बारता लिखी जाती है।
• (ii) वर्गीकृत बारम्बारता बंटन (Grouped frequency distribution) : इसमें विचर के मानों के वर्ग बनाकर वर्गों की बारम्बारता लिखी जाती है।

केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप (Measures of central tendency) : प्रत्येक सांख्यिकीय बंटन (या श्रेणी) को एक ऐसी संख्या में संक्षिप्त किया जा सकता है जो सम्पूर्ण बंटन का प्रतिनिधित्व कर सके अर्थात् ऐसी संख्या जिसके निकट (अर्थात् आस-पास) बंटन के अधिकतर मान केन्द्रित होते हों। बंटन की ऐसी प्रतिनिधि संख्या उस बंटन की केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप या सांख्यिकीय माध्य (statistical average) कहलाती है।

सामान्यतः केन्द्रीय माध्य प्रवृत्ति निम्न पाँच माप प्रयोग में लिए जाते हैं :
(i) समान्तर माध्य या माध्य (Arithmetic mean or mean)
(ii) गुणोत्तर माध्य (Geometric mean)
(iii) हरात्मक माध्य (Harmonic mean)
(iv) माध्यिका (Median)
(v) बहुलक (Mode)

समान्तर माध्य (Arithmetic mean or mean)

(i) स्वतन्त्र श्रेणी (Individual Series)
यदि \( x_1, x_2, \dots, x_n \) किसी विचर \( x \) के \( n \) मान हों तो उनका समान्तर माध्य (या केवल माध्य) \( \bar{x} \) निम्न प्रकार परिभाषित है :

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

(ii) सतत या असतत श्रेणी (Discrete or Continuous Series)
यदि एक चर के मानों \( x_1, x_2, \dots, x_n \) के संगत बारम्बारताएं \( f_1, f_2, \dots, f_n \) हों तो समान्तर माध्य \( \bar{x} \) निम्न प्रकार होता है:

\[ \bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + \dots + f_n x_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{N} \]

जहाँ \( N = \sum_{i=1}^{n} f_i \)

Ex.1 निम्न बारम्बारता बंटन का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

x :	5	8	11	14	17
f :	4	5	6	10	20

Sol. \( \sum f_i = 4 + 5 + 6 + 10 + 20 = 45 \)
\( \sum f_i x_i = (5 \times 4) + (8 \times 5) + (11 \times 6) + (14 \times 10) + (17 \times 20) = 606 \)
\[ \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{606}{45} = 13.47 \]

(iii) लघु विधि (Shortcut Method)
यदि \( x \) और \( f \) के मान बड़े हैं तो पिछले सूत्र से माध्य की गणना करना कठिन और अधिक समय लगाने वाला है। इस स्थिति में हम एक स्वेच्छ बिन्दु \( a \) से विचलन लेते हैं-

\[ \bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \]

जहाँ \( a \) = कल्पित माध्य, \( d_i = x_i - a \) = प्रत्येक पद का विचलन

Ex.2 निम्न बारम्बारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए।

x :	5	15	25	35	45	55
f :	12	18	27	20	17	6

Sol. यहाँ \( N = \sum f_i = 100 \). कल्पित माध्य \( a = 35 \) लेने पर
\( \sum f_i d_i = \sum f_i (x_i - 35) = 12(-30) + 18(-20) + 27(-10) + 20(0) + 17(10) + 6(20) = -700 \)

\[ \bar{x} = a + \frac{\sum f_i d_i}{N} = 35 - \frac{700}{100} = 28 \]

(iv) विचलन विधि (Deviation Method)
कभी-कभी लघु विधि से माध्य ज्ञात करने में, विचलन \( d_i \) एक संख्या \( h \) द्वारा भाजित होते हैं। इस स्थिति में समान्तर माध्य को निम्न प्रकार अत्यधिक कम कर सकते हैं।

\[ d_i = \frac{x_i - a}{h}, \quad i = 1, 2, \dots, n \] \[ \bar{x} = a + h \left( \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} \right) \]

Note :
• \( a \) तथा \( h \) कोई संख्याएं हो सकती हैं परन्तु यदि वर्ग अन्तराल की लम्बाई समान है तो \( h \) को अन्तराल की चौड़ाई के रूप में मान सकते हैं।
• यदि प्रत्येक प्रेक्षण किसी अचर से गुणा या भाग किया जाये तो माध्य भी उसी अचर से गुणा या भाग हो जाता है।

(v) भारित समान्तर माध्य (Weighted Arithmetic mean)
यदि \( w_1, w_2, w_3, \dots, w_n \) क्रमशः \( x_1, x_2, x_3, \dots, x_n \) का भार है, तो भारित औसत निम्न प्रकार से परिभाषित होता है-

\[ \bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + w_3 + \dots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} \]

Ex.3 प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का भारित माध्य ज्ञात कीजिए, जबकि प्रत्येक संख्या का धारित भार उसके वर्ग के बराबर है-

Sol. भारित माध्य

\[ \bar{x}_w = \frac{1^2 \cdot 1 + 2^2 \cdot 2 + \dots + n^2 \cdot n}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2} = \frac{1^3 + 2^3 + \dots + n^3}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2} \] \[ = \frac{\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{3n(n+1)}{2(2n+1)} \]

(vi) संयुक्त माध्य (Combined mean)
यदि \( \bar{x}_1 \) तथा \( \bar{x}_2 \) ऐसे दो समूहों का माध्य है जिनमें क्रमशः \( n_1 \) तथा \( n_2 \) वस्तुएं है तो दोनों समूहों का संयुक्त माध्य \( \bar{x} \) निम्न होता है:

\[ \bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2} \]

यदि दो से अधिक समूह हो तब:

\[ \bar{x} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + n_3 \bar{x}_3 + \dots}{n_1 + n_2 + n_3 + \dots} \]

Ex.4 व्यक्तियों के एक समूह की माध्य आय Rs. 400 है। दूसरे समूह के व्यक्तियों का माध्य Rs. 480 है। यदि दोनों समूह के सभी व्यक्तियों का माध्य Rs. 430 है, तो समूहों में व्यक्तियों की संख्याओं का अनुपात होगा-

Sol. \( \bar{x}_1 = 400 \), \( \bar{x}_2 = 480 \), \( \bar{x} = 430 \)

\[ 430 = \frac{n_1(400) + n_2(480)}{n_1 + n_2} \] \[ 430n_1 + 430n_2 = 400n_1 + 480n_2 \implies 30n_1 = 50n_2 \implies \frac{n_1}{n_2} = \frac{5}{3} \]

(vii) समान्तर माध्य के गुणधर्म (Properties of Arithmetic mean)

• समान्तर माध्य के सापेक्ष सभी विचलनों का योग शून्य होता है। अर्थात्
  \( \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0 \) (स्वतन्त्र श्रेणी की स्थिति में)
  \( \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x}) = 0 \) (सतत या असतत श्रेणी की स्थिति में)
• समान्तर माध्य के सापेक्ष विचलनों के वर्गों का योग न्यूनतम होता है। अर्थात् \( \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \) न्यूनतम है।
• यदि दिए गए \( n \) प्रेक्षणों में से प्रत्येक को दुगुना कर दें तो उनका माध्य दुगुना हो जाता है।
• यदि \( x_1, x_2, \dots, x_n \) का माध्य \( \bar{x} \) हो, तो \( ax_1, ax_2, \dots, ax_n \) का माध्य \( a\bar{x} \) होगा जहाँ \( a \) शून्य के अतिरिक्त कोई संख्या है।

गुणोत्तर माध्य (Geometric mean)

स्वतन्त्र श्रेणी की स्थिति में (Geometric mean for discrete series)
यदि किसी विचर \( x \) के \( n \) धनात्मक मान \( x_1, x_2, \dots, x_n \) हों, तो उनका गुणोत्तर माध्य \( G \) निम्न प्रकार परिभाषित है:

\[ G = (x_1 x_2 \dots x_n)^{1/n} \quad \text{या} \quad G = \text{antilog} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log x_i \right) \]

सतत या असतत श्रेणी की स्थिति में (Geometric mean for frequency distribution)
यदि विचर के मान \( x_1, x_2, \dots, x_n \) की बारम्बारताएं क्रमशः \( f_1, f_2, \dots, f_n \) हों, तो

\[ G = (x_1^{f_1} x_2^{f_2} \dots x_n^{f_n})^{1/N} \quad \text{या} \quad G = \text{antilog} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} f_i \log x_i \right), \quad \text{जहाँ } N = \sum_{i=1}^{n} f_i \]

Note : यदि \( G_1, G_2 \) क्रमशः \( n_1, n_2 \) पदों वाली दो श्रेणियों के गुणोत्तर माध्य हों तो उनकी संयुक्त श्रेणी का गुणोत्तर माध्य \( G \) हो तो:

\[ \log G = \frac{n_1 \log G_1 + n_2 \log G_2}{n_1 + n_2} \]

Ex.5 \( 1, 2, 2^2, \dots, 2^n \) का गुणोत्तर माध्य ज्ञात कीजिए।

Sol. \( G.M. = (1 \cdot 2 \cdot 2^2 \dots 2^n)^{1/(n+1)} = [2^{(1+2+\dots+n)}]^{1/(n+1)} = [2^{n(n+1)/2}]^{1/(n+1)} = 2^{n/2} \)

हरात्मक माध्य (Harmonic mean)

यदि किसी विचर \( x \) के \( n \) अशून्य मान \( x_1, x_2, \dots, x_n \) हों, तो उनका हरात्मक माध्य \( H \) निम्न प्रकार परिभाषित है:

\[ H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}} \]

यदि विचर के मानों \( x_1, x_2, \dots, x_n \) की बारम्बारताएं क्रमशः \( f_1, f_2, \dots, f_n \) हों, तो:

\[ H = \frac{N}{\sum_{i=1}^{n} \frac{f_i}{x_i}} \]

Note : किन्हीं प्रेक्षणों का समान्तर माध्य, गुणोत्तर माध्य तथा हरात्मक माध्य क्रमशः \( A, G \) तथा \( H \) हों, तो \( A \ge G \ge H \)

Ex.6 \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{17} \) का हरात्मक मान ज्ञात कीजिए।

Sol. \( \text{H.M.} = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} \)

\[ = \frac{16}{\sum_{i=1}^{16} (i+1)} = \frac{16}{(2 + 3 + \dots + 17)} = \frac{16}{152} = \frac{2}{19} \]

माध्यिका (Median)

किसी विचर की श्रेणी की माध्यिका विचर का वह मान है जो श्रेणी को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। अतः यदि अवर्गीकृत श्रेणी को मानों के बढ़ते क्रम में रखा जाए तो श्रेणी के ठीक मध्य में स्थित मान श्रेणी की माध्यिका होगी।

माध्यिका निर्धारण के सूत्र (Formulae for Median)

(i) अवर्गीकृत बंटन के लिए (Median for ungrouped distribution)

• यदि विचर के कुल मानों की संख्या \( n \) विषम हो, तो माध्यिका = \( \left(\frac{n+1}{2}\right) \) वाँ मान
• यदि विचर के कुल मानों की संख्या \( n \) सम हो, तो माध्यिका = \( \frac{ \left(\frac{n}{2}\right)\text{वाँ मान} + \left(\frac{n}{2}+1\right)\text{वाँ मान} }{2} \)

(ii) असतत बारम्बारता बंटन की माध्यिका (Median for frequency distribution)
इस स्थिति में माध्यिका ज्ञात करने के लिए सबसे पहले संचयी बारम्बारता (C.F.) ज्ञात करते हैं। इसके बाद \( \frac{N}{2} \) ज्ञात करते हैं जहाँ \( N = \sum f_i \)। अब \( \frac{N}{2} \) से ठीक बड़ी संचयी बारम्बारता ज्ञात करते हैं तथा इसके संगत चर का मान निर्धारित करते हैं। इस प्रकार प्राप्त मान माध्यिका कहलाता है।

(iii) वर्गीकृत बंटन के लिए (Median for grouped frequency distribution)

\[ \text{Median} = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h \]

जहाँ \( l \) = माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा, \( f \) = माध्यिका वर्ग की बारम्बारता, \( N = \sum f_i \)
\( F \) = माध्यिका वर्ग से पहले तक की संचयी बारम्बारता, \( h \) = माध्यिका वर्ग का अन्तराल

Ex.7 100 विद्यार्थियों द्वारा निम्न प्राप्तांकों की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

प्राप्तांक वर्ग (x)	विद्यार्थियों की संख्या (f)	संचयी बारम्बारता (cf)
0-10	8	8
10-20	30	38
20-30	40	78
30-40	12	90
40-50	10	100

Sol. \( \frac{N}{2} = 50 \) जो cf के मान 78 में विद्यमान है, अतः संचयी बारम्बारता 78 का वर्ग 20–30 माध्यिका वर्ग है। फलतः
\( l = 20 \), \( f = 40 \), \( F = 38 \), \( N = 100 \), \( h = 10 \)

\[ \text{Median} = 20 + \left( \frac{50 - 38}{40} \right) \times 10 = 20 + 3 = 23 \]

विभाजकारी मान (Partition values) किसी श्रेणी में विभाजकारी मान विचर के वे मान हैं जो उस श्रेणी को अनेक बराबर भागों में विभक्त करते हैं। इनमें मुख्य निम्नांकित हैं :

• (i) चतुर्थक (Quartiles) इनकी संख्या तीन होती है जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं :
  \[ Q_i = l + \left( \frac{\frac{iN}{4} - F}{f} \right) \times h, \quad i = 1, 2, 3 \]
• (ii) दशमक (Deciles) इनकी संख्या नौ होती है जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं :
  \[ D_i = l + \left( \frac{\frac{iN}{10} - F}{f} \right) \times h, \quad i = 1, 2, \dots, 9 \]
• (iii) शतमक (Percentiles) इनकी संख्या 99 होती है जो निम्न प्रकार परिभाषित हैं :
  \[ P_i = l + \left( \frac{\frac{iN}{100} - F}{f} \right) \times h, \quad i = 1, 2, \dots, 99 \]

टिप्पणी : स्पष्ट है \( Q_2 = D_5 = P_{50} = \) माध्यिका।

बहुलक (Mode)

किसी बंटन का बहुलक विचर का वह मान है जिसकी बारम्बारता सबसे अधिक है।

बहुलक निर्धारण की विधि (Method for finding mode):
(i) अवर्गीकृत बंटन के लिए (For ungrouped distribution): अवर्गीकृत बंटन में विचर के मानों की बारम्बारताओं का अवलोकन कर या बारम्बारताएँ अनियमित होने पर विचर के मानों का समूहन कर उसका बहुलक निर्धारित करते हैं।
(ii) वर्गीकृत बंटन के लिए (For grouped distribution): ऐसे बंटन के लिए बहुलक वर्ग (जिसकी बारम्बारता अधिकतम हो) निर्धारित कर निम्न सूत्र के प्रयोग से बहुलक ज्ञात करते हैं।

\[ \text{Mode} = l + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h \]

जहाँ \( l \) = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा, \( f_1 \) = बहुलक वर्ग की बारम्बारता, \( f_0 \) = बहुलक वर्ग के पूर्व वर्ग की बारम्बारता, \( f_2 \) = बहुलक वर्ग के अगले वर्ग की बारम्बारता, \( h \) = बहुलक वर्ग का अन्तराल

माध्य, माध्यिका एवं बहुलक में सम्बन्ध (Relation between Mean, Median and Mode)
किसी साधारण असममित बंटन के माध्य, माध्यिका और बहुलक में निम्न सन्निकट सम्बन्ध पाया जाता है:

\[ \text{बहुलक} = 3(\text{माध्यिका}) - 2(\text{माध्य}) \]

Note :
(i) माध्यिका सदैव माध्य एवं बहुलक के मध्य में विद्यमान होती है।
(ii) सममित बंटन के लिए माध्य, माध्यिका तथा बहुलक सम्पाती होते हैं।

विक्षेपण के माप (Measures of Dispersion)

किसी सांख्यिकीय बंटन का विक्षेपण इसके मानों के विचरण (या अन्तर) का माप है। इससे यह पता चलता है कि बंटन में विचर के विभिन्न मान उसके माध्य से कितनी औसत दूरी पर है अर्थात् उनका बिखराव या फैलाव कैसा है। सामान्यतः विक्षेपण के निम्न माप प्रयुक्त होते हैं :
(i) परास (ii) चतुर्थक विचलन (iii) माध्य विचलन (iv) मानक विचलन

(i) परास (Range) किसी बंटन में विचर के सबसे बड़े तथा सबसे छोटे मानों के अन्तर को उस बंटन का परास कहते हैं। यदि बंटन संतत वर्गीकृत बारम्बारता बंटन में व्यक्त किया गया हो, तो:
परास = महत्तम वर्ग की उच्च सीमा - लघुतम वर्ग की निम्न सीमा
परास का गुणांक = (चरम मानों का अन्तर) / (चरम मानों का योग)

(ii) चतुर्थक विचलन (Quartile Deviation)
चतुर्थक विचलन \( Q = \frac{Q_3 - Q_1}{2} \) और चतुर्थक विचलन गुणांक = \( \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1} \)
Note : यदि बंटन सममित है तो \( Q = M - Q_1 = Q_3 - M \) जहाँ \( M \) माध्यिका है।

(iii) माध्य विचलन (Mean Deviation) बंटन के किसी सांख्यिकीय माध्य (माध्य, माध्यिका या बहुलक) से निकाले गए विचर के विभिन्न मानों के निरपेक्ष विचलनों का समान्तर माध्य, बंटन का माध्य विचलन कहलाता है। यदि \( x_1, x_2 \dots x_n \), \( n \) प्रेक्षण हैं तो \( A \) के सापेक्ष माध्य विचलन निम्न होता है:

\[ \text{माध्य विचलन} = \frac{1}{n} \sum |x_i - A| \]

असतत श्रेणी की स्थिति में माध्य विचलन:

\[ \text{माध्य विचलन} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n} f_i |x_i - A|, \quad \text{जहाँ } N = \sum_{i=1}^{n} f_i \]

माध्य विचलन गुणांक = (माध्य विचलन) / \( A \)
Note : माध्यिका से लिया गया माध्य विचलन न्यूनतम होता है।

Ex.8 3, 4, 5, 6, 7 का समान्तर माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

Sol. माध्य \( \bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = 5 \)
\[ \text{माध्य विचलन} = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} |x_i - \bar{x}| = \frac{1}{5} \{ |3-5| + |4-5| + |5-5| + |6-5| + |7-5| \} = \frac{1}{5} \{2 + 1 + 0 + 1 + 2\} = 1.2 \]

Ex.9 निम्न आंकड़ों से माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात कीजिए।

\( x_i \)	\( f_i \)	\( f_i x_i \)	\( |x_i - 15| \)	\( f_i |x_i - 15| \)
3	8	24	12	96
9	10	90	6	60
17	12	204	2	24
23	9	207	8	72
27	5	135	12	60
N = \( \sum f_i = 44 \)		\( \sum f_i x_i = 660 \)		\( \sum f_i |x_i - 15| = 312 \)

\[ \text{माध्य} = \frac{1}{N} \sum f_i x_i = \frac{660}{44} = 15 \] \[ \text{माध्य विचलन (M.D.)} = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - 15| = \frac{312}{44} = 7.09 \]

(i) माध्य वर्ग विचलन (Mean Square Deviation)
किसी बंटन में एक कल्पित माध्य \( a \) से विचर मानों के विचलनों के वर्गों का माध्य उस बंटन का \( a \) से माध्य वर्ग विचलन कहलाता है जिसे \( s^2 \) से व्यक्त करते हैं। अतः

\[ s^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - a)^2 \]

माध्य वर्ग विचलन का धनात्मक वर्गमूल वर्ग माध्य मूल विचलन कहलाता है जिसे \( s \) से व्यक्त करते हैं। स्पष्ट है जब \( a = \bar{x} \), तो \( s = \sigma \).

प्रसरण तथा मानक विचलन (Variance and Standard Deviation)
किसी बंटन के समान्तर माध्य से निकाले गए विभिन्न विचर मानों के विचलनों के वर्गों का माध्य उस बंटन का प्रसरण कहलाता है। जिसे \( \text{Var}(x) \) या \( \sigma^2 \) संकेत से व्यक्त करते हैं। अतः प्रसरण:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2 \]

प्रसरण के वर्गमूल का धनात्मक मान मानक विचलन कहलाता है जिसे \( \sigma \) संकेत से व्यक्त करते हैं। अतः मानक विचलन:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2} \]

पुनः मानक विचलन गुणांक = \( \frac{\sigma}{\bar{x}} \)
और प्रसरण गुणांक = \( \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \)

प्रसरण एवं माध्य वर्ग विचलन में सम्बन्ध (Relation between Variance and Mean Square Deviation)
\( s^2 = \sigma^2 + d^2 \) जहाँ \( d = \bar{x} - a \) \( \implies \) माध्य वर्ग विचलन \( \ge \) प्रसरण。
अतः स्पष्ट है कि मानक विचलन न्यूनतम वर्ग माध्य मूल विचलन होता है।

(ii) प्रसरण की गणना के सूत्र (Formulae for calculation of variance)
निम्न सूत्रों की सहायता से प्रसरण अधिक आसानी से ज्ञात किया जा सकता है :

\[ \text{(i) } \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - \left( \frac{1}{N} \sum f_i x_i \right)^2 \] \[ \text{(ii) } \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum f_i d_i^2 - \left( \frac{1}{N} \sum f_i d_i \right)^2 \quad (\text{जहाँ } d_i = x_i - a) \] \[ \text{(iii) } \sigma^2 = h^2 \left[ \frac{1}{N} \sum f_i u_i^2 - \left( \frac{1}{N} \sum f_i u_i \right)^2 \right] \quad \left( \text{जहाँ } u_i = \frac{x_i - a}{h} \right) \]

Ex.10 प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन (S.D.) ज्ञात कीजिए।

Sol. मानक विचलन (स्वतन्त्र श्रेणी)

\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \left( \frac{1}{n} \sum x_i \right)^2 \] \[ = \frac{1}{n} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - \left[ \frac{1}{n} \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 \] \[ = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4} = \frac{n^2 - 1}{12} \]

Ex.11 यदि \( \sum_{i=1}^{18} (x_i - 8) = 9 \) तथा \( \sum_{i=1}^{18} (x_i - 8)^2 = 45 \) तो \( x_1, x_2 \dots x_{18} \) का मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Sol. माना \( d_i = x_i - 8 \)

\[ \sigma^2 = \frac{1}{18} \sum d_i^2 - \left( \frac{1}{18} \sum d_i \right)^2 \] \[ = \frac{45}{18} - \left( \frac{9}{18} \right)^2 = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \]

अतः \( \sigma = \frac{3}{2} \)।

Ex.12 प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का प्रसरण गुणांक ज्ञात कीजिए।

Sol. प्रसरण गुणांक = \( \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 \)

\[ = \frac{\sqrt{\frac{n^2 - 1}{12}}}{\frac{n+1}{2}} \times 100 = \sqrt{\frac{n-1}{3(n+1)}} \times 100 \]

(iii) प्रसरण के गणितीय गुण (Mathematical properties of variance)

• यदि किसी बंटन में विचर के सभी मानों को एक ही राशि (मान लो \( \lambda \)) से बढ़ाये/घटा दें, तो बंटन के प्रसरण में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः \( \text{Var}(X + \lambda) = \text{Var}(X) \)
• यदि किसी बंटन में विचर के सभी मानों को एक अचर संख्या \( k \) से गुणा कर दें, तो बंटन का प्रसरण \( k^2 \) से गुणा हो जाता है। अतः \( \text{Var}(kX) = k^2 \text{Var}(X) \)
• उपर्युक्त गुण (i) तथा (ii) से स्पष्ट है कि \( \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) \)
• किसी संतत बंटन के लिए मानक विचलन समान्तर माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन से कम नहीं होता है।
• यदि \( n_1 \) और \( n_2 \) मानों की दो श्रेणियों के समान्तर माध्य क्रमशः \( m_1, m_2 \) तथा प्रसरण क्रमशः \( \sigma_1^2, \sigma_2^2 \) हों, तथा दोनों श्रेणियों की संयुक्त श्रेणी का प्रसरण \( \sigma^2 \) हो, तो:
  \[ \sigma^2 = \frac{n_1 \sigma_1^2 + n_2 \sigma_2^2}{n_1 + n_2} + \frac{n_1 n_2 (m_1 - m_2)^2}{(n_1 + n_2)^2} \]
• Quartile Deviation \( \approx \frac{2}{3} \sigma \), Mean Deviation \( \approx \frac{4}{5} \sigma \).

(iv) द्विपद बंटन का माध्य एवं प्रसरण (Mean and variance of Binomial distribution)
यदि किसी विचर के मान \( 0, 1, 2, \dots, n \) की बारम्बारताएं निम्न द्विपद गुणांकों से व्यक्त होती हैं :
\( q^n, ^nC_1 q^{n-1}p, ^nC_2 q^{n-2}p^2, \dots, p^n \)
जहाँ \( p \) अभिप्रयोग की सफलता (विचर) की प्रायिकता, \( q \) उसकी असफलता की प्रायिकता तथा \( p + q = 1 \) है अर्थात् बंटन एक द्विपद बंटन है, तो
\( P(x = r) = ^nC_r q^{n-r} p^r \)
माध्य \( \bar{x} = \sum p_i x_i = np \), प्रसरण \( \sigma^2 = npq = \bar{x}q \)

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वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) - STATISTICS

01. यदि प्रेक्षणों \( x_1, x_2, \dots, x_{10} \) के समुच्चय का माध्य 20 है, तो \( x_1 + 4, x_2 + 8, x_3 + 12, \dots, x_{10} + 40 \) का माध्य होगा-
34    42    38    40

02. एक समूह के 10 मानों का माध्य 6 है। इन मानों में 4 मानों का माध्य 7.5 है, तो शेष मानों का माध्य होगा-
4.5    5    5.5    6.5

03. संख्याओं के एक समुच्चय का माध्य \( \bar{x} \) है, यदि प्रत्येक संख्या में \( \lambda \) की वृद्धि कर दी जाए तो नए समुच्चय का माध्य होगा-
\( \bar{x} \)    \( \bar{x} + \lambda \)    \( \bar{x}\lambda \)    इनमें से कोई नहीं

04. यदि प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का माध्य \( \frac{7n+ \dots}{3} \) हो, तो \( n \) बराबर होगा-
10    11    12    इनमें से कोई नहीं

12. समान्तर श्रेणी \( a + (a + d) + (a + 2d) + \dots \) के प्रथम \( n \) पदों का माध्य होगा-
\( a + \frac{nd}{2} \)    \( a + \frac{(n-1)d}{2} \)    \( a + (n - 1)d \)    \( a + nd \)

16. संख्याओं के एक समुच्चय का माध्य \( \bar{x} \) है, यदि प्रत्येक संख्या को \( \lambda \) से गुणा कर दिया जाये तो नए समुच्चय का माध्य होगा-
\( \bar{x} \)    \( \bar{x} + \lambda \)    \( \bar{x}\lambda \)    इनमें से कोई नहीं

20. यदि बंटन \( a_1, a_2, \dots, a_n \) का मानक विचलन \( \sigma \) हो, तो बंटन \( \lambda a_1, \lambda a_2, \dots, \lambda a_n \) का मानक विचलन होगा-
\( \lambda\sigma \)    \( -\lambda\sigma \)    \( |\lambda|\sigma \)    \( \sigma \)

41. यदि माध्य = (3 माध्यिका – बहुलक) \( x \) हो, तो \( x \) का मान होगा-
1    2    1/2    3/2

44. यदि श्रेणी \( x_1, x_2 \dots x_n \) का समान्तर माध्य \( \bar{x} \) हो, तो श्रेणी \( ax_1 + b, ax_2 + b, \dots, ax_n + b \) (जहाँ \( a, b \) अचरांक है) का समान्तर माध्य होगा-
\( \bar{x} \)    \( a\bar{x} \)    \( a\bar{x} + b \)    \( na\bar{x} + b \)

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पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions) - STATISTICS

01. सही सूत्र है [II Grade 2010 & 2014]
(1) 2 मध्यमान - 3 मध्यांक = बहुलक
(2) 3 मध्यांक + मध्यमान = 2 × बहुलक
(3) 3 मध्यांक - मध्यमान = 2 × बहुलक
(4) –2 मध्यमान + 3 मध्यांक = बहुलक

02. माध्य विचलन है [II Grade 2010]
(1) विचलनों का माध्य
(2) निरपेक्ष विचलनों का माध्य
(3) माध्य का विचलन
(4) माध्य एवं माध्यिका का विचलन

04. चतुर्थक विचलन के गुणांक का मान निम्न सूत्र में से किससे निकालते हैं, (जहाँ \( Q_1 \), निम्नतर चतुर्थक एवं \( Q_3 \), उच्चतर चतुर्थक) [II Grade 2010]
(1) \( \frac{Q_3 - Q_1}{Q_3 + Q_1} \)
(2) \( \frac{Q_3 + Q_1}{Q_3 - Q_1} \)
(3) \( \frac{Q_3 - Q_1}{2} \)
(4) \( Q_3 - Q_1 \)

06. मौसम सम्बन्धी पूर्वानुमानों हेतु केन्द्रीय प्रवृत्ति में से किसका प्रयोग किया जाता है? [II Grade 2011]
(1) बहुलक
(2) माध्य
(3) माध्यिका
(4) विभाजन मूल्य

10. प्रथम \( n \) प्राकृत संख्याओं का मानक विचलन है: [I Grade 2012]
(1) \( \sqrt{\frac{n^2+1}{12}} \)
(2) \( \sqrt{\frac{n^2-1}{12}} \)
(3) \( \frac{n^2+1}{12} \)
(4) \( \frac{n^2-1}{12} \)

12. एक बंटन की माध्यिका और मानक विचलन क्रमशः 20 और 4 है। यदि बंटन के प्रत्येक मद को 2 बढ़ा दिया जाये, तब The median and Standard Deviation (S.D.) of a distribution are 20 and 4 respectively. If each item of the distribution is increased by 2, then I Grade July, 2016
(1) माध्यिका और मानक विचलन बढ़ जायेंगे Median and S.D. will incrase
(2) माध्यिका के मान में 2 बढ़ जायेगा परन्तु मानक विचलन वही रहेगा Median will go up of 2 but S.D. will remin same
(3) माध्यिका बढ़ जायेगी परन्तु मानक विचलन घट जायेगी Median will incrase but S.D. will decrease
(4) माध्यिका घट जायेगी परन्तु मानक विचलन बढ़ जायेगा Median will decrease but S.D. will increase

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प्रायिकता (Probability)

परिचय (Introduction)
किसी घटना के घटित होने की सम्भावना को मात्रात्मक या गणितीय रूप में व्यक्त करें तो यह उस घटना की प्रायिकता कहलाती है। प्रायिकता प्रतिशत से मिलता-जुलता शब्द है। जिस प्रकार किसी कार्य के होने की 70% आसार हों, अर्थात् 100 को आधार मानें तब उस कार्य के सम्पन्न होने की 70 स्थितियाँ हों, तो उस कार्य के होने की प्रायिकता .7 होगी। अब प्रायिकता के अध्ययन में आवश्यक पदों व अवधारणाओं (terms and concepts) को समझाते हुए परिभाषित करेंगे।

अभिप्रयोग (Experiment)
दी हुई (निश्चित) परिस्थितियों में किसी कार्य को करने की प्रक्रिया जिसका कि अंत में कुछ परिणाम अवश्य हो एक अनुप्रयोग कहलाती है। जैसे एक सिक्के को उछालना, ताश की गड्डी से पत्ता निकालना आदि। हम अभिप्रयोगों को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं।

(i) निश्चित परिणाम वाले अभिप्रयोग (Deterministic experiments)
निश्चित परिणाम वाले अभिप्रयोग वे होते हैं जिनका ठीक एक ही परिणाम हो, जैसे: पानी में शक्कर घोलने पर पानी मीठा ही होगा। इन अभिप्रयोगों में परिणाम निश्चित और एक ही होता है इसलिये प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं रहती।

(ii) अनिश्चित परिणाम वाले या यादृच्छ अभिप्रयोग (Indeterministic or random experiment)
वे अभिप्रयोग जिनके सभी संभव परिणाम निश्चित हों अर्थात् पहले से ज्ञात हों व संख्या में एक से अधिक हों लेकिन अभिप्रयोग की समाप्ति पर कौनसा परिणाम प्राप्त होगा इस बारे में अनिश्चितता हो यादृच्छ अभिप्रयोग कहलाते हैं।

प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space)
किसी अभिप्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय उस अभिप्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि (S.S) कहलाता है।

• (i) एक सिक्के की एक उछाल का प्रतिदर्श समष्टि (S.S) = {H, T}
• (ii) एक सिक्के की दो उछालों या दो सिक्कों की एक उछाल का प्रतिदर्श समष्टि (S.S) = {HH, HT, TH, TT}

घटना (Event)
किसी अभिप्रयोग का प्रत्येक संभव परिणाम एक घटना कहलाता है।

• (i) सरल घटना (Simple event): किसी प्रतिदर्श समष्टि के एक बिन्दु के संगत घटना या अभिप्रयोग का परिणाम सरल घटना कहलाती है।
• (ii) मिश्र या संयुक्त घटनाएँ (Compound events): जब दो या अधिक सरल घटनायें साथ-साथ घटें तो घटना संयुक्त कहलाती हैं।
• (iii) पूरक घटना (Complement of an event): यदि S प्रतिदर्श समष्टि हो तथा A कोई घटना हो तब उन बिन्दुओं का समुच्चय जो S में हो तथा A में न हो अर्थात् S-A, A की पूरक घटना कहलाती है। इसे संकेत A' से व्यक्त करते हैं।
• (iv) असम्भव घटना (Impossible event): वह घटना जिसके संगत अभिप्रयोग का कोई भी परिणाम न हो असम्भव घटना कहलाती है।
• (v) सदैव सम्भाव्य घटना (Sure event): वह घटना जिसमें प्रतिदर्श समष्टि के सभी बिन्दु निहित हों।
• (vi) अनुकूल स्थितियाँ या घटनाएँ (Favourable cases or events): किसी अभिप्रयोग के जिन सम्भावित परिणामों में कोई घटना विशेष घटती है वे परिणाम ही इस घटना के अनुकूल स्थितियाँ कहलाती हैं।
• (vii) समप्रायिक घटनाएँ (Equally likely events): जब किसी अभिप्रयोग के विभिन्न परिणाम सम्प्रायिक (समान अनुकूल स्थितियों वाले) हों अर्थात् किसी एक घटना को दूसरी घटना की तुलना में महत्त्व देने का कोई कारण न हो।
• (viii) परस्पर अपवर्जी घटनाएँ (Mutually exclusive events): दो या दो से अधिक घटनाएँ, जो साथ-साथ नहीं घट सकती हों अर्थात् एक घटना का होना अन्य घटनाओं के होने को रोकता हो। यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों तो \( A \cap B = \phi \)।
• (ix) स्वतन्त्र घटनाएँ (Independent events): दो या दो से अधिक घटनाएँ, जिनमें से किसी एक घटना का होना या न होना अन्य घटनाओं के होने या न होने को किसी भी तरह प्रभावित न करे।

प्रायिकता की गणितीय परिभाषा (Mathematical definition of probability)
यदि किसी यादृच्छ अभिप्रयोग के N निश्शेष, परस्पर अपवर्जी व समप्रायिक परिणाम (स्थितियाँ) हों तथा उनमें से किसी घटना A की अनुकूल स्थितियाँ m हों तो घटना A के घटने की प्रायिकता m/N होगी।

\[ P(A) = \frac{m}{N} = \frac{\text{A की अनुकूल स्थितियों की संख्या}}{\text{कुल स्थितियों की संख्या}} \]

प्रायिकता का योग प्रमेय (Addition theorem of probability)
किन्हीं दो घटनाओं A और B के लिए:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
यदि A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हों तब:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

प्रतिबन्धात्मक प्रायिकता (Conditional Probability)
जब एक घटना A की प्रायिकता, दूसरी घटना B के होने पर निर्भर करती हों तब B के घट जाने पर घटना A के होने की प्रायिकता को घटना A की प्रतिबन्धात्मक प्रायिकता कहते हैं और इसे संकेत \( P(A/B) \) से प्रदर्शित करते हैं।

\[ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0 \]

प्रायिकता का गुणन प्रमेय (Multiplication theorem of probability)
\[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A/B) = P(A) \cdot P(B/A) \]
यदि A और B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हों तब:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

प्रायिकता (Probability) - Continued

स्पष्टीकरण (Explanation)
प्रतिबन्धात्मक प्रायिकता के व्यापक सूत्र से हम जानते हैं कि

\[ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \implies P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A/B) \]

और

\[ P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \implies P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B/A) \]

(i) यदि A, B, C कोई तीन घटनाएँ हों तब

\[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B/A) \cdot P(C/A \cap B) \]

(ii) यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) कोई n घटनाएँ हों तब

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2/A_1) \dots P(A_n / A_1 \cap A_2 \dots \cap A_{n-1}) \]

(iii) यदि A और B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हों तब B के होने का A पर कोई प्रभाव नहीं होगा इसलिये

\[ P(A/B) = P(A) \quad \text{और} \quad P(B/A) = P(B) \]

और इस स्थिति में:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

(iv) व्यापीकरण (Generalisation)
यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) कोई n स्वतन्त्र घटनाएँ हों तब

\[ P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_n) \]

चूँकि इन घटनाओं का होना स्वतन्त्र है इसलिये इन सभी का न होना भी स्वतन्त्र होगा अतः

\[ P(A_1' \cap A_2' \cap \dots \cap A_n') = P(A_1') \cdot P(A_2') \dots P(A_n') \]

कम से कम एक घटना के होने की प्रायिकता (Probability of at least one event)
यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) घटनाएँ हों तब कम से कम एक घटना का होना और किसी घटना का न होना परस्पर अपवर्जी और पूरक घटनाएँ हैं।

\( P \)(कम से कम एक घटना के होने की) + \( P \)(किसी घटना के न होने की) = 1

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) + P(A_1' \cap A_2' \dots \cap A_n') = 1 \]

या

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(A_1' \cap A_2' \dots \cap A_n') \]

(i) यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) परस्पर स्वतन्त्र घटनाएँ हों तब

\[ P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = 1 - P(A_1') \cdot P(A_2') \dots P(A_n') \]

प्रायिकता सम्बन्धी नियमों व महत्वपूर्ण परिणामों की सूची (List of laws and important results of probability)
यदि A कोई घटना हो तब:

• (i) \( 0 \le P(A) \le 1 \)
• (ii) \( P(A) + P(A') = 1 \)
• (iii) यदि A व B समान प्रतिदर्श समष्टि की कोई दो घटनाएँ हों तो:
• (iv) यदि \( A \subseteq B \) तब \( P(A) \le P(B) \)
• (v) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
• (vi) \( P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \) जब \( P(A) > 0 \), और \( \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) जब \( P(B) > 0 \)
• (vii) \( P \)(ठीक एक घटना के होने की) = \( P(A \cap B') + P(A' \cap B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = P(A \cup B) - P(A \cap B) \)
• (viii) \( P \)(A व B में से किसी के न होने की) = \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) \)
• (ix) \( P(A' \cup B') = 1 - P(A \cap B) \)
• (x) \( P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B') \)
• (xi) \( P(A \cup B) \le P(A) + P(B) \implies P(A \cap B) \ge 0 \)
• (xii) \( 0 \le P(A \cap B) \le P(A) \le P(A \cup B) \le P(A) + P(B) \)
• (xiii) \( P(A/B) = P(A) \) यदि \( P(B) = 1 \)

A, B व C कोई तीन घटनाएँ हों तो:

• (xiv) \( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C) \)
• (xv) \( P \)(A, B, C में से कम से कम दो घटनाओं के होने की) = \( P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A) - 2P(A \cap B \cap C) \)
• (xvi) \( P \)(A, B, C में से ठीक दो के होने की) = \( P(A \cap B) + P(B \cap C) + P(C \cap A) - 3P(A \cap B \cap C) \)
• (xvii) \( P \)(A, B, C में से ठीक एक के घटने की) = \( P(A) + P(B) + P(C) - 2P(A \cap B) - 2P(B \cap C) - 2P(C \cap A) + 3P(A \cap B \cap C) \)
• (xviii) \( P(A \cap B / C) = P(A/C) \cdot P(B / A \cap C) \),
  \( P(B \cap C / A) = P(B/A) \cdot P(C / B \cap A) \),
  \( P(A \cap C / B) = P(C/B) \cdot P(A / C \cap B) \)
• (xix) \( P(A \cup B \cup C) \le P(A) + P(B) + P(C) \)

यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) कोई n घटनाएँ हों तब:

• (xx) \( P(A_1 \cup A_2 \dots \cup A_n) = \sum P(A_i) - \sum P(A_i \cap A_j) + \sum P(A_i \cap A_j \cap A_k) \dots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap A_2 \dots \cap A_n) \)
  या \( P(A_1 \cup A_2 \dots \cup A_n) = S_1 - S_2 + S_3 \dots + (-1)^{n-1} S_n \)
  जहाँ \( S_r \) n घटनाओं में से ठीक r घटनाओं के साथ-साथ घटने की प्रायिकताओं का योग है।
• (xxi) \( P(A_1 \cap A_2 \dots \cap A_n) \ge P(A_1) + P(A_2) \dots + P(A_n) - (n-1) \) (यह बूले की असमिका (Boole's inequality) कहलाती है।)
• (xxiii) यदि A व B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो A व B', A' व B तथा A' व B' भी स्वतन्त्र होगी। तब \( P(A/B') = P(A) \), \( P(A'/B') = P(A') \)
• (xxiv) यदि A व B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
• (xxv) \( P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = 1 - P(A') \cdot P(B') \)
• (xxvi) घटनाएँ A, B, C परस्पर स्वतन्त्र (Mutually independent) हों तब \( P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) \)
• (xxvii) यदि घटनाएँ A, B, C परस्पर युग्मों में स्वतन्त्र (Pair wise independent) हों तब \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \), \( P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C) \), \( P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) \)
• (xxviii) यदि \( A_1, A_2, \dots, A_n \) स्वतन्त्र घटनाएँ हों तो \( P(A_1 \cap A_2 \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_n) \)
• (xxix) यदि n स्वतन्त्र घटनाओं के होने की प्रायिकता क्रमशः \( p_1, p_2, \dots, p_n \) हो तो इनमें से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता \( 1 - (1-p_1)(1-p_2)\dots(1-p_n) \)
• (xxx) यदि A व B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हो तब \( P(A \cap B) = 0 \) और \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

द्विपद प्रमेय का प्रयोग (Use of Binomial Theorem)
यदि एक परीक्षण में किसी घटना के होने की प्रायिकता ज्ञात हो, तब n स्वतन्त्र परीक्षणों में से इस घटना के ठीक एक बार, दो बार, r बार, ... n बार होने की प्रायिकता, जबकि प्रत्येक परीक्षण में घटना के होने की प्रायिकता समान रहे, हम निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:
माना किसी घटना A की एक परीक्षण में होने की (सफलता की) प्रायिकता \( p \) है तब इस घटना के न होने की (असफलता की) प्रायिकता \( 1- p = q \) (माना) होगी। इस प्रकार n स्वतन्त्र परीक्षणों में से, एक दिये क्रम से इस घटना के r बार होने और n - r बार न होने की प्रायिकता, गुणन प्रमेय की सहायता से, \( p^r q^{n-r} \) होगी। लेकिन n में से r सफलताओं के क्रमों की संख्या n वस्तुओं में से r को एक साथ लेकर बनने वाले संचयों की संख्या अर्थात् \( ^nC_r \) के बराबर होगी। और ये सभी क्रम परस्पर अपवर्जी व समप्रायिक होंगे। अतः n स्वतन्त्र परीक्षणों में से घटना A के ठीक r बार घटित होने की अर्थात् ठीक r सफलता प्राप्त होने की प्रायिकता \( ^nC_r p^r q^{n-r} \) होगी। जो कि \( (q + p)^n \) के विस्तार में \( (r+1) \)वाँ पद है। इस प्रकार n स्वतन्त्र परीक्षणों में घटना A के ठीक शून्य बार, ठीक एक बार, ठीक दो बार... ठीक r बार ... और ठीक n बार होने की प्रायिकता निम्न होगी:

X	0	1	2	...	r	...	n
P(X)	\( ^nC_0 q^n \)	\( ^nC_1 q^{n-1} p \)	\( ^nC_2 q^{n-2} p^2 \)	...	\( ^nC_r q^{n-r} p^r \)	...	\( ^nC_n p^n \)

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वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) - PROBABILITY

01. प्रत्येक घटना A के लिए सत्य कथन है-
\( 0 \ge P(A) \ge 1 \) \( 0 \le P(A) \le 1 \) \( P(A) = 1 \) \( P(A) < 0 \)

02. एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है। दूसरे उछाल में उसके चित्त न आने की प्रायिकता है-
1 1/2 1/3 1/4

03. एक पासे के फेंकने पर सम अंक (या विषम अंक) आने की प्रायिकता है-
1/6 1/2 1/3 2/3

04. ताश के पत्तों की गड्डी से तीन पत्ते एक साथ निकाले जाते हैं, तो उनमें से एक राजा, एक रानी तथा एक गुलाम के होने की प्रायिकता है-
64/5525 16/5525 128/5525 64/525

05. एक थैले में 6 नीली, 4 सफेद एवं 6 लाल रंग की गेंदें हैं। थैले से यादृच्छया दो गेंदें निकाली जाती हैं। इन दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता है-
1/3 1/6 1/8 2/9

06. एक थैले में 1 से 20 नम्बर तक के टिकट हैं। कुल तीन टिकट निकाले गए। इनमें टिकट नं.7 अवश्य आने एवं टिकट नं.18 न आने की प्रायिकता है-
51/380 1/20 3/20 इनमें से कोई नहीं

07. 1, 2, 3, ...., 30, नम्बर लगे लॉटरी टिकटों में से 4 टिकट यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। इनमें नम्बर 1 और 2 के शामिल होने की प्रायिकता है-
413/145 2/145 1/145 4/145

08. एक अलीप वर्ष में 53 शनिवार आने की प्रायिकता है-
1/7 2/7 6/7 5/7

09. एक लीप वर्ष में 52 रविवार आने की प्रायिकता है-
1 5/7 2/7 इनमें से कोई नहीं

10. एक पार्टी में 13 पुरुष एवं 2 महिलाएँ हैं। उनको एक गोल मेज पर बैठाया जाता है। दो महिलाओं के एक साथ बैठने की प्रायिकता होगी-
2/105 1/105 1/14 1/7

11. एक थैले में दो जोड़े जूते रखे हैं। इससे दो जूते निकालने पर सही जोड़ा प्राप्त होने की प्रायिकता है-
1/3 1/2 1/4 2/3

12. दो पासों को फेंकने पर उन पर अंकों का योग अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता है-
1/6 5/12 1/2 इनमें से कोई नहीं

13. एक बक्से में 25 टिकिट जिन पर 1, 2, .... 25 नम्बर अंकित हैं। यदि दो टिकट यादृच्छया चुने जाए, तो उन पर अंकित नम्बरों का गुणन सम होने की प्रायिकता होगी-
11/50 13/50 37/50 इनमें से कोई नहीं

14. एक पद के दो रिक्त स्थानों के लिए 13 व्यक्ति साक्षात्कार के लिए बुलाए जाते हैं जिनमें 5 महिलाएँ एवं 8 पुरुष हैं। चयन किए गए 2 व्यक्तियों में से कम से कम एक के महिला होने की प्रायिकता है-
25/39 14/39 5/13 10/13

15. दो पासों को फेंकने पर योग 10 आने के विपक्ष में संयोगानुपात है-
9 : 1 10 : 1 11 : 1 12 : 1

16. अच्छी तरह फेंटी हुई ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया चुना जाता है। एक जुआरी शर्त लगाता है कि यह पत्ता या तो ईंट का या राजा है। उसके शर्त जीतने के पक्ष में संयोगानुपात है-
4 : 7 4 : 9 9 : 4 इनमें से कोई नहीं

17. एक थैले में 4 लाल तथा 4 सफेद गेंदें हैं। तीन गेंदें यादृच्छया चुनी जाती हैं। इन सभी गेंदों के सफेद होने के विपक्ष में संयोगानुपात है-
1 : 13 13 : 1 12 : 1 14 : 1

18. यदि A तथा B दो घटनाएँ हों, तो P(ना A ना ही B) बराबर है-
\( 1 - P(A \cup B) \) \( P(A) + P(B) \) \( 1 - P(A) - P(B) \) इनमें से कोई नहीं

19. किन्हीं दो घटनाओं A और B, के लिए P(A \cup B)-
सदैव \( P(A) + P(B) \) के बराबर है
कभी भी \( P(A) + P(B) \) के बराबर नहीं है
\( P(A) + P(B) \) के बराबर है यदि A और B स्वतन्त्र हैं
\( P(A) + P(B) \) के बराबर है यदि A और B असंयुक्त (परस्पर अपवर्जी) हैं

20. दो पासों के फेंकने पर योग सम या योग < 5 आने की प्रायिकता है-
1/2 1/6 2/3 5/9

21. दो पासों के फेंकने में अंकों का योग कम से कम 5 आने की प्रायिकता है-
1/6 5/6 4/6 इनमें से कोई नहीं

22. दो पासों के फेंकने पर एक पासे पर विषम एवं एक पर सम अंक आने की प्रायिकता है-
1/3 1/6 1/2 इनमें से कोई नहीं

23. ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया। निकाले गए पत्ते के ना तो पान के ना ही राजा होने की प्रायिकता है-
35/52 9/13 17/52 4/13

24. एक थैले में 20 गेंदों को क्रमानुसार नम्बर डाल कर रखा गया है। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है उस पर 3 या 5 के गुणज अंक होने की प्रायिकता है-
9/20 1/20 3/50 इनमें से कोई नहीं

25. तीन व्यक्तियों की एक दौड़ में जीत के पक्ष में संयोगानुपात क्रमशः 1: 3, 1: 5 और 1: 4 है। उनमें से केवल एक के द्वारा दौड़ जीतने की प्रायिकता है-
(1) 7/20    (2) 47/120    (3) 17/60    (4) 37/60

26. यदि P(A) = 0.25, P(B) = 0.50 और P(A ∩ B) = 0.14 हो, तब ना तो A ना ही B के घटित होने की प्रायिकता है-
(1) 0.39    (2) 0.25    (3) 0.11    (4) इनमें से कोई नहीं

27. यदि P(A) = 0.4 तथा P(B/A) = 0.5 हो तो P(A ∪ B) बराबर है-
(1) 0.8    (2) 0.7    (3) 0.6    (4) इनमें से कोई नहीं

28. दो पासों को फेंकने पर यदि कम से कम एक पासे पर 5 आता हो तो उन पर आने वाली संख्याओं का योग 10 या बड़ा होने की प्रायिकता होगी-
(1) 11/36    (2) 2/9    (3) 3/11    (4) 1/12

29. एक पासे के जोड़े को फेंकने पर यदि उन पर आने वाली संख्याएं भिन्न-भिन्न हों तो उन पर आने वाली संख्याओं का योग 6, होने की प्रायिकता होगी-
(1) 2/15    (2) 1/9    (3) 5/36    (4) 1/12

30. दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। यदि कम से कम एक पासे पर 3 आता है तो अंको का योग 9 से बड़ा आने की प्रायिकता होगी-
(1) 1/4    (2) 3/11    (3) 5/11    (4) शून्य

31. किसी शहर में 40% लोगों के भूरे बाल हैं, 25% की भूरी आँखें हैं तथा 15% लोगों के भूरे बाल तथा भूरी आँखें दोनों हैं। एक व्यक्ति का यादृच्छया चयन करने पर उसके भूरे बाल होने पर उसकी भूरी आँखें भी होने की प्रायिकता है-
(1) 2/5    (2) 1/4    (3) 1/2    (4) 3/8

32. यदि A तथा B दो स्वतन्त्र घटनाएँ हों, तो A तथा B में से केवल एक घटना घटित होने की प्रायिकता है-
(1) \( P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) \)
(2) \( P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
(3) \( P(A) + P(B) \)
(4) इनमें से कोई नहीं

33. यदि दो घटनाओं A और B के लिए P(AB) = P(A)P(B) हो, तो दोनों घटनाएँ होंगी-
(1) स्वतन्त्र    (2) परस्पर अपवर्जी    (3) आश्रित    (4) इनमें से कोई नहीं

34. \( p_1 \) और \( p_2 \) दो स्वतन्त्र घटनाओं की प्रायिकता हो तो \( (1 - p_1 - p_2 + p_1p_2) \) प्रायिकता है-
(1) दोनों के एक साथ घटित होने की    (2) कम से कम एक के घटित होने की    (3) इनमें से किसी के घटित न होने की    (4) केवल एक के घटित होने की

35. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। सब पर चित्त या सब पर पट आने की प्रायिकता है -
(1) 0    (2) 1/2    (3) 1/4    (4) 1

36. एक सिक्के को 4 बार उछालने पर कम से कम एक पट आने की प्रायिकता होगी-
(1) 1/16    (2) 14/16    (3) 15/16    (4) 1/4

37. तीन सिक्कों के एक उछाल में (या एक सिक्के के तीन उछालों में) चित्त और पट के एकान्तर आने की प्रायिकता है-
(1) 1/3    (2) 1/4    (3) 1/5    (4) 3/5

38. एक सिक्के को उछालते रहने पर पहली दो बार में पट न आने की व तीसरी बार में पट आ जाने की प्रायिकता है-
(1) 1/4    (2) 1/8    (3) 3/8    (4) 7/8

39. ताश के 52 पत्तों से एक-एक कर के दो पत्ते खींचे जाते हैं। यदि पहला खींचा हुआ पत्ता गड्डी में मिला दिया जाए तो पहले पत्ते का ईंट का पत्ता तथा दूसरे का राजा होने की प्रायिकता है-
(1) 1/52    (2) 1/13    (3) 1/4    (4) 4/13

40. A ताश की एक गड्डी से एक-एक कर के दो पत्ते निकालता है (पहले पत्ते को वापस रखते हुए) और B दो पासे एक साथ फेंकता है। तो A द्वारा निकाले गए दोनों पत्तों के समान सूट (suit) के होने तथा B द्वारा अंकों का योग 6 आने की प्रायिकता होगी-
(1) 1/4    (2) 1/44    (3) 5/144    (4) 7/144

41. भारत, वेस्टइंडीज तथा ऑस्ट्रेलिया से दो-दो मैच खेलता है। प्रत्येक मैच में भारत को 0, 1 और 2 अंक मिलने की प्रायिकता क्रमशः 0.45, 0.05 व 0.50 है। यह मान कर कि परिणाम स्वतन्त्र है, भारत के कम से कम 7 अंक अर्जित करने की प्रायिकता है-
(1) 0.8750    (2) 0.0875    (3) 0.6250    (4) 0.0250

42. अगले 25 वर्षों में एक व्यक्ति के जीवित रहने की प्रायिकता 4/5 है। उसकी पत्नी के उन्हीं 25 वर्षों में जीवित रहने की प्रायिकता 3/4 है। दोनों में से कम से कम एक के 25 वर्षों में जीवित रहने की प्रायिकता है-
(1) 19/20    (2) 3/5    (3) 3/20    (4) इनमें से कोई नहीं

43. एक पासे के जोड़े को 4 बार फेंका जाता है। यदि दोनों पासों पर समान अंक आने को सफलता माना जाये, तो दो बार सफलता प्राप्त होने की प्रायिकता होगी -
(1) 20/216    (2) 25/216    (3) 19/216    (4) इनमें से कोई नहीं

44. यदि एक घन को 6 बार उछाला गया तो 2 एवं 4 अंक ठीक तीन-तीन बार आने की प्रायिकता होगी-
(1) 1/5184    (2) 5/11664    (3) 1/46656    (4) 3/11664

45. 100 बल्बों के एक कार्टून में 90 बल्ब सही होने की गारन्टी है तो 8 बल्बों के एक नमूने में कम से कम एक बल्ब के खराब होने की प्रायिकता है-
(1) \( 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^8 \)    (2) \( \left(\frac{9}{10}\right)^8 \)    (3) \( \left(\frac{1}{10}\right)^8 \)    (4) \( 1 - \left(\frac{1}{10}\right)^8 \)

46. एक शत्रु विमान के बच निकलने के अनुकूल संयोगानुपात 4 : 1 है। तीन विमानों में से कम से कम एक विमान के क्षतिग्रस्त होने की प्रायिकता है-
(1) 1/125    (2) 16/125    (3) 61/125    (4) 64/125

47. भारत के टॉस जीतने की प्रायिकता 3/4 है यदि यह टॉस जीतती है तो इसके जीतने की प्रायिकता 4/5 है अन्यथा यह केवल 1/2 है तो भारत के जीतने की प्रायिकता है-
(1) 1/5    (2) 3/5    (3) 3/40    (4) 29/40

48. तीन समूह A, B, C किसी पद के लिए प्रतियोगी हैं। उनके जीतने की प्रायिकता क्रमशः 0.5, 0.3, व 0.2 है। यदि समूह A जीतता है, तो नये उत्पाद के सम्मिलित करने की प्रायिकता 0.7 है एवं B व C के लिए सापेक्ष प्रायिकताएं 0.6 व 0.5 हैं तो इस बात की प्रायिकता कि नया उत्पाद सम्मिलित किया जाए, है-
(1) 0.18    (2) 0.35    (3) 0.10    (4) 0.63

49. तीन पत्र अलग-अलग व्यक्तियों को लिखे गये और उनके पते लिफाफों पर लिखे गए। बिना पतों को देखे पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता है-
(1) 1/27    (2) 1/6    (3) 1/9    (4) इनमें से कोई नहीं

50. 3 पत्र और तीन लिफाफे हैं। पत्रों को लिफाफों में डालने पर सभी पत्र सही लिफाफों में न होने की प्रायिकता है-
(1) 1/6    (2) 1/2    (3) 1/3    (4) 5/6

Answer : (Probability)

Qus.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ans	2	2	2	2	3	1	2	1	2	4	1	2	3	1	3
Qus.	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ans	2	2	1	4	4	3	2	2	4	1	3	3	1	2	4
Qus.	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Ans	4	1	1	3	3	3	2	2	1	3	2	1	2	2	1
Qus.	46	47	48	49	50
Ans	3	4	4	2	4

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पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions) - PROBABILITY

01. एक नियमित षट्भुज के छः शीर्षों में से तीन शीर्ष यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। इस बात की प्रायिकता कि तीन शीर्षों से बना त्रिभुज समबाहु होगा, है- H-TET 2008, Navodaya Dec. 2016
Three of six vertices of a regular hexagon are chosen at random. The probability that the triangle with three vertices is equilateral, is
(1) 1/2    (2) 1/10    (3) 1/20    (4) 1/5

02. n पत्र n भिन्न-भिन्न व्यक्तियों को लिखे गये हैं और n लिफाफों पर पते भी लिखे हैं। यदि पत्र लिफाफों में यादृच्छिक रूप से रखे जाते हैं तो इस बात की प्रायिकता कि कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में नहीं रखा गया है, होगी- H-TET 2008
n letters are written to n different persons and addreses on the n envelopes are also written. If the letters are placed in the envelopes at random, the probability that at least one letter is not placed in the right envelope is
(1) \( 1 - \frac{1}{n} \)    (2) \( 1 - \frac{1}{2n} \)    (3) \( 1 - \frac{1}{n^2} \)    (4) \( 1 - \frac{1}{n!} \)

03. यदि पूर्णांक m तथा n, 1 और 100 के बीच यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं तो इस बात की प्रायिकता कि \( 7^m + 7^n \) के रूप की संख्या 5 से विभाज्य हो- H-TET 2008, K.V. Dec. 2018
If the integers m and n are chosen at random between 1 and 100 then the probability that a number of the form \( 7^m + 7^n \) is divisible by 5 is
(1) 1/4    (2) 1/7    (3) 1/5    (4) 1/49

04. इस बात की प्रायिकता कि 10 व्यक्तियों में से, जो सब अप्रैल में जन्मे हैं, कम से कम दो का जन्म दिन एक ही है- H-TET 2008
The probability that out of 10 persons, all born in April, at least two have the same birthday is
(1) \( \frac{^{30}C_{10}}{30^{10}} \)    (2) \( 1 - \frac{^{30}P_{10}}{30^{10}} \)    (3) \( \frac{^{30}C_{10}}{30^{10}} \)    (4) इनमें से कोई नहीं

05. यदि किसी परीक्षा में A के असफल होने की प्रायिकता 1/5 और B के असफल होने की प्रायिकता 3/10 है, तो A अथवा B के असफल होने की प्रायिकता है- H-TET 2008
If the probability of A to fail in an examination is 1/5 and that of B is 3/10 then the probability that either A or B fails is

06. माना A और B दो घटनायें इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.3 और P(A ∪ B) = 0.8 यदि A और B स्वतन्त्र घटनायें हैं तो P(B)= S. TET 2009
Let A and B be two events, such that P(A) = 0.3 and P(A ∪ B) = 0.8 if A and B are independent events then P(B)=
(1) 5/7    (2) 2/7    (3) 3/5    (4) None of these

07. बराबर संख्या के लड़के और लड़कियों के एक समूह में 20% लड़कियाँ और 35% लड़के स्नातक हैं। यदि समूह का एक सदस्य यादृच्छिक ढंग से चुना जाता है तो इस सदस्य के स्नातक न होने की प्रायिकता है- S. TET 2009
In a group of equal number of boys and girls, 20% girls and 35% boys are graduates. If a member of the group is selected at random, then the probability of this member not being a graduate is
(1) 11/40    (2) 9/20    (3) 11/20    (4) 29/40

08. एक सिक्का निश्चित बार उछाला गया है। यदि 7 हेड्स के आने की प्रायिकता 9 हेड्स के आने की प्रायिकता के बराबर हो तो 2 हेड्स के आने की प्रायिकता है- S. TET 2009
A coin is tossed a fixed number of times. If the probability of getting 7 heads is equal to getting 9 heads then the probability of 2 heads is
(1) 15/28    (2) 2/15    (3) 15/213    (4) इनमें से कोई नहीं

09. ताश की एक गड्डी में 4 इक्का, 4 बादशाह, 4 रानियाँ और 4 गुलाम हैं। दो पत्ते यादृच्छिक ढंग से निकाले जाते हैं। उनमें से कम से कम एक के इक्का होने की प्रायिकता है- S. TET 2009
A pack of cards contains 4 aces, 4 kings, 4 queens and 4 jacks. Two cards are drawn at random. The probability that at least one of them is an ace is
(1) 1/5    (2) 9/20    (3) 1/6    (4) 1/9

10. 10 से 99 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक ढंग से चुनी जाती है। संख्या को देखकर एक व्यक्ति उछलेगा यदि अंकों का गुणनफल 12 है। यदि वह तीन संख्यायें वापसी के साथ चुनता है तो कम से कम एक बार उछलने की प्रायिकता है- S. TET 2009
A number is chosen at random from the numbers 10 to 99. By seeing the number a man will jump if the product of the digits is 12. If he choose three numbers with replacement then the probability that he will jump at least once is
(1) \( 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^3 \)    (2) \( \left(\frac{43}{45}\right)^3 \)    (3) \( 1 - \left(\frac{24}{25}\right)^3 \)    (4) \( 1 - \left(\frac{43}{45}\right)^3 \)

11. नगर परिषद् में चार पुरुष व छः स्त्रियाँ हैं। यदि एक समिति के लिए यादृच्छया एक सदस्य चुना गया है, तो एक स्त्री के चुने जाने की सम्भावना है- [RPSC II Grade 2010]
There are four men and six women in municipal council. If one person is selected for a committe, then the probability that one women is selected, is
(1) 1/10    (2) 1/6    (3) 3/5    (4) 1/12

12. एक स्कूल की कक्षा XI के 40% विद्यार्थी गणित तथा 30% विद्यार्थी जीव-विज्ञान पढ़ते हैं। उसी कक्षा के 10% विद्यार्थी गणित और जीव-विज्ञान दोनों पढ़ते हैं। यदि कक्षा का एक विद्यार्थी यादृच्छया चुना जाता है, तो प्रायिकता है, वह गणित या जीव-विज्ञान पढ़ता है- [RPSC II Grade 2010]
In a school 40% students of class XI read Mathematics and 30% students read Biology. 10% students of the same class read both subjects Mathematics and Biology. If one student of the class is selected, then probability that this student read Mathematics or Biology is:
(1) 0.4    (2) 0.3    (3) 0.7    (4) 0.6

13. किन्हीं दो घटनाएँ A और B जो कि परस्पर अपवर्जी नहीं है तो P(A ∪ B) बराबर है:- [RPSC II Grade 2011]
Two events A and B are not mututially exclusive then P(A ∪ B) equals:
(1) P(A) + P(B)    (2) P(A) + P(B) + P(A ∩ B)    (3) P(A) - P(B)    (4) P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

14. किन्हीं दो घटनाएँ A और B के एक साथ घटित होने वाली प्रायिकता को व्यक्त करते हैं:- [RPSC II Grade 2011]
The probability of happning simultaneously any two events A and B, is denoted by:
(1) P(A ∪ B)    (2) P(A ∩ B)    (3) P(A/B)    (4) P(B/A)

15. n व्यक्ति एक गोल मेज के चारों तरफ बैठे हैं। दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के विपक्ष में क्या संयोगानुपात होंगे- [RPSC II Grade 2011]
n persons are sitting arround a circular table. Odds against the two specific persons sit together, are
(1) 2 : (n - 2)    (2) (n - 2) : 2    (3) (n - 3) : 2    (4) n - 2

16. यदि P(A/B) > P(A) तो निम्न में से सही कथन है:- [RPSC II Grade 2011]
If P(A/B) > P(A) then correct statment is :
(1) P(B/A) > P(B)    (2) P(B/A) < P(B)    (3) P(B/A) = P(B)    (4) P(B/A) = 0

17. एक लीप वर्ष में 53 रविवार आने की प्रायिकता है:- [RPSC II Grade 2011, RPSC II Grade 30 July, 2017]
The probability of 53 sundays in a leap yere
(1) 1/7    (2) 1/365    (3) 53/365    (4) 2/7

18. यदि A व B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 तथा P(A ∪ B) = 0.8 तो P(A/B) का मान होगा- [RPSC II Grade 2011]
If A and B are two such events that P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 and P(A ∪ B) = 0.8 then value of P(A/B) is equal to:
(1) 1    (2) 1/4    (3) 1/2    (4) 3/5

19. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रत्येक बार 4 से बड़ा अंक आने की प्रायिकता है:- [RPSC I Grade 2012]
A die is thrown two times. The probability of coming up a number more than 4 in each throw is :
(1) 1/9    (2) 1/3    (3) 2/3    (4) 1/2

20. यदि \( P(A \cup B) = \frac{1}{2}, P(A \cap B) = \frac{1}{2} \) और 2P(A) = P(B) = p, तो p बराबर है:- I Grade RPSC 2012
If \( P(A \cup B) = \frac{1}{2}, P(A \cap B) = \frac{1}{2} \) and 2P(A) = P(B) = p, than p is equal to :
(1) 1/2    (2) 1/3    (3) 1/4    (4) 2/3

21. एक थैले में 1 से 30 नम्बर तक की गेंदें हैं। इनमें से एक गेंद निकाली जाती है। इस गेंद का नम्बर 5 या 7 का गुणक होने की प्रायिकता है:- I Grade RPSC 2012
A bag containing balls numbered from 1 to 30. One ball is drawn at random from these balls. The probability that its number is a multiple of 5 or 7 is :
(1) 1/2    (2) 2/3    (3) 1/3    (4) 1/4

22. दो पासों को एक साथ उछाला जाता है, न तो दोनों समान अंक प्रदर्शित करें न ही दोनों पर आये अंकों का योग 9 हो, की प्रायिकता है? H.TET 2013
Two dice are thrown together. The probability that neither they show equal digits nor the sum of their digit is 9 will be:
(1) 13/15    (2) 13/18    (3) 8/9    (4) 1/9

23. लीप वर्ष में 53 रविवार या 53 सोमवार आने की संभाव्यता है- PGT 2014, [II Grade 2014]
In a leap year the probability of having 53 sundays or 53 Mondays is
(1) 2/7    (2) 3/7    (3) 4/7    (4) 5/7

24. पाँच सदस्यों के परिवार में ठीक-ठीक 2 सदस्यों का जन्म दिन रविवार को आने की संभाव्यता है- PGT 2014
The probability that in a family of 5 members, exactly two members have birthday on Sunday, is
(1) \( \frac{^{5}C_2 \cdot 6^3}{7^5} \)    (2) \( \frac{^{5}C_2 \cdot 6^2}{7^5} \)    (3) \( \frac{2}{5} \)    (4) \( \frac{^{5}C_3 \cdot 6^2}{7^5} \)

25. एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। चित्त और पट बारी बारी से आने की संभाव्यता है- PGT 2014
A coin is tossed 3 times.The probabilityof getting head and tail alternatively is
(1) 1/4    (2) 1/8    (3) 1/2    (4) 3/8

26. यदि A और B दो घटनाएँ स्वतन्त्र हैं, तो P(A ∩ B) इसके बराबर है- PGT 2014
If the events A and B are independent, the P(A ∩ B) is equal to
(1) P(A) + P(B)    (2) P(A) - P(B)    (3) P(A) . P(B)    (4) P(A) | P(B)

27. एक थैली में 5 लाल और 3 नीले रंग के गेंद हैं। यदि बदले बगैर तीन गेंद यों ही निकाले जाते हैं, तो ठीक एक लाल रंग का गेंद मिलने की संभाव्यता है- PGT 2014
A bag contains 5 red and 3 blue balls. If 3 balls are drawn at random without replacement the probability of getting exactly one red ball is
(1) 45/196    (2) 135/392    (3) 15/56    (4) 15/29

28. दो स्वतन्त्र घटनाएँ E1 और E2 के लिए P[(E1 ∪ E2) ∩ (E1 ∩ E2)] का मान है H-TAT 2014, H. TET July. 2016
For any two independent events E1 and E2, the value of P[(E1 ∪ E2) ∩ (E1 ∩ E2)] is
(1) 0    (2) > 1/4    (3) ≥ 1/2    (4) इनमें से कोई नहीं

29. पूर्णांक 1 से 11 में से दो पूर्णांकों का चयन किया जाता है। यदि उनका योग सम हो, तो उन दोनों के विषम होने की प्रायिकता क्या होगी? H-TAT 2014, H-TET Feb.2016, I Grade July 2016
Two integers are selected from integers 1 to 11. If their sum is even then the probability that both are odd will be:
(1) 2/5    (2) 3/5    (3) 4/5    (4) इनमें से कोई नहीं

30. वृत्त के भीतर स्थित कोई बिन्दु वृत्त के केन्द्र की तुलना में वृत्त की परिधि के निकट होने की प्रायिकता है- [I Grade July 2014]
The probability that a point inside the circle is nearer to the circumference of the circle comperative from the centre of the circle is
(1) 1/4    (2) 1/2    (3) 2/3    (4) 3/4

31. छः पृष्ठों वाले तीन पासे एक साथ उछाले जाते हैं। तीन संख्याओं में से ठीक दो के समान होने की प्रायिकता है- [I Grade July 2014]
Three six faced fair dice are tossed together. Then the probability that exactly two of the three numbers are same is:
(1) 1/3    (2) 5/12    (3) 5/6    (4) 2/5

32. एक पासा को लुढ़काने पर पृष्ठ k आने की प्रायिकता k के समानुपातिक है, जहाँ k =1, 2, 3, 4, 5, 6 प्रायिकता अचरांक क्या है? [I Grade July 2014]
A die is rolled so that the probability of face k is proportional of k, where k = 1, 2, 3, 4,5, 6. What is the probability constant?
(1) 1/6    (2) 1/14    (3) 1/21    (4) 1/36

33. A तथा B क्रमशः एक सिक्के को दो बार उछालते है, तो उनके द्वारा समान संख्या में चित्त आने की प्रायिकता है:- [II Grade 2014, K.V. Dec. 2018]
A and B respectively toss a coin two times, then probability of getting same number of heads is :
(1) 7/16    (2) 5/16    (3) 3/16    (4) 1/16

34. एक पासों का युग्म फेंका जाता है। यदि उनमें से कम से कम एक 5 दिखाता है, तो उनके अंकों का योग 10 या अधिक आने की प्रायिकता है:- [II Grade 2014]
A pair of dice is thrown. If at least one of them shows 5, then probability that the sum of their digits will be 10 or more:
(1) 1/6    (2) 2/9    (3) 3/11    (4) 1/12

35. एक यादृच्छिक चर X, जो द्विपद बंटन में है, का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 4 तथा 2 हों, तो P (X = 1) का मान है: [II Grade 2014]
The mean and variance of a random variable X in the Binomial distribution are 4 and 2 respectively, then the value of P (X = 1) is :
(1) 1/4    (2) 1/8    (3) 1/16    (4) 1/32

36. यदि शब्द 'ATTEMPT' के अक्षरों को यादृच्छिक रूप से लिखा जाये, तो सभी "T" साथ में आने की प्रायिकता है- H. TET 2016
If the letters of the word 'ATTEMPT' are written down at random, then the probability that all "T" are consecutive is
(1) 1/5    (2) 6/7    (3) 1/7    (4) 4/5

37. X, 75% मामलों में और Y, 80% मामलों में सच बोलते हैं। किसी समान तथ्य को बताते समय प्रायिकता क्या होगी कि दोनों एक-दूसरे का विरोधाभास करे? I Grade July, 2016
X speaks truth in 75% cases and Y in 80% cases. What is the probability that they contradict each other in stating the same fact?
(1) 7/20    (2) 13/20    (3) 3/20    (4) 1/5

38. 2 क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से, जिनमें अवयव केवल 0 अथवा 1 हैं, एक सारणिक का चयन यादृच्छिक आधार पर किया जाता है। चयनित सारणिक के अशून्य होने की प्रायिकता है- I Grade July, 2016
A determinant is chosen at random from the set of all determinants of order 2 with elements 0 or 1 only. The probability that the determinant chosen is non-zero is
(1) 3/16    (2) 3/8    (3) 1/4    (4) 1/2

39. माना कि चर X के लिए द्विपद बंटन B(6, 1/2) है। X का मान जिसके आने की प्रायिकता सबसे अधिक है, वह है Navodaya Dec. 2016
Let variable X has a binomial distribution B(6, 1/2). Then most likely outcome is when value of X is
(1) 2    (2) 3    (3) 4    (4) 5

40. दो थैलों में से, एक थैले में 3 एक रुपये के सिक्के तथा 6 पाँच रुपये के सिक्के हैं। दूसरे थैले में 2 एक रुपये के सिक्के तथा 7 पाँच रुपये के सिके हैं। यादृच्छया से एक थैला चुना गया तथा इससे एक सिक्का यादृच्छया से लिया गया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह एक पाँच रुपये का सिक्का है। Navodaya Dec. 2016
There are two bags - one containing 3 one rupee coins 6 five rupee coins and the other containing 2 one rupee coins, 7 five rupee coins. One bag is chosen at random and from that one coin is drawn at random. What is the probability that it is a 5 rupee coin?
(1) 2/9    (2) 7/18    (3) 5/18    (4) 13/18

41. दो पासे एक साथ फेंके गए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले पांसे पर चिह्न 3 से अधिक हो तथा दूसरे पासे पर चिह्न 4 से अधिक हो: Navodaya Dec. 2016
Two dice are thrown. The probability that the number of dots on the first dice exceeds 3 and that on the second exceeds 4 is
(1) 2/6    (2) 3/6    (3) 1/6    (4) 5/6

42. माना कि P(A) = 0.4, P(B) = P और P(A ∪ B) = 0.7 है। यदि A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं, तो P का मान है Navodaya Dec. 2016
Supose P(A) = 0.4, P(B) = P and P(A ∪ B) = 0.7. If A and B are independent events, then value of P is
(1) 0.5    (2) 0.3    (3) 0.55    (4) 0.6

43. एक जार (डिब्बे) में 20 से 99 अंकित कार्ड हैं इसमें से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता कि इस कार्ड पर अंकित संख्या अभाज्य हो तथा इस अभाज्य संख्या के अंक भी अभाज्य हों, है : Navodaya Dec. 2016
In a jar, there are cards bearing numbers from 20 to 99. A card is chosen is chosen at random. The probability that the chosen card is bearing a prime number whose digits are also prime, is
(1) 1/5    (2) 1/10    (3) 1/20    (4) 4/79

44. यदि 10 सिक्कों को उछाला जाए तो केवल 5 चित्त आने की प्रायिकता होगी? H-TET Feb.2016
In tossing 10 coins the probability of getting exactly 5 heads is
(1) 193/256    (2) 9/128    (3) 1/2    (4) 63/256

45. दो घटनाएँ A व B स्वतन्त्र होंगी यदि Two events A and B will be independent if H. TET July. 2016
(1) P(A'B') = [1 - P(A)] [1 - P(B)]    (2) P(A) = P(B)    (3) P(A) + P(B) = 1    (4) P(AB) ≠ P(A) P(B)

46. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती? Which of the following number cannot be a probability of an event? H. TET July. 2016
(1) 2/3    (2) -1.5    (3) 15%    (4) 0.7

47. यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है, तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है- A pair of dice is thrown, the probability of getting even prime number on each die is: (K.V. Jan., 2017)
(1) 1/36    (2) 1/3    (3) 1/12    (4) 0

48. यदि A और B दो स्वतन्त्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A)=4/5 और P(B)=5/9 है, तो P(A' ∩ B') है (जहाँ A', "A नहीं है " दर्शाता है): K.V. 2017
If A and B are two independent events with P(A) = 4/5 and P(B) = 5/9, then P(A' ∩ B') is (where A' means "not A"):
(1) 4/45    (2) 16/45    (3) 1/9    (4) 4/9

49. A तथा B स्वतन्त्र रूप से प्रश्न हल करने की प्रायिकता क्रमशः 1/2 तथा 1/3 हैं यदि दोनों स्वतन्त्र रूप से प्रश्न को हल करने का प्रयास करें तो प्रश्न हल हो जाता है, की प्रायिकता है: K.V. 2017
Probability of solving a problem independently by A and B are 1/2 and 1/3 respectively. If both try to solve the problem independently, the probability that the problem is solved is:
(1) 2/3    (2) 1/2    (3) 1/3    (4) 1/6

50. प्रथम 20 धनात्मक पूर्णांकों में से 3 पूर्णांकों को यादृच्छया छांटा गया। उनका गुणनफल सम होने की प्रायिकता है- Three integers are chosen at random from the first 20 positive integers. The probability that their product is even is K.V. 2017
(1) 4/29    (2) 2/19    (3) 3/29    (4) 17/19

51. आठ सिक्के एक साथ फेंके गये। कम-से-कम 6 चित्त आने की प्रायिकता है: K.V. 2017
Eight coins are tossed simultaneously. The probabilityof getting at least 6 heads is
(1) 39/256    (2) 35/256    (3) 36/256    (4) 37/256

52. एक वृत्त के अंतःभाग से एक बिन्दु को यादृच्छया चुना गया। इस बिन्दु के वृत्त की परिसीमा की तुलना में वृत्त के केन्द्र के निकट होने की प्रायिकता है- K.V. 2017
A point is selected randomly from the interior of a circle. The probability that the point is closer to the centre then the boundary of circle is
(1) 2/3    (2) 3/4    (3) 1/2    (4) 1/4

53. एक पांसे को तीन बार फेंका जाता है। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है- A die is rolled three times. The probability of getting a larger number than the previous number each time is H-TAT 2017
(1) 1/18    (2) 5/54    (3) 5/72    (4) 13/216

54. A तथा B एक सिक्के को क्रमशः तीन बार उछालते हैं। दोनों के द्वारा समान संख्या में चित्त आने की प्रायिकता है- A and B toss a coin three times respectively. The probability of obtaining same number of heads by both of them, is H-TAT 2017
(1) 3/64    (2) 7/64    (3) 13/64    (4) 19/64

55. दो वास्तविक संख्याएँ x और y यादृच्छिक रूप से चयन की जाती है। दिया है 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 माना A एक घटना है कि \( y^2 \le x \); B एक घटना है कि \( x^2 \le y \), तो- H-TAT 2017
Two real numbers, x and y are selected at random. Given that 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1. Let A be the event that \( y^2 \le x \); B be the event that \( x^2 \le y \), then:
(1) A और B परस्पर अपवर्जक घटनाएँ हैं A and B mutually exclusive events    (2) A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं A and B are independent event    (3) P(A ∩ B) = 1/3    (4) P(A ∪ B) = 1/3

56. तीन छात्रों X, Y और Z को एक समस्या हल करने के लिए दी जाती है जिसके हल करने की सम्भावना क्रमशः 1/2, 1/3 और 1/4 है। समस्या हल होने की सम्भावना बराबर है- RPSC II Grade 30 July, 2017
A problem is given to three students X, Y and Z whose chances of solving it are 1/2, 1/3 and 1/4 respectively. The chance that the problem will be solved, is equal to
(1) 1/2    (2) 1/3    (3) 1/4    (4) 3/4

57. एक सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। कम से कम एक चित्त आने की प्रायिकता है- RPSC II Grade 30 July, 2017
A coin is tossed 4 times. The probability that atleast one head turns up, is
(1) 1/4    (2) 1/2    (3) 1/16    (4) 15/16

58. द्विपद बंटन का मानक विचलन बराबर है (n, p, q के सामान्य अर्थ हैं) RPSC II Grade 30 July, 2017
Standard deviation of Binomial distribution is equal to (n, p, q have their usual meaning)
(1) np    (2) \( \sqrt{np} \)    (3) npq    (4) \( \sqrt{npq} \)

59. यदि द्विपद बंटन का माध्य 3 है तथा इसका प्रसरण 3/2 है तो अभिप्रयोगों की संख्या है- RPSC II Grade 30 July, 2017
If mean of a Binomial distribution is 3 and its variance is 3/2 the number of trials is
(1) 6    (2) 12    (3) 4    (4) 8

60. एक बर्नोली बंटन में p व q क्रमशः सफलता व असफलता की प्रायिकता को प्रदर्शित करते हैं, तो इस बंटन के माध्य व प्रसरण के मध्य सम्बन्ध होगा- RPSC II Grade 2018
For Bernoulli distribution with probability p of success and q of a failure, the relation between mean and variance is
(1) माध्य < प्रसरण mean < variance    (2) माध्य > प्रसरण mean > variance    (3) माध्य = प्रसरण mean = variance    (4) माध्य ≤ प्रसरण mean ≤ variance

61. दिया है P(A) = 1/3, P(B) = 1/4, P(A/B) = 1/6 तो प्रायिकता P(B/A) होगी- RPSC II Grade 2018
Given that P(A) = 1/3, P(B) = 1/4, P(A/B) = 1/6 then the probability P(B/A) is equal to
(1) 1/4    (2) 3/4    (3) 1/8    (4) इनमें से कोई नहीं

62. गणित की एक समस्या चार विद्यार्थियों A, B, C व D को दी गई जिनके द्वारा इसको हल करने की प्रायिकतायें क्रमशः 1/2, 1/3, 1/4 व 1/5 हैं। प्रश्न के हल होने की क्या प्रायिकता होगी- A problem in mathematics is given to four students A, B, C and D whose chances of solving it are 1/2, 1/3, 1/4 and 1/5 respectively. What is the chance that the problem will be solved? RPSC II Grade 2018
(1) 1/120    (2) 1/15    (3) 119/120    (4) 4/5

63. अच्छी तरह से फेंटे हुए ताश के 52 पत्तों में से एक ताश की पत्ती निकाली गई। एक जुआरी शर्त लगाता है कि यह पत्ता या तो पान का होगा या इक्का होगा। जुआरी के शर्त जीतने के विपक्ष में संयोगानुपात होंगे- RPSC II Grade 2018
A card is drawn from a well shuffled pack of 52 cards. A gambler bets that it is either a heart or an ace. What are odds against his winning this bet?
(1) 9 : 4    (2) 4 : 9    (3) 35 : 52    (4) 1 : 3

64. यदि द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण क्रमशः 8 व 4 हैं, तो P(x = 1) का मान होगा- RPSC II Grade 2018
The mean and variance of a binomial distribution are 8 and 4 respectively, then P(x = 1) is equal to
(1) 12(1/2)^12    (2) 4(1/2)^12    (3) 6(1/2)^12    (4) 8(1/2)^12

65. एक सिक्के को 6 बार उछालते हैं। ठीक चार शीर्ष प्राप्त होने की प्रायिकता है- U.P. II Grade 29 July, 2018
A coin is thrown 6 times. The probability of getting exactly four heads is
(1) 1/4    (2) 3/4    (3) 5/16    (4) 15/64

66. एक थैले में 8 लाल और 5 सफेद गेंदें हैं। यादृच्छया तीन गेंदें निकाली जाती हैं। एक लाल और दो सफेद गेंद होने की प्रायिकता है- U.P. II Grade 29 July, 2018
A bag contains 8 red and 5 white balls. Three balls are drawn at random. The probability that one ball is red and two balls are white, is
(1) 40/143    (2) 80/146    (3) 10/296    (4) 5/286

67. भौतिकी की एक समस्या को तीन विद्यार्थियों द्वारा हल करने की प्रायिकता 1/4, 1/3, 1/2 है, तो इस समस्या के हल न होने की प्रायिकता क्या है- RPSC II Grade (Sansktri Dept.) 2019
A problem in physics is given to three students whose chances of solving it are 1/4, 1/3, 1/2. What is the probability that problem will not be solved?
(1) 1 - (12/13)    (2) 1/4    (3) 3/4    (4) 12/13

68. एक फैक्ट्री द्वारा निर्मित किसी बल्ब के प्रयोग में लाने के 300 दिनों में फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। ऐसे ही 5 बल्बों में अधिक से अधिक एक बल्ब के 300 दिन के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता होगी- RPSC II Grade (Sansktri Dept.) 2019
The probability that a bulb produced by a factory will fuse after 300 days of use is 0.05 The probability that out of 5 such bulbs not more than one will fuse after 300 days of use is:
(1) 46/5 (19/20)    (2) 5 (19/20)^1    (3) (19/20)^5    (4) 46/5 (19/20)^5 (options based on context)

69. एक छः फलकों वाले पासों के जोड़े को छः बार उछाला जाता है, एवं कुल योग सात आने पर वह सफलता है, तो कम से कम 5 सफलताएँ होने की प्रायिकता है- RPSC II Grade (Sansktri Dept.) 2019
A pair of 6 face dice is thrown 6 times. If getting a total of 7 is considered a success, the probability of getting at least 5 successes is:
(1) 1 - (5/6^5)    (2) 1 - (31/6^5)    (3) 31/6^6    (4) 5/6^5

70. एक A व्यक्ति 60% मामलों में सच बोलता है एवं अन्य व्यक्ति B 30% मामलों में झूठ बोलता है, तो कितने प्रतिशत मामलों में एक ही बयान को बताने में वे दोनों परस्पर विरोधाभासी होंगे- RPSC II Grade (Sansktri Dept.) 2019
A person speaks truth in 60% case and another person B speaks false in 30% cases. In what percentage of cases they are likely to contradict each other in stating the same fact?
(1) 36%    (2) 66%    (3) 56%    (4) 46%

71. यदि तीन पेटियों में जिसमें 3 लाल और 1 हरी, 2 लाल और 2 हरी, 1 लाल और 3 हरी गेंदें हैं। यदि प्रत्येक पेटी से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाए तो 2 लाल और 1 हरी गेंद निकल आने की प्रायिकता यह होगी- In three boxes there are 3 red and 1 green, 2 red and 2 green, 1 red and 3 green balls. If one ball is drawn from each box then, the probability of drawing 2 red and 1 green ball is NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) 13/32    (2) 15/32    (3) 11/32    (4) 9/32

72. एक अक्षर को शब्द 'STATISTICS' के अक्षरों से यादृच्छिक ढंग से निकाला गया और एक अन्य अक्षर को शब्द 'ASSISTANT' के अक्षरों में से निकाला गया। ये अक्षर एकसमान होने की कितनी प्रायिकता है- One letter is selected from word 'STATISTICS' and one other letter is selected from the word 'ASSISTANT'. The probability that both selected letters are same, is NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) 1/10    (2) 1/45    (3) 1/15    (4) 19/90

73. दो पासों को एक बार उछाला गया। तब पहले पासे पर सम संख्या अथवा कुल 8 प्राप्त होने की प्रायिकता ----- है- MP TET 2019
Two dice are tossed once. Then the probability of getting an even number on the first die or a total of 8 is
(1) 5/9    (2) 4/9    (3) 2/9    (4) 7/9

74. एक पासे को दो बार फेंका गया। तब दोनों फेंकों में से कम से कम एक बार 4 प्राप्त होने की प्रायिकता है- A die is thrown twice. Then the probability of gatting 4 atleast one times is: MP TET 2019
(1) 11/36    (2) 10/36    (3) 12/36    (4) 13/36

75. यदि A, B एवं C तीन परस्पर अपवर्जी एवं निःशेष घटनाएँ इस प्रकार हैं कि यदि P(B) = 3/2 P(A) एवं P(C) = 1/2 P(B) तब P(A) = MP TET 2019
If A, B, C are three matually exclusive and exhaustive events such that if P(B) = 3/2 P(A) and P(C) = 1/2 P(B) then P(A) =
(1) 5/14    (2) 5/13    (3) 4/11    (4) 4/13

76. एक डिब्बे में 24 क्लीनर रखे हुए हैं जिन पर 1 से 24 तक की संख्याएँ अंकित हैं। यदि डिब्बे से अक्रमित रूप से एक क्लीनर निकाला जाता है, तो इसकी कितनी संभाव्यता है कि इस पर अभाज्य संख्या अंकित होगी? NVS PGT 2019
A box contains 24 pieces of cleners which are numbered from 1 to 24. If one cleaner is drawn at random from the box then the probability that it bears a prime number is
(1) 2/5    (2) 3/8    (3) 1/3    (4) 2/3

77. यदि A तथा B, P(A ∪ B) = 0.9 तथा P(B') = 0.2 सहित स्वतन्त्र हैं, तो P(A) क्या होगा- NVS PGT 2019
If two events A and B, with P(A ∪ B) = 0.9 and P(B') = 0.2 are independent then that P(A) is equal to
(1) 1/4    (2) 1/3    (3) 1/2    (4) 2/3

78. यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 तथा P(A/B) = 1/4, तब P(A ∩ B) बराबर है- If A and B are two events such that P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 and P(A/B) = 1/4, then P(A ∩ B) is equal to H-TET 2019
(1) 1/12    (2) 3/4    (3) 1/4    (4) 3/16

79. एक थैले में नौ गेंदें हैं, जिनमें से तीन लाल, चार नीली तथा दो हरी हैं। तीन गेंदों को थैले में से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है, तब निकाली गई गेंदों के विभिन्न रंगों के होने की प्रायिकता है- H-TET 2019
An urn contains nine balls of which three arc red, four are blue and two are green. Three balls are drawn of random without replacement from the urn. The probability that the three balls have different colour is
(1) 1/3    (2) 2/7    (3) 1/21    (4) 2/23

80. 100 के बराबर या छोटी प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से दो संख्याएँ p तथा q चुनी जाती हैं तब योग \( (13^p + 13^q) \) का 5 से विभाजित होने की प्रायिकता है- RPSC I Grade 2020
Two numbers p and q are choosen from set of natural numbers less than or equal to 100. Then the probability that the sum \( (13^p + 13^q) \) is divisible by 5 is
(1) \( \frac{13}{p+q} \)    (2) \( \frac{1}{13} \)    (3) 1/5    (4) 5/13

81. वृत्त \( x^2 + y^2 = 4 \) के अन्तर्गत एक बिन्दु यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बिन्दु के किसी त्रिज्या के मध्य में स्थित होने की क्या प्रायिकता है- RPSC I Grade 2020
A points is selected at random from the interior of a circle \( x^2 + y^2 = 4 \). What is the probability that the point is in middle of any radius?
(1) 2/π    (2) 1/4    (3) 2/4    (4) 3/4

82. एक निष्पक्ष सिक्का तीन बार उछाला जाता है। घटना A 'चित्त और पट दोनों आयें' है। घटना B 'पट अधिकतम एक बार आये' है। घटनाएँ A तथा B हैं- RPSC I Grade 2020
An unbiased coin is tossed three times. A is the event "both heads and tails have occurred" and event B is "at most one tail has occurred". The events A and B are.
(1) स्वतन्त्र Independent    (2) परतन्त्र Dependent    (3) सशर्त स्वतन्त्र Conditional Independent    (4) सशर्त परतन्त्र Conditional dependent

83. टीम A, टीम X, Y तथा Z प्रत्येक के साथ दो मैच खेलती है। टीम A, 0.6 प्रायिकता के साथ जीतती है तथा 2 अंक प्राप्त करती है, 0.15 प्रायिकता से मैच अनिर्णीत रहता है तथा टीम A को एक अंक मिलता है, तथा 0.25 प्रायिकता से हारने पर कोई अंक नहीं मिलता है। खेल में जीतने के लिए, टीम A को कम से कम 11 अंक प्राप्त करने होंगे। टीम A के जीतने की प्रायिकता क्या होगी? RPSC I Grade 2020
Team A plays two matches with the each team X, Y and Z. Team A, wins with probability 0.6 and gets 2 points, the match ties with probability 0.15 and team A gets one point, and losses with probability 0.25, gets no point. For wining the game, team A has to get atleast 11 points. What is the probability that team A will win?
(1) \( 2.5 \times (0.6)^6 \)    (2) \( 2.5 \times (0.6)^5 \cdot (0.15)^1 \)    (3) \( 4 \times (0.6)^5 \cdot (0.15)^1 \)    (4) \( 6 \times (0.6)^5 \cdot (0.15)^1 \)

84. एक पासा (2n + 1, n ∈ N) बार फेंका गया। क्या प्रायिकता है कि विषम संख्या विषम बार प्रदर्शित हो? A dice is thrown (2n + 1, n ∈ N ) number of times. What is the probability that odd number shows up odd number of times? RPSC I Grade 2020
(1) 1/2    (2) \( \frac{1}{2n} \)    (3) \( \frac{^{2n+1}C_n}{2^{2n+1}} \)    (4) \( \frac{^{2n}C_n}{2^{2n+1}} \)

85. एक 52 पत्तों की गड्डी में से दो पत्ते, बिना पहला पत्ता वापस डाले, निकाले हैं। दोनों पत्तों के इक्के होने की प्रायिकता है- Two cards are drawn one by one without replacement from a well shuffled pack of 52 cards. The probability that both being aces is I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
(1) 1/51    (2) 1/221    (3) 2/243    (4) 2/13

86. यदि A तथा B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(A)=0.3, P(B)=0.4 तथा P(A∩B)=0.5 तब P(B/(A∪B)) होगी- If A and B are two events such that P(A)=0.3, P(B) = 0.4 and P(A∩B)=0.5 then P(B/(A∪B)) is: I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
(1) 0.35    (2) 0.25    (3) 0.40    (4) 0.30

87. दो पासे फेंके जाते हैं, तो दोनों पासे के अंकों का योग 7 आने की प्रायिकता है- Two dice are thrown. The probability that the sum of the points on two dice will be 7, is ACF Feb. 2021
(1) 1/6    (2) 7/6    (3) 8/36    (4) 5/36

88. एक द्विपद-बंटन में माध्य तथा प्रसरण के मान क्रमशः 4 तथा 2 हैं, तो 2 सफलताओं के लिए प्रायिकता है- The mean and the variance of a binomial distribution are 4 and 2 respectively. Then the probability of 2 successes is ACF Feb. 2021
(1) 36/256    (2) 128/256    (3) 37/256    (4) 28/256

89. यदि P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B), हो तो कौनसा कथन सही है- If P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) then which is correct statement? College Lect. Tech Edu. 15 March, 2021
(1) P(B/A) = P(B) - P(A)    (2) P(A' - B') = P(A') - P(B')    (3) P(A ∪ B)' = P(A') P(B')    (4) P(A/B) = P(A) - P(B)

90. घटनाएँ S तथा T स्वतन्त्र है तथा P(S) < P(T), P(S ∩ T ) = 6/25 एवं P(S/T)+P(T/S) = 1, तब P(S) होगा- Events S and T are independent with P(S) < P(T), P(S ∩ T) = 6/25 and P(S/T)+P(T/S) = 1 then P(S) is College Lect. Tech Edu. 15 March, 2021
(1) 1/25    (2) 1/5    (3) 6/25    (4) 2/5

91. यदि A तथा B दो घटनाएँ हैं तथा प्रायिकता P(B) ≠ 1, तो P(A) - P(A∩B) / (1-P(B)) बराबर है- If A and B are two events and the probability P(B)≠1, then P(A) - P(A∩B) / (1 - P(B)) is equal to College Lect. Tech Edu. 15 March, 2021
(1) P(A/B)    (2) P(A/B')    (3) P(B/A)    (4) P(B/A')

92. एक निशानेबाजी प्रतियोगिता में एक लक्ष्य को भेदने की A की प्रायिकता 1/2, B की 2/3 तथा C की 3/4 है। यदि सभी लोग लक्ष्य को साधते हैं तो उनमें से कम से कम एक द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता है- In a shooting test, the probability of hitting the target is 1/2 for A, 2/3 for B and 3/4 for C. If all of them fire at the target, find the probability that at least one of them hits the target. College Lect. Tech Edu. 15 March, 2021
(1) 1/24    (2) 3/8    (3) 23/24    (4) 5/8

93. यदि प्रतिदर्श समष्टि में 1 से 2n तक के पूर्णांक हैं, जिनकी प्रायिकता उनके लघुगणक के समानुपाती है, तब पूर्णांक 2 आने की सप्रतिबंध प्रायिकता, जबकि पूर्णांक आता है, होगी- The sample space consists of integers from 1 to 2n which are assigned probabilities proportional to their logarithms. Find the conditional probability of integer 2, given that an even integer occurs is: College Lect. Tech Edu. 15 March, 2021
(1) \( \frac{\log 2}{\log 2 + \log n} \)    (2) \( \frac{\log 2}{\log 2 + \log n!} \)    (3) \( \frac{1}{\log 2 + \log n!} \)    (4) \( \frac{\log 2}{\log 2 + \log n! + \dots} \)

94. यदि एक यादृच्छिक चर X निम्न प्रायिकता बंटन रखता है- If a random variable X has the following probability distribution:
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
P(x): K, 3K, 5K, 7K, 9K, 11K, 13K, 15K, 17K
तो P(0 < x < 4) = then P(0 < x < 4) = College Lect. 02 Oct., 2021
(1) 15/81    (2) 16/81    (3) 36/81    (4) 56/81

95. यदि घटनायें A और B इस प्रकार हैं कि P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2, P(A|B) = 1/4 है, तो कौनसा कथन सत्य है- If events A and B are such that P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/2, P(A|B) = 1/4, then which statement is true? College Lect. 02 Oct., 2021
(1) A और B परस्पर अपवर्जी है A and B are mutually exclusive    (2) A, B की उप-घटना है A is sub-event of B    (3) 3P(A | B) = 4    (4) P(A|B) + P(A| B') = 1

96. यदि P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, P(A ∪ B) = 11/12 है, तो (A|B) ÷ P(B|A) = If P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, P(A ∪ B) = 11/12 then P(A|B) ÷ P(B|A) = College Lect. 02 Oct., 2021
(1) 1/2    (2) 2/9    (3) 4/9    (4) 3/11

97. निम्न में से कौनसा कथन सत्य है Which of the following statements is true? College Lect. 02 Oct., 2021
(1) यदि P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 है, तो A ∩ B = ∅    (2) यदि P(A) = 0 है, तो P(A∩B) = 0    (3) यदि P(A) = P(B) = p है, तो P(A∩B) ≤ p²    (4) यदि P(A) = P(B) है, तो A = B

98. एक समूह में पुरुष एवं महिला समान संख्या में हैं, 10% पुरुष और 45% महिलायें बेरोजगार हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गये एक व्यक्ति के रोजगार युक्त होने की क्या प्रायिकता है? In a group of equal number of men and women, 10% men and 45% women are unemployed. What is the probability that a person selected at random is employed? College Lect. 02 Oct., 2021
(1) 11/40    (2) 17/40    (3) 21/40    (4) 29/40

99. एक द्विपद चर के प्रसरण का महत्तम सम्भाव्य मान है- The largest possible value of the variance of a binomial variate is College Lect. 02 Oct., 2021
(1) n    (2) n/2    (3) n/3    (4) n/4

Answer : (Probability Previous Exams)

Qus	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ans	2	4	3	3	1	1	4	3	2	4	3	4	4	2	3
Qus	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ans	1	4	3	1	4	3	2	2	4	1	3	3	1	2	4
Qus	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45
Ans	2	3	2	3	4	3	1	2	2	4	3	1	3	4	1
Qus	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
Ans	2	1	1	1	4	4	4	2	4	3	4	4	4	1	2
Qus	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
Ans	3	4	1	1	4	1	2	4	3	4	1	4	1	1	4
Qus	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
Ans	2	3	3	2	3	3	1	1	1	2	2	1	4	3	4
Qus	91	92	93	94	95	96	97	98	99
Ans	3	3	2	1	3	3	2	4	4