Mathematics

RPSC 2nd Grade शिक्षक 2026 - Mathematics Paper Solution

Question 1

\[ \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} \, dx = \]

• (1) \( \tan(x/2) + \sec(x/2) + c \)
• (2) \( x \sec(x/2) + c \)
• (3) \( x \tan(x/2) + c \)
• (4) \( \sec(x/2) - \tan(x/2) + c \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 2

यदि \[ \int \frac{24e^{-x} - 14e^x}{9e^x - 4e^{-x}} \, dx = Ax + B \log(9e^{2x} - 4) + c \] हो, तो \( (A + 9B) \) का मान है -

• (1) 0
• (2) 14
• (3) 15
• (4) 26
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 3

वक्र \( x = a(\theta - \sin \theta) \), \( y = a(1 - \cos \theta) \) के बिन्दु \( \theta = \pi/2 \) पर अभिलम्ब का समीकरण है -

• (1) \( x + y + a\pi/2 = 0 \)
• (2) \( x - y + a\pi/2 = 0 \)
• (3) \( x + y - a\pi/2 = 0 \)
• (4) \( x - y - a\pi/2 = 0 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 4

अन्तराल \( [0, \pi/2] \) में वक्रों \( y = \tan x \), \( y = \cot x \) और x-अक्ष से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

• (1) \( \log_{e}2 \)
• (2) \( \frac{1}{2} \log_{e}2 \)
• (3) \( \frac{1}{4} \log_{e}2 \)
• (4) \( 2 \log_{e}2 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 5

वृत्त \( x^2 + y^2 = 9 \) और सरल रेखा \( x + y = 3 \) द्वारा परिबद्ध लघु क्षेत्र का क्षेत्रफल है -

• (1) \( \pi - 3 \) वर्ग इकाई
• (2) \( 9\pi/4 + 9/2 \) वर्ग इकाई
• (3) \( 9\pi/4 - 9/2 \) वर्ग इकाई
• (4) \( \pi + 3 \) वर्ग इकाई
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 6

दो सदिश \( \vec{a} \) और \( \vec{b} \) इस प्रकार हैं कि \( |3\vec{a} + \vec{b}| = |2\vec{a} + 3\vec{b}| \) और \( \vec{a} \) तथा \( \vec{b} \) के मध्य कोण 60° है। यदि \( \vec{a} \) एक इकाई सदिश है, तो \( |\vec{b}| \) बराबर है -

• (1) 8
• (2) 5
• (3) 3
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 7

यदि \( [x] \) महत्तम पूर्णांक फलन है, तो \[ \int_{0}^{100} e^{x-[x]} \, dx \] का मान है -

• (1) 100(e + 1)
• (2) 10(e + 1)
• (3) 99(e - 1)
• (4) 100(e - 1)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (4)

Explanation: Not Available

Question 8

\( \vec{a}, \vec{b} \) तथा \( \vec{c} \) तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि \( |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 2 \)। \( \vec{a}, \vec{b} \) के लम्बवत् है। यदि \( \vec{c}, \vec{a} \) व \( \vec{b} \) के साथ क्रमशः \( \alpha \) व \( \beta \) कोण बनाता हो, तो \( (\cos^2\alpha - \cos^2\beta + \cos\beta) \) का मान है -

• (1) 0
• (2) 1
• (3) 1/2
• (4) 2
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (4)

Explanation: Not Available

Question 9

दिया है, \( \vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \) और \( |\vec{b}| = 1 \) और \( \vec{a} \times \vec{b} = \hat{i} - \hat{j} \) तो \( \vec{a} - 6\vec{b} \) बराबर है -

• (1) \( \hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
• (2) \( 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \)
• (3) \( 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \)
• (4) \( 4(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 10

दिया है, \( \vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} \) और \( \vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \), एक सदिश जिसका परिमाण 12 है, \( (\vec{a} + \vec{b}) \) व \( (\vec{a} - \vec{b}) \) दोनों के लम्बवत् है। सदिश बराबर है -

• (1) \( 4(2\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \)
• (2) \( 2(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \)
• (3) \( 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \)
• (4) \( 4(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 11

संख्याएँ 3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24 आरोही क्रम में व्यवस्थित की गई हैं। यदि इन संख्याओं का माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन 6 है, तो माध्यिका है -

• (1) 8
• (2) 9
• (3) 10
• (4) 11
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (4)

Explanation: Not Available

Question 12

द्विघातीय समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के लिये संख्याएँ a, b और c एक पासे को तीन बार फेंक कर प्राप्त की जाती हैं। इस समीकरण के समान मूल होने की प्रायिकता है -

• (1) 1/108
• (2) 1/72
• (3) 1/54
• (4) 5/216
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (4)

Explanation: Not Available

Question 13

एक यादृच्छिक चर X, माध्य 8 और प्रसरण 4 वाला एक द्विपद बंटन रखता है। यदि \( P(X \le 2) = \frac{k}{2^{16}} \) तो k बराबर है -

• (1) 8
• (2) 5
• (3) 3
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 14

8 संख्याओं x, y, 10, 12, 6, 12, 4, 8 का माध्य और प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 है। यदि x > y, तो 3x - 2y बराबर है -

• (1) 7
• (2) 13
• (3) 25
• (4) 36
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 15

यदि \( G = [a] \), एक 24 कोटि का चक्रीय समूह हो तथा \( a^{1980} = a^n \) के साथ ही 0 < n < 24 तो n का मान है -

• (1) 12
• (2) 4
• (3) 3
• (4) 16
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 16

यदि \( G \) एक परिमित समूह है और \( H \), \( G \) का एक उपसमूह है, तो \( H \) की कोटि \( G \) की कोटि को विभाजित करती है। इस प्रमेय को किस नाम से जाना जाता है?

• (1) कौशी प्रमेय
• (2) लैन्ग्रेंज प्रमेय
• (3) केली प्रमेय
• (4) साइलो प्रमेय
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 17

एक परिमित चक्रीय समूह जिसकी कोटि \( n \) है, के जनकों की कुल संख्या होती है -

• (1) \( n \)
• (2) \( \phi(n) \)
• (3) \( n/2 \)
• (4) \( \sqrt{n} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 18

यदि \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 5 \) को \( x - 2 \) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल फलन का मान क्या होगा?

• (1) 1
• (2) -1
• (3) 3
• (4) -3
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 19

समीकरण निकाय \( 2x + 3y = 5 \) तथा \( 4x + 6y = 10 \) के हलों की संख्या होगी -

• (1) अद्वितीय हल
• (2) कोई हल नहीं
• (3) अनन्त हल
• (4) दो हल
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 20

यदि एक आव्यूह \( A \) के लिए \( A^2 = A \) हो, तो आव्यूह \( A \) कहलाता है -

• (1) समशक्त आव्यूह (Idempotent)
• (2) शून्यभावी आव्यूह (Nilpotent)
• (3) अंतर्वलनीय आव्यूह (Involutary)
• (4) लाम्बिक आव्यूह (Orthogonal)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 21

श्रेणी \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) अभिसारी होती है यदि और केवल यदि:

• (1) \( p \le 1 \)
• (2) \( p < 1 \)
• (3) \( p > 1 \)
• (4) \( p \ge 1 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 22

फलन \( f(x) = |x| \) बिन्दु \( x = 0 \) पर:

• (1) सतत है परन्तु अवकलनीय नहीं है
• (2) सतत तथा अवकलनीय दोनों है
• (3) न तो सतत है और न ही अवकलनीय है
• (4) अवकलनीय है परन्तु सतत नहीं है
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 23

समीकरण \( \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + y = 0 \) की कोटि (order) और घात (degree) क्रमशः हैं:

• (1) 3, 2
• (2) 2, 3
• (3) 2, 1
• (4) 1, 3
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 24

यदि \( A \) और \( B \) दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ \( P(A) = 0.3 \) और \( P(B) = 0.4 \), तो \( P(A \cap B) \) का मान होगा:

• (1) 0.7
• (2) 0.12
• (3) 0.012
• (4) 0.1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 25

समीकरण \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) के मूलों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) क्या होगा?

• (1) 5/12
• (2) 12/5
• (3) 5/2
• (4) 2
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 26

समीकरण \( 3x + 4y - 5 = 0 \) और \( 6x + 8y + 7 = 0 \) के बीच की लम्बवत् दूरी है:

• (1) 12/10
• (2) 17/10
• (3) 2/5
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 27

शंकु परिच्छेद (Conic Section) \( x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 0 \) निरूपित करता है एक:

• (1) दीर्घवृत्त
• (2) बिन्दु वृत्त
• (3) परवलय
• (4) अतिपरवलय
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 28

त्रिभुज जिसके शीर्ष \( (0,0), (4,0) \) तथा \( (0,3) \) हैं, का अंतःकेन्द्र (Incenter) होगा:

• (1) \( (1,1) \)
• (2) \( (2,1) \)
• (3) \( (1,2) \)
• (4) \( (2,2) \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 31

फलन \( f(z) = \bar{z} \) (जहाँ \( \bar{z} = x - iy \)) समिश्र तल के किस बिन्दु पर विश्लेषिक (Analytic) है?

• (1) प्रत्येक बिन्दु पर
• (2) मूल बिन्दु पर
• (3) किसी भी बिन्दु पर नहीं
• (4) केवल वास्तविक अक्ष पर
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 32

यदि \( u = x^2 - y^2 \) एक प्रसंवादी (Harmonic) फलन है, तो इसका प्रसंवादी संयुग्मी (Harmonic Conjugate) \( v \) होगा:

• (1) \( 2xy + c \)
• (2) \( -2xy + c \)
• (3) \( x^2 + y^2 + c \)
• (4) \( xy + c \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 33

अनन्त श्रेणी \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \) है:

• (1) निरपेक्ष अभिसारी (Absolutely Convergent)
• (2) सप्रतिबंध अभिसारी (Conditionally Convergent)
• (3) अपसारी
• (4) दोलायमान
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 34

माना \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = \sin x \) द्वारा परिभाषित है, तो फलन \( f \) है:

• (1) एकैकी तथा आच्छादक
• (2) एकैकी परन्तु आच्छादक नहीं
• (3) बहु-एकैकी तथा अंतःक्षेपी
• (4) आच्छादक परन्तु एकैकी नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 35

समुच्चय \( A = \{1, 2, 3\} \) पर परिभाषित तुल्यता संबंधों की कुल संख्या होगी:

• (1) 3
• (2) 5
• (3) 8
• (4) 9
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 36

रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) में संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) हमेशा होता है एक:

• (1) अवमुख समुच्चय (Convex Set)
• (2) अवतल समुच्चय (Concave Set)
• (3) विवृत समुच्चय (Open Set)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 37

सिम्पलेक्स विधि में, यदि किसी स्तंभ के सभी गुणांक \( x_j \le 0 \) हों, तो समस्या का हल होता है:

• (1) अनन्त हल
• (2) अपरिबद्ध हल (Unbounded Solution)
• (3) कोई संभाव्य हल नहीं
• (4) इष्टतम हल
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 39

यदि \( z = f(x,y) \) तथा \( x = r\cos\theta, y = r\sin\theta \) हो, तो \( \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 \) का मान बराबर है:

• (1) \( \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2 \)
• (2) \( \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2 \)
• (3) \( r^2\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2 \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 40

वक्र \( y^2(a-x) = x^3 \) की अनन्तस्पर्शी (Asymptote) का समीकरण है:

• (1) \( x = 0 \)
• (2) \( x = a \)
• (3) \( y = a \)
• (4) \( x + y = a \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 41

वक्र \( r = a(1+\cos\theta) \) (Cardioid) की सम्पूर्ण लम्बाई होती है:

• (1) \( 4a \)
• (2) \( 6a \)
• (3) \( 8a \)
• (4) \( 2\pi a \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 43

अवकल समीकरण \( (D^2 - 4D + 4)y = e^{2x} \) का विशेष समाकल (Particular Integral) है:

• (1) \( \frac{x^2}{2}e^{2x} \)
• (2) \( xe^{2x} \)
• (3) \( \frac{x}{2}e^{2x} \)
• (4) \( x^2e^{2x} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 44

अवकल समीकरण \( x^2p^2 + 3xyp + 2y^2 = 0 \) (जहाँ \( p = \frac{dy}{dx} \)) का व्यापक हल है:

• (1) \( (yx - c_1)(yx^2 - c_2) = 0 \)
• (2) \( (y - cx)(y - cx^2) = 0 \)
• (3) \( (xy - c)(x^2y - c) = 0 \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 45

प्रथम कोटि आंशिक अवकल समीकरण \( pp' + qq' = 1 \) किस रूप का समीकरण कहलाता है?

• (1) लैन्ग्रेंज रैखिक समीकरण
• (2) शर्पिट समीकरण
• (3) क्लेरो का समीकरण
• (4) होमोजेनियस समीकरण
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 46

समीकरण \( x^2 \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - y^2 \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0 \) का प्रकार वर्गीकरण है:

• (1) दीर्घवृत्तीय (Elliptic)
• (2) परवलयिक (Parabolic)
• (3) अतिपरवलयिक (Hyperbolic)
• (4) निश्चित नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 47

संख्यात्मक विश्लेषण में, अग्रान्तर ऑपरेटर \( \Delta \) और विस्थापन ऑपरेटर \( E \) में संबंध होता है:

• (1) \( E = 1 - \Delta \)
• (2) \( E = 1 + \Delta \)
• (3) \( \Delta = E + 1 \)
• (4) \( E\Delta = 1 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 48

सिम्पसन के \(1/3\) नियम द्वारा क्षेत्रकलन हेतु कोटियों (Ordinates) की संख्या होनी चाहिए:

• (1) सम
• (2) विषम
• (3) 3 का गुणज
• (4) कोई भी संख्या
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 49

समीकरण \( f(x) = 0 \) के वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन-राफ्सन विधि की अभिसरण दर (Rate of Convergence) होती है:

• (1) 1
• (2) 2
• (3) 1.618
• (4) 3
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 51

यदि \( S \) एक सदिश समष्टि \( V \) का एक उपसमुच्चय है, तो \( S \) का रैखिक विस्तार \( L(S) \) होता है \( V \) का:

• (1) लघुत्तम उपसमष्टि जिसमें \( S \) समाहित है
• (2) वृहत्तम उपसमष्टि जिसमें \( S \) समाहित है
• (3) केवल एक उपसमुच्चय
• (4) शून्य उपसमष्टि
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 52

रैखिक रूपान्तरण \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) जो \( T(x,y,z) = (x+y, y+z) \) द्वारा परिभाषित है, की अष्टि (Kernel) की विमा (Nullity) होगी:

• (1) 0
• (2) 1
• (3) 2
• (4) 3
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 53

3x3 कोटि के एक वास्तविक आव्यूह के अभिलाक्षणिक मूल (Eigenvalues) 1, -1, और 2 हैं। आव्यूह के सारणिक (Determinant) का मान होगा:

• (1) 2
• (2) -2
• (3) 0
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 54

यदि स्थिति सदिश \( \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \) हो, तो \( \nabla \cdot \vec{r} \) (Divergence of r) का मान है:

• (1) 0
• (2) 1
• (3) 3
• (4) \( \vec{r} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 55

एक सदिश क्षेत्र \( \vec{F} \) अघूर्णीय (Irrotational) कहलाता है यदि:

• (1) \( \nabla \cdot \vec{F} = 0 \)
• (2) \( \nabla \times \vec{F} = \vec{0} \)
• (3) \( \nabla^2 \vec{F} = 0 \)
• (4) \( \vec{F} = \vec{0} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 56

गॉस की अपसरण प्रमेय (Gauss Divergence Theorem) परिवर्तित करती है:

• (1) रेखा समाकल को पृष्ठीय समाकल में
• (2) पृष्ठीय समाकल को आयतन समाकल में
• (3) रेखा समाकल को आयतन समाकल में
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 57

यदि \( P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 \) तथा \( P(B|A) = 0.4 \) हो, तो \( P(A \cap B) \) का मान है:

• (1) 0.32
• (2) 0.25
• (3) 0.40
• (4) 0.20
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 58

मानक सामान्य बंटन (Standard Normal Distribution) का माध्य (Mean) और मानक विचलन (Standard Deviation) क्रमशः होते हैं:

• (1) 1, 0
• (2) 0, 1
• (3) \( \mu, \sigma \)
• (4) 0, 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 59

एक दृढ़ पिण्ड पर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बल जिनका क्रिया बिन्दु भिन्न हो, निर्माण करते हैं:

• (1) एकल बल का
• (2) एक बल युग्म (Couple) का
• (3) साम्यावस्था का
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 60

एक कण एक समान कोणीय वेग \( \omega \) से एक वृत्त जिसका अर्द्धव्यास \( a \) है, में गतिमान है। कण का त्रिज्य त्वरण (Radial Acceleration) होगा:

• (1) \( a\omega^2 \)
• (2) \( -a\omega^2 \)
• (3) 0
• (4) \( 2a\omega \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 61

समीकरण \( \sin x + \cos x = 2 \) के वास्तविक हलों की संख्या है:

• (1) 0
• (2) 1
• (3) 2
• (4) अनन्त
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 62

श्रेणी \( 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{6!} + \dots \infty \) का मान है:

• (1) \( \cosh(1) \)
• (2) \( \sinh(1) \)
• (3) \( e \)
• (4) \( e^{-1} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 63

यदि \( \log_{10} x = y \) हो, तो \( \log_{100} x^2 \) का मान होगा:

• (1) \( 2y \)
• (2) \( y \)
• (3) \( y/2 \)
• (4) \( 4y \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 64

फलन \( f(x) = \sin^{-1}(2x) \) का प्रान्त (Domain) है:

• (1) \( [-1, 1] \)
• (2) \( [-1/2, 1/2] \)
• (3) \( [0, 1] \)
• (4) \( \mathbb{R} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 65

एक बहुभुज में विकर्णों (Diagonals) की संख्या 44 है। बहुभुज की भुजाओं की संख्या होगी:

• (1) 11
• (2) 10
• (3) 12
• (4) 8
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 66

यदि श्रेणी \( a, b, c \) गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हों, तो \( \log a, \log b, \log c \) होंगे:

• (1) समांतर श्रेणी (A.P.) में
• (2) हरात्मक श्रेणी (H.P.) में
• (3) गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 67

अतिपरवलय \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) की उत्केन्द्रता (Eccentricity) \( e \) का सूत्र है:

• (1) \( \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \)
• (2) \( \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \)
• (3) \( \sqrt{\frac{b^2}{a^2} - 1} \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 68

यदि रेखाएँ \( y = m_1x + c_1 \) और \( y = m_2x + c_2 \) परस्पर लम्बवत् हों, तो सत्य कथन है:

• (1) \( m_1 = m_2 \)
• (2) \( m_1 m_2 = 1 \)
• (3) \( m_1 m_2 = -1 \)
• (4) \( m_1 + m_2 = 0 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 69

समीकरण \( x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 \) एक वास्तविक गोले को निरूपित करता है यदि:

• (1) \( u^2 + v^2 + w^2 - d > 0 \)
• (2) \( u^2 + v^2 + w^2 - d < 0 \)
• (3) \( u^2 + v^2 + w^2 - d = 0 \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 70

एक समतल \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \) अक्षों को क्रमशः A, B, C पर काटता है। त्रिभुज ABC के केन्द्रक (Centroid) के निर्देशांक होंगे:

• (1) \( (a,b,c) \)
• (2) \( (a/3, b/3, c/3) \)
• (3) \( (a/2, b/2, c/2) \)
• (4) \( (3a, 3b, 3c) \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 71

फलन \( f(x) = x^3 - 3x \) का स्थानीय उच्चिष्ठ (Local Maxima) किस बिन्दु पर होगा?

• (1) \( x = 1 \)
• (2) \( x = -1 \)
• (3) \( x = 0 \)
• (4) \( x = \sqrt{3} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 72

निश्चित समाकल \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx \] का मान है:

• (1) \( \pi/2 \)
• (2) \( \pi/4 \)
• (3) \( \pi \)
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 73

आव्यूह \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \) का प्रतिलोम (Inverse) आव्यूह होगा:

• (1) \( \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
• (2) \( \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
• (3) \( \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 74

रोले की प्रमेय (Rolle's Theorem) फलन \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) के लिए अंतराल \( [1, 3] \) में संतुष्ट होती है, तो बिन्दु \( c \) का मान होगा:

• (1) 2
• (2) 1.5
• (3) 2.5
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 75

यदि \( y = e^{ax} \), तो इसका \( n \)-वां अवकलज \( y_n \) होगा:

• (1) \( a^n e^{ax} \)
• (2) \( e^{ax} \)
• (3) \( n a e^{ax} \)
• (4) \( a e^{ax} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 76

समूह \( (Z_4, +_4) \) में अवयव 3 का गुणात्मक या योगात्मक प्रतिलोम (Inverse element) है:

• (1) 1
• (2) 2
• (3) 3
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 77

फलन \( f(x) = x^2 \) के लिए समाकल \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \) का मान रीमान समाकल (Riemann Integral) परिभाषा से है:

• (1) 1/2
• (2) 1/3
• (3) 1/4
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 78

समिश्र संख्या \( z = 1 + i \) का कोणांक (Argument) मुख्य मान है:

• (1) \( \pi/2 \)
• (2) \( \pi/4 \)
• (3) \( \pi/3 \)
• (4) \( \pi/6 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 79

परवलय \( y^2 = 4ax \) की नाभि (Focus) के निर्देशांक हैं:

• (1) \( (0,a) \)
• (2) \( (a,0) \)
• (3) \( (-a,0) \)
• (4) \( (0,-a) \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 80

यदि किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 1:2:3 हो, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात होगा:

• (1) \( 1 : 2 : 3 \)
• (2) \( 1 : \sqrt{3} : 2 \)
• (3) \( 1 : 1 : \sqrt{2} \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 81

एक थैले में 5 सफेद और 3 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के काले होने की प्रायिकता है:

• (1) 3/28
• (2) 9/64
• (3) 1/4
• (4) 5/28
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 82

फलन \( f(x) = \cos x + \sin x \) का आवर्तकाल (Period) होता है:

• (1) \( \pi \)
• (2) \( 2\pi \)
• (3) \( \pi/2 \)
• (4) \( 4\pi \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 83

परिमित अन्तर कलन में केन्द्रीय अन्तर ऑपरेटर \( \delta \) का मान निरूपित किया जाता है:

• (1) \( E^{1/2} - E^{-1/2} \)
• (2) \( E^{1/2} + E^{-1/2} \)
• (3) \( E - 1 \)
• (4) \( 1 - E^{-1} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 84

गति विज्ञान में, केंद्रीय कक्ष (Central Orbit) के लिए अवकल समीकरण धुव्रीय रूप में होता है:

• (1) \( \frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{F}{h^2u^2} \)
• (2) \( \frac{d^2u}{d\theta^2} - u = \frac{F}{h^2u^2} \)
• (3) \( \frac{du}{d\theta} + u^2 = F \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 85

यदि आंशिक अवकल समीकरण में \( r = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, s = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, t = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \) हो, तो लक्षण गुणांक शर्त \( s^2 - 4rt = 0 \) प्रदर्शित करती है:

• (1) परवलयिक रूप
• (2) दीर्घवृत्तीय रूप
• (3) अतिपरवलयिक रूप
• (4) सरल रैखिक रूप
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 86

फलन \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) का अंतराल \( [2, 3] \) पर न्यूनतम मान है:

• (1) 0
• (2) -1/4
• (3) 1/4
• (4) -2
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 87

दो रेखाओं \( \vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1} \) तथा \( \vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2} \) के मध्य न्यूनतम दूरी का सूत्र अंश (Numerator) रूप है:

• (1) \( |(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})| \)
• (2) \( |(\vec{a_2} + \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})| \)
• (3) \( |(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times (\vec{b_1} \cdot \vec{b_2})| \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 88

यदि \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \) तथा \( \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c} \) हो, जहाँ \( \vec{a} \neq \vec{0} \) हो, तो:

• (1) \( \vec{b} = \vec{c} \)
• (2) \( \vec{b} \perp \vec{c} \)
• (3) \( \vec{b} \parallel \vec{c} \)
• (4) \( \vec{b} = -\vec{c} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 89

समीकरण \( \tan^{-1} x + \cot^{-1} x \) का मान होता है:

• (1) \( \pi \)
• (2) \( \pi/2 \)
• (3) \( 0 \)
• (4) \( \pi/4 \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 90

यदि \( y = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right) \) हो, तो \( \frac{dy}{dx} \) का मान है:

• (1) \( \frac{2}{1+x^2} \)
• (2) \( \frac{1}{1+x^2} \)
• (3) \( \frac{2}{1-x^2} \)
• (4) \( \frac{-2}{1+x^2} \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 91

एक समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या (Inradius) \( r \) तथा बाह्यत्रिज्या (Circumradius) \( R \) में संबंध होता है:

• (1) \( R = 2r \)
• (2) \( R = 3r \)
• (3) \( r = 2R \)
• (4) \( R = \sqrt{2}r \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 92

यदि \( 1, \omega, \omega^2 \) इकाई के घनमूल हों, तो \( (1 - \omega + \omega^2)^5 + (1 + \omega - \omega^2)^5 \) का मान है:

• (1) 32
• (2) -32
• (3) 64
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 93

द्विपद विस्तार \( (x + y)^n \) में पदों की कुल संख्या होती है:

• (1) \( n \)
• (2) \( n+1 \)
• (3) \( n-1 \)
• (4) \( 2n \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 94

वक्र \( y = \log x \) तथा \( x \)-अक्ष एवं कोटियों \( x = 1, x = e \) से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

• (1) 1 वर्ग इकाई
• (2) \( e \) वर्ग इकाई
• (3) \( e-1 \) वर्ग इकाई
• (4) 2 वर्ग इकाई
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 95

त्रिविमीय ज्यामिति में, समतल \( 2x - 3y + 6z = 7 \) के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ (Direction Cosines) हैं:

• (1) \( \left(\frac{2}{7}, \frac{-3}{7}, \frac{6}{7}\right) \)
• (2) \( (2, -3, 6) \)
• (3) \( \left(\frac{2}{5}, \frac{-3}{5}, \frac{6}{5}\right) \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 96

यदि \( E \) और \( F \) दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \( P(E) = 0.35 \) और \( P(E \cup F) = 0.60 \), तो \( P(F) \) का मान क्या है?

• (1) 5/13
• (2) 4/13
• (3) 0.25
• (4) 0.35
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 97

द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के लिए अवकलज गुणांकों का रोंस्कियन (Wronskian) \( W(x) \) यदि एक बिन्दु पर शून्य है, तो फलन होते हैं:

• (1) रैखिकतः आश्रित (Linearly Dependent)
• (2) रैखिकतः स्वतंत्र (Linearly Independent)
• (3) सतत नहीं
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 98

फलन \( f(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x - y} \) की समघातता (Homogeneity) की घात \( n \) है:

• (1) 3
• (2) 2
• (3) 1
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 99

यदि \( \vec{F} = \nabla \phi \) हो, तो रेखा समाकल \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) का मान निर्भर करता है:

• (1) केवल पथ के प्रारंभिक और अंतिम बिन्दुओं पर
• (2) पथ की वास्तविक आकृति पर
• (3) पथ के माध्यम बिन्दुओं पर
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 100

फलन \( f(x) = |x-1| \) अंतराल \( [0, 2] \) में लान्ग्रेंज माध्यमान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) की शर्तों को:

• (1) पूर्णतः संतुष्ट करता है
• (2) संतुष्ट नहीं करता क्योंकि यह \( x=1 \) पर अवकलनीय नहीं है
• (3) संतुष्ट नहीं करता क्योंकि यह सतत नहीं है
• (4) आंशिक रूप से संतुष्ट करता है
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 101

निम्नलिखित में से कौन-सा गणितीय कथन विविक्त चर (Discrete Variable) का उदाहरण नहीं है?

• (1) कक्षा में छात्रों की संख्या
• (2) एक पासे को फेंकने पर प्राप्त अंक
• (3) एक व्यक्ति की वास्तविक लम्बाई
• (4) किसी पुस्तक में मुद्रण त्रुटियों की संख्या
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 102

कथन "यदि त्रिभुज समबाहु है, तो वह समद्विबाहु भी होगा" का प्रतिधनात्मक (Contrapositive) कथन है:

• (1) यदि त्रिभुज समद्विबाहु है, तो वह समबाहु होगा।
• (2) यदि त्रिभुज समद्विबाहु नहीं है, तो वह समबाहु नहीं होगा।
• (3) यदि त्रिभुज समबाहु नहीं है, तो वह समद्विबाहु नहीं होगा।
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 103

यदि \( A \) एक वर्ग आव्यूह है, तो \( A - A^T \) हमेशा होता है एक:

• (1) सममित आव्यूह
• (2) विषम-सममित आव्यूह
• (3) अदिश आव्यूह
• (4) इकाई आव्यूह
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 104

वक्र \( r^n = a^n \cos n\theta \) के किसी बिन्दु पर ध्रुवान्तर रेखा तथा स्पर्श रेखा के मध्य कोण \( \phi \) का मान होता है:

• (1) \( n\theta \)
• (2) \( \frac{\pi}{2} + n\theta \)
• (3) \( \frac{\pi}{2} - n\theta \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 105

गामा फलन के गुणधर्मानुसार \( \Gamma(n+1) = n\Gamma(n) \) मान्य होता है जब:

• (1) \( n > 0 \)
• (2) \( n < 0 \)
• (3) \( n = 0 \)
• (4) प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 106

अवकल समीकरण \( p^2 - 5p + 6 = 0 \) (जहाँ \( p = \frac{dy}{dx} \)) का व्यापक हल होगा:

• (1) \( (y - 2x - c)(y - 3x - c) = 0 \)
• (2) \( (y - 2x - c_1)(y - 3x - c_2) = 0 \)
• (3) \( (y + 2x - c)(y + 3x - c) = 0 \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 107

संख्यात्मक अवकलन में न्यूटन के अग्र-अन्तर सूत्र के अनुसार \( \frac{dy}{dx} \) का मान \( x = x_0 \) पर होता है:

• (1) \( \frac{1}{h} \left[ \Delta y_0 - \frac{1}{2}\Delta^2 y_0 + \frac{1}{3}\Delta^3 y_0 - \dots \right] \)
• (2) \( \frac{1}{h} \left[ \Delta y_0 + \frac{1}{2}\Delta^2 y_0 + \frac{1}{3}\Delta^3 y_0 + \dots \right] \)
• (3) \( h \left[ \Delta y_0 - \frac{1}{2}\Delta^2 y_0 + \dots \right] \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 108

साम्यावस्था के सामान्य सिद्धान्त के अंतर्गत कल्पित कार्य का सिद्धान्त (Principle of Virtual Work) प्रयुक्त होता है:

• (1) केवल घर्षणहीन प्रणालियों के लिए
• (2) किसी भी दृढ़ निकाय की साम्यावस्था की जाँच हेतु
• (3) केवल एकल कण के लिए
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 109

एक समतलीय बल निकाय के एक बिन्दु पर परिणामी बल \( R = \sqrt{X^2 + Y^2} \) शून्य है परन्तु बलों का आघूर्ण \( G \neq 0 \) है, तो निकाय निरूपित करता है:

• (1) साम्यावस्था
• (2) एक एकल परिणामी बल
• (3) एक बल-युग्म (Couple)
• (4) एक स्थिर बिन्दु
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 110

एक समान कोणीय वेग से गतिमान कण के पथ का अनुप्रस्थ वेग (Transverse Velocity) होता है:

• (1) \( \frac{dr}{dt} \)
• (2) \( r \frac{d\theta}{dt} \)
• (3) \( r^2 \frac{d\theta}{dt} \)
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 111

गणित शिक्षण की "एनालिटिकल विधि" (Analytical Method) का मुख्य गुण है:

• (1) अज्ञात से ज्ञात की ओर अग्रसर होना
• (2) ज्ञात से अज्ञात की ओर अग्रसर होना
• (3) रटने की प्रवृत्ति को बढ़ावा देना
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 112

पाठ योजना निर्माण की 'हर्बार्टियन पंचपदी' (Herbartian 5 Steps) का तार्किक क्रम है:

• (1) प्रस्तावना, प्रस्तुतीकरण, तुलना, सामान्यीकरण, अनुप्रयोग
• (2) प्रस्तुतीकरण, प्रस्तावना, तुलना, अनुप्रयोग, सामान्यीकरण
• (3) प्रस्तावना, तुलना, प्रस्तुतीकरण, सामान्यीकरण, अनुप्रयोग
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 113

समीकरण \( \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) \) बराबर है:

• (1) \( 2\tan^{-1} x \)
• (2) \( \tan^{-1} 2x \)
• (3) \( 2\cos^{-1} x \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 114

बिन्दुओं \( (1, 2, 3) \) और \( (4, 5, 6) \) को मिलाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात (Direction Ratios) हैं:

• (1) \( (3, 3, 3) \)
• (2) \( (1, 1, 1) \)
• (3) \( (5, 7, 9) \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 115

यदि आंशिक अवकलज \( u = x^y \) हो, तो \( \frac{\partial u}{\partial x} \) का मान होगा:

• (1) \( yx^{y-1} \)
• (2) \( x^y \log x \)
• (3) \( yx^y \)
• (4) 0
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 116

फलन \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) का न्यूनतम मान है:

• (1) 1
• (2) 5
• (3) 0
• (4) 2
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 117

वृत्त \( x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0 \) की त्रिज्या है:

• (1) 5
• (2) 12
• (3) \( \sqrt{13} \)
• (4) 7
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 118

एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि आश्रित चर और उसके अवकलज गुणांक प्रकट होते हैं केवल:

• (1) प्रथम घात में तथा उनका गुणनफल न हो
• (2) द्वितीय घात में
• (3) किसी भी घात में
• (4) स्वतंत्र चर के साथ गुणात्मक रूप में
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 119

यदि सदिश समष्टि \( V \) की विमा \( n \) हो, तो \( V \) के किसी भी रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय में अवयवों की अधिकतम संख्या हो सकती है:

• (1) \( n \)
• (2) \( n+1 \)
• (3) \( n-1 \)
• (4) अनन्त
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 120

फलन \( f(z) = \frac{1}{z(z-1)} \) के लिए विचित्र बिन्दु (Singular Points) हैं:

• (1) \( z=0, z=1 \)
• (2) केवल \( z=0 \)
• (3) केवल \( z=1 \)
• (4) \( z=i, z=-i \)
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 121

संख्यात्मक समाकलन में न्यूटन-कोट्स का सामान्य सूत्र समलम्ब चतुर्भुज नियम (Trapezoidal Rule) में बदल जाता है जब \( n \) का मान रखा जाता है:

• (1) 1
• (2) 2
• (3) 3
• (4) 4
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 122

केंद्रीय बल के अधीन गतिमान एक कण का क्षेत्रीय वेग (Sectorial Velocity) हमेशा होता है:

• (1) अचर (Constant)
• (2) चर
• (3) शून्य
• (4) समय के समानुपाती
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 123

यदि \( \vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) हो, तो इसके अनुदिश इकाई सदिश (Unit Vector) होगा:

• (1) \( \frac{2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3} \)
• (2) \( \frac{2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{9} \)
• (3) \( 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 124

फलन \( f(x) = \tan x \) किस अन्तराल में सतत नहीं है?

• (1) \( [0, \pi] \)
• (2) \( [0, \pi/4] \)
• (3) \( [-\pi/4, \pi/4] \)
• (4) इन सभी में सतत है
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 125

यदि किसी द्विपद बंटन का माध्य 4 और प्रसरण 3 हो, तो परीक्षणों की संख्या \( n \) होगी:

• (1) 16
• (2) 12
• (3) 8
• (4) 4
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 126

रैखिक प्रोग्रामन समस्या में 'अनुकूलतम हल' (Optimal Solution) प्राप्त करने का अर्थ है उद्देश्य फलन का:

• (1) केवल अधिकतम मान प्राप्त करना
• (2) केवल न्यूनतम मान प्राप्त करना
• (3) अधिकतम या न्यूनतम मान (शर्तों के अनुसार) प्राप्त करना
• (4) शून्य मान प्राप्त करना
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 127

वक्र \( y = x^2 \) और रेखा \( y = 4 \) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश (First Quadrant) में है:

• (1) 16/3 वर्ग इकाई
• (2) 8/3 वर्ग इकाई
• (3) 4 वर्ग इकाई
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 128

श्रेणी \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1} \) है:

• (1) अभिसारी
• (2) अपसारी
• (3) दोलायमान
• (4) निश्चित नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 129

समीकरण \( [x] + [-x] \) (जहाँ \( [x] \) महत्तम पूर्णांक फलन है) का मान होगा जब \( x \) पूर्णांक नहीं है:

• (1) 0
• (2) -1
• (3) 1
• (4) \( x \) पर निर्भर करता है
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 130

वृत्त \( x^2 + y^2 = a^2 \) के बिन्दु \( (x_1, y_1) \) पर स्पर्श रेखा का समीकरण होता है:

• (1) \( xx_1 + yy_1 = a^2 \)
• (2) \( xx_1 - yy_1 = a^2 \)
• (3) \( xy_1 + yx_1 = a^2 \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 131

फलन \( f(x) = \sin x \) का मैक्लॉरिन श्रेणी विस्तार (Maclaurin's Series Expansion) है:

• (1) \( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \)
• (2) \( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \)
• (3) \( x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 132

यदि किसी आव्यूह का सहखंडज आव्यूह \( \text{adj}(A) \) निकाला जाए, तो \( A \cdot \text{adj}(A) \) बराबर होता है:

• (1) \( |A| \cdot I \)
• (2) \( |A| \)
• (3) \( I \)
• (4) शून्य आव्यूह
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 133

अन्तराल \( (0, \infty) \) में फलन \( f(x) = \frac{1}{x} \) है:

• (1) निरंतर वर्धमान (Strictly Increasing)
• (2) निरंतर ह्रासमान (Strictly Decreasing)
• (3) अचर फलन
• (4) पहले वर्धमान फिर ह्रासमान
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 134

समीकरण \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \) का मान एल-हॉस्पिटल नियम से है:

• (1) 1/3
• (2) 1/2
• (3) 0
• (4) 1
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 135

यदि किसी परवलय का समीकरण \( y^2 = 8x \) हो, तो इसके नाभिलम्ब (Latus Rectum) की लम्बाई है:

• (1) 8
• (2) 4
• (3) 2
• (4) 16
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 136

यदि दो समिश्र संख्याएँ \( z_1 \) और \( z_2 \) हों, तो मापांक गुणधर्म के अनुसार \( |z_1 + z_2| \) हमेशा:

• (1) \( \le |z_1| + |z_2| \)
• (2) \( \ge |z_1| + |z_2| \)
• (3) \( = |z_1| + |z_2| \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 137

अवकल समीकरण \( \frac{dy}{dx} + Py = Q \) (जहाँ \( P \) और \( Q \), \( x \) के फलन हैं) का समाकलन गुणांक (Integrating Factor) होता है:

• (1) \( e^{\int P \, dx} \)
• (2) \( e^{\int Q \, dx} \)
• (3) \( \int P \, dx \)
• (4) इनमें से कोई नहीं
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 138

संख्यात्मक विश्लेषण में, लांग्राज अंतर्वेशन सूत्र (Lagrange's Interpolation Formula) प्रयुक्त किया जा सकता है केवल:

• (1) समान अंतरालों के लिए
• (2) असमान अंतरालों के लिए
• (3) समान तथा असमान दोनों प्रकार के अंतरालों के लिए
• (4) केवल मूलबिन्दु पर
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (3)

Explanation: Not Available

Question 139

एक कण \( t \) समय में \( s \) दूरी तय करता है जहाँ \( s = t^3 - 6t^2 + 9t \)। कण का त्वरण (Acceleration) शून्य होने पर उसका वेग (Velocity) होगा:

• (1) 3
• (2) -3
• (3) 0
• (4) 9
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available

Question 140

गणित शिक्षण में "परियोजना विधि" (Project Method) के प्रतिपादक कौन माने जाते हैं?

• (1) किलपैट्रिक
• (2) सुकरात
• (3) आर्मस्ट्रांग
• (4) स्किनर
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (1)

Explanation: Not Available

Question 150

\[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{4^x + 8^x + 16^x}{3} \right)^{1/x} = \]

• (1) 4
• (2) 8
• (3) 12
• (4) 16
• (5) अनुत्तरित प्रश्न

Correct Answer: Option (2)

Explanation: Not Available