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Sr.Teacher Grade II RPSC PERMUTATIONS AND COMBINATIONS

VIGYAN

गणित MATHEMATICS

Study Material for Examination for the post of Sr.Teacher Grade II RPSC

Gyanpoints

+91 9461891001

PERMUTATIONS AND COMBINATIONS

Derivation of formulae, their connections and simple applications.

BINOMIAL THEOREM

Binomial theorem for positive integral indices, general and middle terms in binomial expansion.

क्रमचय एवं संचय (Permutations and Combinations)

1. परिचय (Introduction)

(i) क्रमगुणित संकेतन (Factorial Notation)
प्रथम \(n\) प्राकृत संख्याओं का सतत गुणा क्रमगुणित \(n\) कहलाता है और हम इसे संकेत \(n!\) से व्यक्त करते हैं, इस प्रकार

\[ n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n - 1)n \quad \text{or} \quad n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] \[ n! = n(n - 1)! = n(n - 1)(n - 2)! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)! \]

(ii) उपयोगी परिणाम (Useful results)

\(0! = 1\), \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\), \(6! = 720\), \(7! = 5040\), \(8! = 40320\), \(9! = 362880\), \(10! = 3628800\)

  • \((-n)! = -\infty\), when \(n\) is an even integer (जब \(n\) सम पूर्णांक हो)
  • \((-n)! = \infty\), when \(n\) is an odd integer (जब \(n\) विषम पूर्णांक हो)
  • (a) \(n(n - 1)(n - 2) \dots (n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!}\)
  • (b) \(1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}\)
  • (c) \(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n + 1)! - 1\)
  • (d) \(\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{x}{(n + 2)!} \implies x = (n + 1)(n + 2) + (n + 2) = (n + 2)^2\)

(iii) गणना के मूलभूत सिद्धान्त (Fundamental principles of counting)
जब एक या अधिक कार्यों को करने के एक से अधिक तरीके हों तब उनमें से किसी एक या सभी कार्यों को करने के कुल तरीकों की संख्या को बिना वास्तव में गिने ज्ञात करने के निम्न दो सिद्धान्त हैं:

  • (iii-a) गुणा का मूलभूत सिद्धान्त (Fundamental principle of multiplication): यदि कोई एक कार्य \(m\) प्रकार से किया जा सके और इसके करने के प्रत्येक तरीके के साथ, किसी दूसरे कार्य को \(n\) प्रकार से किया जा सके तब दोनों कार्य साथ-साथ \(m \times n\) प्रकार से किये जा सकते हैं।
  • (iii-b) जोड़ने का मूलभूत सिद्धान्त (Fundamental principle of addition): यदि दो कार्य इस प्रकार हैं कि वे स्वतंत्र रूप से क्रमशः \(m\) और \(n\) प्रकार से किये जा सकते हों तब इन दोनों में से कोई एक कार्य \(m + n\) प्रकार से किया जा सकता है।
  • (iii-c) इन सिद्धान्तों का व्यापीकरण (Generalization of these principles): यदि \(n\) स्वतंत्र कार्य क्रमशः \(m_1, m_2, \dots, m_n\) प्रकार से किये जा सकें तो ये सभी कार्य साथ-साथ \(m_1 \cdot m_2 \dots m_n\) प्रकार से और इनमें से कोई एक कार्य \(m_1 + m_2 + \dots + m_n\) प्रकार से किया जा सकता है।

2. व्यवस्था (Arrangement)

कुछ वस्तुओं का ऐसा संग्रह जिसमें उन वस्तुओं के क्रम का महत्व हो अर्थात् उनके क्रम में परिवर्तन से उस संग्रह की प्रकृति व गुण बदलते हों, एक व्यवस्था कहलाता है और वस्तुएं व्यवस्थित कहलाती हैं।

3. समूह या चयन (Group or Selection)

कुछ वस्तुओं का ऐसा संग्रह, जिसमें उनमें क्रम का महत्व न हो अर्थात् उनका क्रम बदलने से संग्रह की प्रकृति व गुणों पर कोई प्रभाव न पड़े, समूह या चयन कहलाता है।
(i) दो वस्तुएं \(a\) और \(b\) साथ मिलकर एक समूह \(ab\) या \(ba\) बनाती हैं जबकि यह दोनों वस्तुएं दो व्यवस्थाएं \(ab\) और \(ba\) देती हैं।
(ii) तीन वस्तुएं \(a, b, c\) सभी मिलकर एक समूह बनाती हैं जबकि तीनों वस्तुओं से मिलकर निम्न 6 व्यवस्थाएं बनती हैं: \(abc, acb, bca, bac, cab, cba\)
(iii) तीन वस्तुओं \(p, q, r\) से दो वस्तुओं का चयन निम्न तीन प्रकार से किया जा सकता है: \(pq, qr, rp\) जबकि इन तीन वस्तुओं में से कोई दो वस्तुएं लेकर बनने वाली विभिन्न व्यवस्थाएं निम्न होंगी: \(pq, qp, qr, rq, rp, pr\)

4. क्रमचय (Permutation)

दी हुई वस्तुओं में से कुछ या सभी को एक साथ लेकर बनाई जा सकने वाली विभिन्न व्यवस्थाएं उन वस्तुओं के क्रमचय कहलाते हैं। \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या को हम \(^nP_r\) या \(P(n, r)\) से व्यक्त करते हैं।

5. संचय (Combination)

दी हुई वस्तुओं में से कुछ या सभी को एक साथ लेकर बनाये जा सकने वाले विभिन्न समूह या चयन उन वस्तुओं के संचय कहलाते हैं। \(n\) वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को एक साथ लेकर बनाये गये विभिन्न संचयों की संख्या को हम \(^nC_r\) या \(C(n, r)\) से व्यक्त करते हैं।

6. \(^nP_r\) का मान (Value of \(^nP_r\))

\[ ^nP_r = n(n - 1)(n - 2) \dots (n - r + 1) = \frac{n!}{(n - r)!} \quad (1 \le r \le n) \] If \(r = n\) then \(^nP_n = n!\) (\(\because 0! = 1\))

7. \(^nC_r\) का मान (Value of \(^nC_r\))

\[ ^nC_r = \frac{^nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n - r)!} = \frac{n(n - 1)(n - 2) \dots (n - r + 1)}{r(r - 1)(r - 2) \dots 1} \] \[ ^nC_0 = 1, \quad ^nC_n = 1, \quad ^nC_1 = n \]

8. क्रमचय व संचय में अन्तर (Difference between permutations and combinations)

संचय में जितनी वस्तुएं लेनी होती हैं उतनी वस्तुओं को दी हुई वस्तुओं से लेकर समूह बनाये जाते हैं, जबकि क्रमचय में प्रत्येक समूह की वस्तुओं के सभी संभव विन्यास भी बनाये जाते हैं। इस प्रकार क्रमचयों की संख्या संचयों की संख्या से अधिक होती है। अर्थात् \(^nP_r \ge ^nC_r\)। साधारणतया समूह, टीम, टोलियाँ, ढेरियाँ, या समितियां बनाने में हम संचय निकालने की विधि का प्रयोग करते हैं, जबकि दिये अंकों से संख्या बनाने में, अक्षरों से शब्द बनाने में, पुरस्कार आदि बांटने में क्रमचय निकालने की विधि काम में लाई जाती है।

9. \( ^nP_r = n \cdot ^{n-1}P_{r-1} \)

10. \( ^nP_r = (n - r + 1) \cdot ^nP_{r-1} \)

11. \( ^nP_r = ^{n-1}P_r + r \cdot ^{n-1}P_{r-1} \)

12. \( 1 \cdot ^1P_1 + 2 \cdot ^2P_2 + 3 \cdot ^3P_3 + \dots + n \cdot ^nP_n = ^{n+1}P_{n+1} - 1 \)

13. विशेष वस्तुओं को सम्मिलित करने वाले क्रमचय (Permutations including particular things)

  • (i) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि 1 विशेष वस्तु सदैव सम्मिलित हो: \( r \cdot ^{n-1}P_{r-1} \) or \( ^{n-1}C_{r-1} \times r! \)
  • (ii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि 2 विशेष वस्तुएं सदैव सम्मिलित की जाएं: \( ^rP_2 \cdot ^{n-2}P_{r-2} \) or \( ^{n-2}C_{r-2} \times r! \)
  • (iii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुएं लेकर बनाये जाने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं सदैव सम्मिलित की जायें: \( ^{n-m}C_{r-m} \times r! \)
  • (iv) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या, जबकि 2 विशेष वस्तुएं सदैव सम्मिलित हों और वे साथ-साथ आयें: \( 2! (r - 1) \cdot ^{n-2}P_{r-2} \)
  • (v) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(p\) विशेष वस्तुएं प्रत्येक समूह में सदैव ली जाएं और वे साथ-साथ आयें: \( p! (r - (p - 1)) \cdot ^{n-p}P_{r-p} \)
  • (vi) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं सदैव ली जाएं और \(m\) नियत स्थानों पर रखी जाएं: \( ^{n-m}P_{r-m} \)
  • (vii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं सदैव ली जाएं और \(m\) विशेष स्थानों पर व्यवस्थित की जाएं: \( ^{n-m}P_{r-m} \cdot m! \)
  • (viii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं \(m\) विशेष नियत स्थानों पर ही आवें: \( ^{n-m}P_{n-m} \) अर्थात् \( (n-m)! \)
  • (ix) \(n\) विभिन्न वस्तुओं से सभी को साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि 2 विशेष वस्तुएं सदैव साथ आयें: \( (n-1)! 2! \)
  • (x) \(n\) विभिन्न वस्तुओं से सभी को साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं सदैव साथ आवें: \( (n - m + 1)! \cdot m! \)
  • (xi) \(n\) विभिन्न वस्तुओं से सभी को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं कभी साथ-साथ न आयें: \( n! - m! \times (n - m + 1)! \)
  • (xii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से सभी को साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि 2 विशेष वस्तुएं कभी साथ न आयें: \( n! - 2! \cdot (n-1)! \) or \( (n-2)! \times ^{n-1}P_2 \)
  • (xiii) अंकों जिनमें शून्य हो, से बनने वाली संख्याएं: \(m\) अंकों, जिनमें शून्य सम्मिलित है, से \(n\) अंकों की बनने वाली संख्याओं की संख्या: \( (m - 1) \times ^{m-1}P_{n-1} \) or \( ^mP_n - ^{m-1}P_{n-1} \)

14. अंतराल विधि द्वारा क्रमचय (Permutations by gap method)

\(m + n\) वस्तुओं (\(m > n\)) जिनमें \(m\) भिन्न-भिन्न वस्तुएं एक प्रजाति की तथा \(n\) भिन्न-भिन्न वस्तुएं दूसरी प्रजाति की हैं, से बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि दूसरी प्रकार की \(n\) वस्तुओं में से कोई भी दो एक साथ न आयें: \( m! \cdot ^{m+1}P_n \)

15. विशेष वस्तुओं को सम्मिलित न करने वाले क्रमचय (Permutations excluding particular things)

  • (i) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या, जबकि एक विशेष वस्तु किसी भी क्रमचय में न ली जाये: \( ^{n-1}P_r \)
  • (ii) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं कभी न ली जाये: \( ^{n-m}P_r \)

16. उन वस्तुओं के क्रमचय जो सभी असमान न हों (Permutations of things not all different)

\(n\) वस्तुओं, जिनमें \(p\) एक समान और एक प्रकार की, \(q\) एक समान व दूसरे प्रकार की, \(r\) एक समान व तीसरे प्रकार की तथा शेष वस्तुएं भिन्न-भिन्न प्रकार की हैं, में से सभी को एक साथ लेकर बनाये जा सकने वाले क्रमचयों की संख्या: \[ \frac{n!}{p! q! r!} \]

17. क्रमचय जिनमें वस्तुओं की पुनरावृत्ति संभव हो (Permutations in which things may be repeated)

  • (i) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को एक साथ लेकर बनाये जाने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि एक वस्तु कितनी ही बार (अधिकतम \(r\) बार) ली जा सके: \( n^r \)
  • (ii) \(n\) वस्तुओं में से सभी को एक साथ लेकर बनाये जाने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि प्रत्येक वस्तु कितनी ही बार ली जा सके: \( n^n \)

18. वृत्तीय क्रमचय (Circular permutations)

  • (i) \(n\) वस्तुओं में से सभी को एक साथ लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या = \( (n-1)! \) (यहाँ दक्षिणावर्त और वामावर्त क्रमचय भिन्न-भिन्न माने गये हैं)
  • (ii) \(n\) वस्तुओं में से सभी को एक साथ लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या, जबकि दक्षिणावर्त और वामावर्त क्रमचय भिन्न-भिन्न न मानें: \( \frac{(n-1)!}{2} \)
  • (iii) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या, जबकि दक्षिणावर्त और वामावर्त क्रमचय भिन्न-भिन्न हों: \( \frac{^nP_r}{r} \)
  • (iv) \(n\) वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को एक साथ लेकर बनने वाले वृत्तीय क्रमचयों की संख्या, जबकि दक्षिणावर्त और वामावर्त क्रमचयों में कोई अंतर न हो: \( \frac{^nP_r}{2r} \)
  • (v) \(n\) वस्तुओं जिनमें \(m\) वस्तुएं समान हों, को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के तरीके: \( \frac{(n-1)!}{m!} \)

19. क्रम भंग वाले क्रमचय (Permutations of derangements)

दी हुई वस्तुओं के क्रम में किसी प्रकार का परिवर्तन क्रम भंग करना कहलाता है। यदि \(n\) वस्तुएं एक पंक्ति में व्यवस्थित हों, तो उनके क्रम भंग करने के तरीके, जबकि:

  • (i) कोई वस्तु अपने पूर्व वाले स्थान पर न रखी जाये: \[ n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right) \]
  • (ii) ठीक \(r\) वस्तुएं गलत स्थानों पर तथा शेष \(n - r\) सही स्थानों पर रखी जाएं: \[ \frac{n!}{r!(n-r)!} \times r! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^r \frac{1}{r!} \right) = ^nC_r \times D_r \]

20. प्रतिबंधित संचय (Restricted Combinations)

  • (i) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनाये गये संचयों की संख्या, जबकि 1 विशेष वस्तु सदैव सम्मिलित हो: \( ^{n-1}C_{r-1} \)
  • (ii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनाये गये संचयों की संख्या, जबकि 1 विशेष वस्तु कभी भी सम्मिलित न की जाये: \( ^{n-1}C_r \)
  • (iii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनाये गये संचयों की संख्या, जबकि \(m\) विशेष वस्तुएं सदैव सम्मिलित की जाएं: \( ^{n-m}C_{r-m} \)
  • (iv) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं को लेकर बनाये गये संचयों की संख्या, जबकि सभी \(m\) विशेष वस्तुएं कभी भी सम्मिलित न की जाये: \( ^{n-m}C_r \)
  • (v) \(n\) भिन्न वस्तुओं में से \(r\) को एक साथ लेकर बनाये गये संचयों की संख्या जबकि सभी \(m\) विशेष वस्तुएं किसी भी संचय में सम्मिलित न की जाएं: \( ^nC_r - ^{n-m}C_{r-m} \)

21. संचय से सम्बन्धित महत्वपूर्ण परिणाम (Important results related with combinations)

  • (i) \( ^nC_r = 0 \), when \( r > n \)
  • (ii) \( ^nC_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1} \), \quad \( ^nC_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r \)
  • (iii) \( ^nC_r = \frac{1}{r} \cdot (n - r + 1) \cdot ^nC_{r-1} \)
  • (iv) \( ^nC_r = ^nC_{n-r} \) (Complementary Combinations)
  • (v) \( ^nC_x = ^nC_y \implies x = y \) or \( x + y = n \)
  • (vi) \( ^nC_{r-1} + ^nC_r = ^{n+1}C_r \)

22. समूहों में विभाजन (Division into groups)

  • (i) \((m + n)\) वस्तुओं को \(m\) और \(n\) वस्तुओं के दो समूहों में विभाजित करने के तरीके: \( ^{m+n}C_m \) या \( ^{m+n}C_n \) = \( \frac{(m+n)!}{m! n!} \)
  • (ii) \(2m\) वस्तुओं को \(m, m\) के दो समान समूहों में बांटने के तरीके: \( \frac{^{2m}C_m}{2!} = \frac{(2m)!}{(m!)^2 2!} \)
  • (iii) \(2m\) वस्तुएं बराबर-बराबर दो व्यक्तियों में बांटने के तरीके: \( \frac{^{2m}C_m \cdot 2!}{2!} = \frac{(2m)!}{(m!)^2} \)
  • (iv) \((m + n + p)\) वस्तुओं को \(m, n\) और \(p\) वस्तुओं के तीन समूहों में बांटने के तरीके: \( \frac{(m+n+p)!}{m! n! p!} \)
  • (v) \((m + n + p)\) वस्तुओं को तीन व्यक्तियों में बांटने के तरीके जबकि उन्हें \(m, n\) व \(p\) वस्तुएं मिलें: \( \frac{(m+n+p)!}{m! n! p!} \times 3! \)
  • (vi) \(3m\) वस्तुओं को \(m, m\) और \(m\) वस्तुओं के तीन समान समूहों में बांटने के तरीके: \( \frac{(3m)!}{(m!)^3 3!} \)
  • (vii) \(3m\) वस्तुओं को \(m, m, m\) के हिसाब से तीन व्यक्तियों में बांटने के तरीके: \( \frac{(3m)!}{(m!)^3} \)
  • (x) \(mn\) वस्तुओं को \(n\) समान समूहों में बांटने के तरीके: \( \frac{(mn)!}{(m!)^n n!} \)
  • (xi) \(mn\) वस्तुओं को \(n\) व्यक्तियों में बराबर-बराबर बांटने के तरीके: \( \frac{(mn)!}{(m!)^n} \)

23. विभिन्न स्थितियों में संचय (Combinations in different cases)

  • (i) \(n\) समरूप वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं (\(1 \le r \le n\)) को चुनने के तरीकों की संख्या 1 होगी।
  • (ii) \(n\) समरूप वस्तुओं में से कितनी भी वस्तुओं का चयन करना हो तब संचयों की संख्या \((n + 1)\) होगी, जबकि 0 वस्तुओं का चयन अर्थात् किसी का न चुनना भी सम्मिलित हो, और संचयों की संख्या \(n\) होगी जब कम से कम एक वस्तु का चुनना आवश्यक हो।
  • (iii) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से कुछ या सभी को एक साथ लेकर बनने वाले संचयों की संख्या: \[ ^nC_1 + ^nC_2 + ^nC_3 + \dots + ^nC_n = 2^n - 1 \]
  • (iv) \(p + q + r + s\) वस्तुओं में यदि \(p\) वस्तुएं एक समान और एक प्रकार की, \(q\) वस्तुएं एक समान व दूसरे प्रकार की, \(r\) वस्तुएं एक समान व तीसरे प्रकार की और \(s\) वस्तुएं एक समान व चौथे प्रकार की हैं तब इनमें से एक या अधिक वस्तुओं को एक साथ लेकर बनाये जाने वाले संचयों की संख्या: \( (p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1) - 1 \)
  • (v) \(p + q + r + s\) वस्तुओं में यदि \(p, q, r\) वस्तुएं एक समान और \(s\) वस्तुएं अलग-अलग प्रकार की हैं, से बनने वाले संचयों की संख्या: \( (p + 1)(q + 1)(r + 1)2^s - 1 \)
  • (vi) \(n\) विभिन्न वस्तुओं में से \(r\) वस्तुओं का चयन करने के प्रकार जबकि प्रत्येक वस्तु कितनी ही बार ली जा सके: \( ^{n+r-1}C_r \)

24. महत्वपूर्ण परिणाम (Some important results)

  • (i) \( ^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_n = 2^n \)
  • (ii) \( ^nC_0 + ^nC_2 + ^nC_4 + \dots = ^nC_1 + ^nC_3 + ^nC_5 + \dots = 2^{n-1} \)
  • (iii) \( ^{2n+1}C_0 + ^{2n+1}C_1 + \dots + ^{2n+1}C_n = 2^{2n} \)
  • (vi) \( \frac{(2n)!}{n!} = \{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1)\}2^n, n \in N \)
  • (ix) लगातार \(n\) धन पूर्णांकों का गुणा \(n!\) से विभाज्य होता है।
  • (xi) यदि \(n\) सम हो तो \(^nC_r\) का अधिकतम मान \(^nC_{n/2}\) और \(n\) विषम हो तो \(^nC_r\) का अधिकतम मान \(^nC_{(n-1)/2}\) या \(^nC_{(n+1)/2}\) होता है।
  • (xiii) \(n\) भुजा वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = \( ^nC_2 - n = \frac{n(n-3)}{2} \)
  • (xiv) यदि \(m\) समान्तर व समतलीय रेखाएं दूसरी \(n\) समांतर रेखा निकाय से मिलती हैं तब बनने वाले समांतर चतुर्भुजों की संख्या = \( ^mC_2 \times ^nC_2 \)
  • (xv) \(n\) समतलीय सरल रेखाएं इस प्रकार हैं कि इनमें से कोई दो समांतर नहीं हैं और कोई तीन संगामी नहीं हैं तब इनके प्रतिच्छेदन बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त सरल रेखाओं की संख्या = \( ^nC_2 \times 3 \)
  • (xvi) \(n\) समतलीय बिन्दुओं, जिनमें \(m\) समरेखीय हैं से बनने वाली सरल रेखाओं की संख्या = \( ^nC_2 - ^mC_2 + 1 \)
  • (xvii) \(n\) समतलीय बिन्दुओं जिनमें \(m\) समरेखीय हैं से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या = \( ^nC_3 - ^mC_3 \)
  • (xx) \(n\) पत्रों को \(n\) लिफाफों में रखने के तरीके = \( n! \)
  • (xxi) \(n\) पत्रों को \(n\) लिफाफों में रखने के तरीके जबकि सभी पत्र सही लिफाफों में न रखे जाएं = \( n! - 1 \)
  • (xxii) \(n\) पत्रों को \(n\) लिफाफों में रखने के तरीके जबकि कोई भी पत्र सही लिफाफे में न रखा जाए = \( n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right) \)
  • (xxiv) \(n\) अशून्य अंकों से बनने वाली संख्याओं का योग = (अंकों का योग) \(\times \frac{10^n - 1}{9} \times (n-1)!\)
  • (xxv) माना समुच्चय A में \(n\) अवयव हैं तब (a) A से A में परिभाषित फलनों की संख्या = \( n^n \) और (b) A से A में परिभाषित एकैकी आच्छादक फलनों की संख्या = \( n! \)
  • (xxvii) एक \(n \times n\) के वर्ग में किसी भी आकार के आयतों की संख्या = \( \sum r^3 \) और वर्गों की संख्या = \( \sum r^2 \)
  • (xxviii) एक \(n \times p\) (\(n < p\)) आकार के आयत में आयतों की संख्या \( \frac{np(n+1)(p+1)}{4} \) होगी और वर्गों की संख्या \( \sum (n-r+1)(p-r+1) \) होगी।
  • (xxix) एक समतल में \(n\) सरल रेखाएं इस प्रकार खींची गई हैं कि उनमें से कोई दो रेखाएं आपस में समान्तर नहीं हैं न ही कोई तीन रेखाएं संगामी हैं तो इन रेखाओं द्वारा तल \(1 + \sum n\) भागों में विभाजित होगा।

26. विभाज्यता के परीक्षण (Tests of divisibility)

  • (i) 2 द्वारा भाज्यता: इकाई का अंक 0, 2, 4, 6, 8 हो।
  • (ii) 3 द्वारा भाज्यता: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
  • (iii) 4 द्वारा भाज्यता: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।
  • (iv) 5 द्वारा भाज्यता: इकाई का अंक 0 या 5 हो।
  • (v) 6 द्वारा भाज्यता: 2 व 3 दोनों से विभाज्य हो।
  • (vi) 8 द्वारा भाज्यता: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।
  • (vii) 9 द्वारा भाज्यता: अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
  • (viii) 25 से भाज्यता: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 25 से विभाज्य हो।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) - Permutations and Combinations

01. एक रेलवे लाइन पर 15 स्टेशन हैं। इसके लिए एक श्रेणी के कितने विभिन्न प्रकार के टिकट छपवाने चाहिए कि किसी भी स्टेशन से एक यात्री इस लाइन के किसी भी अन्य स्टेशन का टिकट खरीद सके?
(1) 225    (2) 210    (3) 1415    (4) 1515

02. किसी कक्षा में 20 विद्यार्थियों में से 11 की एक टीम कितने प्रकार से बनाई जा सकती है यदि उनमें 2 हमेशा शामिल किये जावें तथा 5 हमेशा छोड़ दिये जायं?
(1) 715    (2) 70    (3) 1365    (4) इनमें से कोई नही

03. यदि \( ^{n-2}C_r = ^{n-2}C_{10-r} \) तो \( n = \)
(1) 12    (2) केवल 4    (3) केवल (– 3)    (4) 4 या – 3

04. \( 1 \cdot ^1P_1 + 2 \cdot ^2P_2 + 3 \cdot ^3P_3 + \dots + n \cdot ^nP_n \) बराबर है
(1) \( ^nP_n \)    (2) \( ^nP_{n-1} \)    (3) \( ^{n+1}P_{n+1} \)    (4) \( ^{n+1}P_{n+1} - 1 \)

05. यदि \( ^{m+n}P_2 = 56 \) और \( ^{m-n}P_2 = 12 \) हो तब (m, n) बराबर है
(1) (5, 1)    (2) (6, 2)    (3) (7, 3)    (4) (9, 6)

06. एक गाड़ी के डिब्बे में 3 यात्री चढ़ते हैं जहाँ 6 सीटें खाली हैं। यात्री इन सीटों पर कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?
(1) 6!    (2) 20    (3) 120    (4) 216

10. एक पिता अपने 7 बच्चों में से 4-4 बच्चों को बारी-बारी से चिड़ियाघर में ले जाता है। वह चिड़ियाघर इतनी बार जाता है कि कोई चार समान बच्चे एक से अधिक बार साथ न जा पाएं। पिता कितनी बार तथा प्रत्येक बच्चा कुल कितनी बार चिड़ियाघर जा पाएगा?
(1) 30, 10    (2) 35, 15    (3) 30, 20    (4) 35, 20

15. किसी समतल में स्थित 12 बिन्दुओं को मिलाने से प्राप्त त्रिभुजों की संख्या, जबकि 5 बिन्दु एक ही रेखा में हैं, होगी-
(1) 220    (2) 215    (3) 210    (4) 205

18. किसी समतल में m समान्तर रेखाएं दूसरी n समान्तर रेखाओं द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं तो बनने वाले समान्तर चतुर्भुजों की संख्या होगी-
(1) \(\frac{(m-1)(n-1)}{4}\)    (2) \(\frac{mn}{4}\)    (3) \(\frac{m(m-1)n(n-1)}{2}\)    (4) \(\frac{m(m-1)n(n-1)}{4}\)

27. यदि \( ^nC_{r-1} = 36, ^nC_r = 84 \) और \( ^nC_{r+1} = 126 \), हो तब r बराबर है
(1) 1    (2) 2    (3) 3    (4) इनमें से कोई नही

35. “ALLAHABAD” शब्द के अक्षरों से बनने वाले विभिन्न शब्द, जिनमें स्वर सम स्थानों पर आएं, होंगे-
(1) 1440    (2) 7560    (3) 240    (4) 60

55. माना समुच्चय A में n अवयव हैं तब A से A में परिभाषित फलनों की संख्या है
(1) \( n^n \)    (2) \( n! \)    (3) \( (n!)^n \)    (4) इनमें से कोई नही

85. \( ^nC_r + ^{n-1}C_r + ^{n-2}C_r + \dots + ^rC_r \) बराबर है
(1) \( 2^n \)    (2) \( ^{n+1}C_r \)    (3) \( ^{n+1}C_{r+1} \)    (4) \( ^{n+2}C_r \)

86. एक समुच्चय में (2n + 1) अवयव हैं। यदि इसके उन उपसमुच्चयों की संख्या, जिनमें अधिक से अधिक n अवयव आते हैं, 4096 है, तब n का मान है-
(1) 6    (2) 15    (3) 21    (4) इनमें से कोई नही

पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)

01. एक हॉल में 10 दीप हैं। हर दीप अलग-अलग से जलाया जा सकता है। उस हॉल को कितने प्रकार से प्रदीप्त किया जा सकता है- H.TET 2008
There are 10 lamps in a hall. Each of them can be switched on independently. The number of ways in which the hall can be illuminated is
(1) \(10^2\)    (2) \(2^{10}\)    (3) 1023    (4) इनमें से कोई नही

पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)

क्रमचय एवं संचय (Permutations and Combinations)

01. एक हॉल में 10 दीप हैं। हर दीप अलग-अलग से जलाया जा सकता है। उस हॉल को कितने प्रकार से प्रदीप्त किया जा सकता है- H.TET 2008
There are 10 lamps in a hall. Each of them can be switched on independently. The number of ways in which the hall can be illuminated is
(1) \( 10^2 \)    (2) \( 2^{10} \)    (3) 1023    (4) इनमें से कोई नही

02. \( A = \{1, 2, \dots n\}, n \ge 2 \) से \( B = \{a, b\} \) पर आच्छादक फलनों की संख्या है- H-TET 2008
The number of onto functions from \( A = \{1, 2, \dots n\}, n \ge 2 \), to \( B = \{a, b\} \) is
(1) \( n^2 - 2 \)    (2) \( 2n^2 - 2 \)    (3) \( 2^n - 2 \)    (4) इनमें से कोई नही

03. A एवं B दो इस प्रकार के समुच्चय हैं कि \( O(A) = m \) तथा \( O(B) = n, m \le n \). A से B पर समस्त एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या होगी- H-TET 2008
Let A and B are two sets such that \( O(A) = m \) and \( O(B) = n, m \le n \). then number of total injective mappings from A to B is
(1) \( m^n \)    (2) \( n^m \)    (3) \( \frac{n!}{(n-m)!} \)    (4) \( \frac{m!}{(n-m)!} \)

04. A एवं B क्रमशः m तथा n अवयव रखने वाले सीमित समुच्चय हैं तो A से B पर समस्त प्रतिचित्रणों की संख्या है- H-TET 2008
Let A and B be two finite sets having m and n elements respectively. Then the total number of mappings from A to B is
(1) \( n^m \)    (2) \( m^n \)    (3) \( 2^{mn} \)    (4) \( 2^{mn} - 2 \)

05. यदि \( n(A) = 3 \) तथा \( n(B) = 4 \) तो समस्त एकैकी प्रतिचित्रणों की संख्या जो A से B पर परिभाषित किये जा सकते हैं, होगी- (H.TET 2008)
(1) 12    (2) 144    (3) 24    (4) 42

06. यदि \( ^{n+1}C_5 - ^nC_4 \) बराबर है 56 तो n का मान है- S. TET 2009
If \( ^{n+1}C_5 - ^nC_4 \) is equal to 56, then the value of n is
(1) अधिक से अधिक 7 (at most 7)    (2) कम से कम 10 (at least 10)    (3) 8    (4) इनमें से कोई नही (None of these)

07. यदि \( ^{12}P_r = ^{11}P_6 + 6 \cdot ^{11}P_5 \) तो r बराबर है- S. TET 2009
If \( ^{12}P_r = ^{11}P_6 + 6 \cdot ^{11}P_5 \) then r is equal to
(1) 6    (2) 5    (3) 7    (4) इनमें से कोई नही

08. तरीकों की संख्या, जिससे 6 लाल गुलाब और 3 सफेद गुलाब से एक माला इस प्रकार बनाई जाये कि सारे सफेद गुलाब एक साथ आयें है- S. TET 2009
The number of ways in which 6 red roses and 3 white roses can form a garland so that all the white roses come together is
(1) 2170    (2) 2165    (3) 2160    (4) 2155

09. एक शतरंज पट्ट पर बनाये जा सकने वाले आयतों की संख्या है- S. TET 2009
The number of rectangles which can be formed on a chessboard is
(1) 81    (2) 1296    (3) 648    (4) 324

10. n भुजाओं वाले एक बहुभुज में विकर्णों की संख्या है- (H.TET 2009)
(1) \( ^nC_2 \)    (2) \( ^nC_2 - 2 \)    (3) \( ^nC_2 - n \)    (4) \( ^nC_2 - 1 \)

11. यदि शब्द EXAMINATION के सभी अक्षरों से बने विभिन्न क्रमचयों को शब्दकोश की तरह सूचीबद्ध किया जाता है, तो E से प्रारम्भ होने वाले प्रथम शब्द से पूर्व कितने शब्द होंगे ? (RPSC II Grade Dec., 2010)
(1) 907200    (2) 729000    (3) 900072    (4) 720090

12. यदि \( \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} = \frac{x}{8!} \) हो तो x का मान है- (RPSC II Grade Dec., 2010)
(1) 48    (2) 46    (3) 64    (4) 72

13. यदि \( ^nC_r = 35, ^nP_r = 840 \) हो, तो n बराबर है- (RPSC II Grade Dec., 2011)
(1) 6    (2) 7    (3) 8    (4) 9

14. यदि \( \frac{1}{9!} + \frac{1}{10!} = \frac{x}{11!} \) हो तो x का मान होगा- (RPSC II Grade Dec., 2011)
(1) 120    (2) 125    (3) 121    (4) 131

15. n भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या है- RPSC (ACF) 2012
Number of diagonals in a n-sided polygon are
(1) \( \frac{n(n-1)}{2} \)    (2) \( \frac{n(n-3)}{2} \)    (3) \( \frac{n(n+1)}{2} \)    (4) \( n^2 \)

16. 7 पुरुष व 7 महिलायें एक गोल मेज के चारों ओर कितने प्रकार से बैठ सकते हैं कि दो पुरुष एक साथ कभी न बैठें- RPSC (ACF) 2012
In how many ways can 7 men and 7 women be seated at a round table so that no two men are next to each other?
(1) \( 6! \times 5! \)    (2) \( (6!)^2 \)    (3) \( (7!)^2 \)    (4) \( 6! \times 7! \)

19. एक व्यक्ति के 7 मित्र हैं। एक या अधिक मित्रों को भोजन पर आमंत्रित करने के कुल तरीके होंगे- RPSC (ACF) 2012
A man has 7 friends. The number of ways of inviting one or more of them on a dinner are
(1) 128    (2) 127    (3) 64    (4) 63

20. एक प्रतियोगिता में 66 मैच खेले गये। यदि प्रत्येक टीम हर दूसरी टीम से खेली हो तो टीमों की संख्या थी- RPSC (ACF) 2012
In a tournament 66 matches were played. If every team played with every other team, the number of teams were
(1) 23    (2) 13    (3) 12    (4) 11

21. 15 बिन्दुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या, जबकि 7 बिन्दु एक ही सरल रेखा में हैं, होगी- RPSC (ACF) 2012
Number of triangles formed by joining 15 points when 7 of them are in the same straight line, is
(1) 455    (2) 420    (3) 210    (4) 315

22. COMMITTEE शब्द के अक्षरों को लेकर बनाये जाने वाले शब्दों की संख्या है- RPSC (ACF) 2012
Number of words which can be formed by the letters of the word COMMITTEE are
(1) \( \frac{9!}{(2!)^3} \)    (2) \( \frac{9!}{(2!)^2} \)    (3) \( \frac{9!}{2!} \)    (4) \( 9! \)

23. यदि \( ^{20}C_r = ^{20}C_{r+4} \) तो \( ^rC_3 \) समान है- RPSC (ACF) 2012
If \( ^{20}C_r = ^{20}C_{r+4} \) then \( ^rC_3 \) equals
(1) 28    (2) 35    (3) 56    (4) 112

24. अंकों 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 से बनाई जाने वाली संख्याओं की संख्या, जबकि विषम अंक विषम स्थानों पर ही आयें, है- RPSC (ACF) 2012
Number of numbers, that can be formed with digits 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 so that odd digits always occupy odd places is
(1) 24    (2) 18    (3) 12    (4) 6

25. \( ^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3 \) तो- RPSC (ACF) 2012
(1) n > 4    (2) n > 5    (3) n > 6    (4) n > 7

26. एक गोलाकार मेज के चारों ओर 8 लड़कों के बैठने के तरीकों की संख्या है- RPSC (ACF) 2012
Number of ways 8 boys can sit around a circle table is
(1) 360    (2) 720    (3) 2520    (4) 5040

27. BANANA शब्द के अक्षरों से शब्द लिखे जाते हैं। क्रमचयों की संख्या होगी- RPSC (ACF) 2012
Words are written with letters of the word BANANA. Number of permutations will be
(1) 120    (2) 60    (3) 720    (4) 360

28. 1, 2, 4, 6 अंकों से बनी 4 अंकों की संख्याओं का जोड़ है- RPSC (ACF) 2012
The sum of all four digit numbers formed by the digits 1, 2, 4, 6 is
(1) 14443    (2) 28886    (3) 43329    (4) 86658

29. यदि \( ^{56}P_{r+6} : ^{54}P_{r+3} = 30800 : 1 \) हो, तो r का मान है- RPSC (ACF) 2012
(1) 41    (2) 51    (3) 40    (4) 42

30. शब्द DOCILE के अक्षरों को सजाने के, जिसमें व्यंजन सदैव विषम स्थानों पर आयें, तरीकों की संख्या है- RPSC (ACF) 2012
The number of ways in which letters of the word DOCILE can be arranged, so that consonants always occupy odd places, is
(1) 720    (2) 216    (3) 36    (4) 12

31. 7 व्यंजनों व 5 स्वरों से 3 व्यंजन व 3 स्वर चुनकर बनाये जाने वाले शब्दों की संख्या क्या होगी- RPSC (ACF) 2012
How many words can be formed from 3 consonants and 3 vowels chosen out of 7 consonants and 5 vowels?
(1) 72,000    (2) 216,000    (3) 67,200    (4) 252,000

32. एक समतल में 8 बिन्दु हैं जिनमें से 3 समरेख हैं। इसमें से किन्हीं दो बिन्दुओं को मिलाने से बनने वाली रेखाओं की संख्या है- I Grade RPSC 2012
There are 8 points in a plane and 3 of them are collinear. The number of straight lines joining any two of them is
(1) 26    (2) 25    (3) 24    (4) 28

33. 5 पुरुषों और 3 महिलाओं में से 4 की एक समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकती है जबकि समिति में कम से कम एक महिला हो- I Grade RPSC 2012
In how many ways can a committee of 4 be made out of 5 men and 3 women containing atleast one woman?
(1) 65    (2) 70    (3) 75    (4) 60

34. 'ARRANGE' शब्द के अक्षरों से कुल कितने शब्द बन सकते हैं जबकि स्वर सदैव सम स्थानों पर आवें- I Grade RPSC 2012
The number of words which can be formed using letters of the word 'ARRANGE' so that vowels always occupy even place is :
(1) 144    (2) 156    (3) 72    (4) 36

35. 6 अंकों की कितनी संख्याएँ होंगी यदि उनमें सभी विषम अंक और केवल विषम अंक ही हों- H.TET 2013
What will be the total number of 6-digit numbers in which all the odd digits and only odd digits appear
(1) \( \frac{5^6}{2} \)    (2) \( 5^6 \)    (3) \( \frac{5^6 - 1}{2} \)    (4) इनमें से कोई नही

36. यदि समुच्चय A में n अवयव हैं, तो A से A में परिभाषित फलनों की संख्या है- H.TET 2013
If A contains n elements, then total number of functions defined from A to A is:
(1) \( n \)    (2) \( n^2 \)    (3) \( n! \)    (4) \( n^n \)

37. यदि n सम है, तो \( ^nC_r \) का अधिकतम मान ग्रहण होगा जब r = - H.TET 2013
If n is even, then maximum value of \( ^nC_r \) is attained when r =
(1) \( n \)    (2) \( n / 2 \)    (3) \( n - 1 \)    (4) \( n! \)

38. \( ^nC_0, ^nC_1, ^nC_2, \dots , ^nC_n \) का A.M. (समान्तर माध्य) है- (H.TET 2013)
(1) \( \frac{2^{n-1}}{n} \)    (2) \( \frac{2^n}{n+1} \)    (3) \( \frac{2^n}{n} \)    (4) इनमें से कोई नही

39. \( ^7C_0 + ^7C_1 + ^7C_2 + ^7C_3 + ^7C_4 + ^7C_5 + ^7C_6 + ^7C_7 = \) (H.TET 2013)
(1) 128    (2) 121    (3) 120    (4) 129

40. 4 अधिकारियों व 8 सिपाहियों में से 6 व्यक्तियों का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है, यदि कम से कम एक अधिकारी हर बार चुना जाये- H.TET 2013
In how many ways can 6 persons be selected from 4 officers and 8 constables, if at least one officer is to be included?
(1) 224    (2) 672    (3) 896    (4) 968

41. \( ^{10}C_1 + ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + \dots + ^{10}C_9 \) का मूल्य है- PGT 2014
The value of \( ^{10}C_1 + ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + \dots + ^{10}C_9 \) is
(1) \( 2^{10} \)    (2) \( 2^{11} \)    (3) \( 2^{10} - 2 \)    (4) \( 2^{10} - 1 \)

42. एक कमरे में हर एक आदमी हर एक-दूसरे आदमी से हाथ मिलाता है। हाथ मिलाने की कुल संख्या है 66। उस कमरे में कुल आदमी थे- PGT 2014
Everybody in a room shakes hands with everybody else. The total number of handshakes is 66. The total number of persons in the room is
(1) 11    (2) 12    (3) 13    (4) 14

43. 9 अलग-अलग अंकों वाली 9 अंकों की कुल संख्याएँ हैं- PGT 2014
The total number of 9 digit numbers which have all different digits is
(1) \( 10! \)    (2) \( 9! \)    (3) \( 9 \times 9! \)    (4) \( 10 \times 10! \)

44. \( ^nC_r + ^nC_{r-1} \) का जोड़ इसके बराबर है- PGT 2014
The sum \( ^nC_r + ^nC_{r-1} \) is equal to
(1) \( ^{n+1}C_r \)    (2) \( ^nC_{r+1} \)    (3) \( ^{n+1}C_{r+1} \)    (4) इनमें से कोई नही

45. r पत्रों को शहर के n लेटर बॉक्स में पोस्ट करने के कितने तरीके हो सकते हैं- H-TAT 2014
The number of ways in which r letters can be posted in n letter boxes in a town is
(1) \( n^r \)    (2) \( r^n \)    (3) \( ^nP_r \)    (4) \( ^nC_r \)

46. \( ^{n-2}C_{r} + 2 \cdot ^{n-2}C_{r-1} + ^{n-2}C_{r-2} = \) H-TAT 2014
(1) \( ^{n+2}C_r \)    (2) \( ^nC_r \)    (3) \( ^nC_{r+1} \)    (4) \( ^{n-2}C_r \)

47. आठ अंकों की कुल संख्याएँ जिसमें सभी अंक विभिन्न हों, है- H-TAT 2014
The total number of eight digit numbers in which all digits are different is
(1) \( 9! \)    (2) \( 9 \times 9! \)    (3) \( ^9P_8 \)    (4) \( 9 \times ^9P_7 \)

48. 44 विकर्णों वाले एक बहुभुज में भुजाओं की संख्या है- H-TAT 2014
If the number of diagonals of a polygon is 44 then the number of its sides is
(1) 10    (2) 8    (3) 11    (4) 7

49. बिना अंकों की पुनरावृत्ति के 0, 1, 2, 3, 4, 5 अंकों का उपयोग करते हुये 3 से विभाज्य पाँच अंकों की संख्यायें कितने प्रकार से बनाई जा सकती हैं- [I Grade July 2014]
What is the total number of ways in which a five digit number divisible by 3 can be formed using the digits 0, 1, 2, 3, 4, 5 without repetition?
(1) 216    (2) 240    (3) 576    (4) 625

50. अंकों 1, 2, 3, 4 से बनने वाली 4 अंकों वाली सभी संख्याओं का योग, जबकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं हो, है- [I Grade July 2014]
The sum of all 4-digit numbers formed with the digit 1, 2, 3, 4, without repetition, is
(1) 6666    (2) 66660    (3) 26664    (4) 266640

51. \( ^{20}C_4 + 2 \cdot ^{20}C_3 + ^{20}C_2 - ^{22}C_{18} = \) [II Grade 2014]
(1) 0    (2) 1242    (3) 3340    (4) 6345

52. 15 बिन्दुओं को मिलाने से कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं, जबकि उनमें से 7 बिन्दु एक ही सरल रेखा पर स्थित हैं- [II Grade 2014]
How many triangles can be formed by joining 15 points, when 7 of them are on the same straight line?
(1) \( ^{15}C_3 - ^7C_3 \)    (2) \( ^{15}C_3 + 1 \)    (3) \( ^{15}C_3 - ^7C_3 + 1 \)    (4) \( ^{15}C_3 - ^7C_3 \)

53. \( \sum_{r=1}^8 \frac{^8P_r}{r!} \) बराबर है- H. TET 2015
(1) \( ^8P_8 + 1 \)    (2) \( ^8P_8 - 1 \)    (3) \( ^9P_9 - 1 \)    (4) \( ^9P_9 + 1 \)

प्रश्न 54. \( ^{40}C_{31} + \sum_{i=0}^{10} {^{40+i}C_{10+i}} \) बराबर है- (H.TET 2015)

(1) \( ^{51}C_{20} \)
(2) \( 2 \times ^{50}C_{20} \)
(3) \( ^{50}C_{20} \)
(4) \( ^{49}C_{20} \)

55. यदि समुच्चय A में m अवयव व समुच्चय B में n अवयव हैं, तो A से B में परिभाषित एकैकी फलनों की संख्या है- H. TET 2015
If set A contains m elements and set B contains n elements, then total number of one-one function from A to B is
(1) \( ^nP_m ; n \ge m \)    (2) \( 0 ; m > n \)    (3) 1 व 2 दोनों    (4) इनमें से कोई नही

56. विभिन्न अंक लेकर 9 अंकों की कुल संख्याएँ हैं- H. TET 2015
The total number of 9 digit numbers of different digits is
(1) \( 10! \)    (2) \( 9 \cdot 9! \)    (3) \( 9! \)    (4) \( 8 \cdot 9! \)

57. एक थैले में 3 काली, 4 सफ़ेद व 2 लाल गेंदें हैं। सभी गेंदें अलग-अलग हैं। सभी रंगों की गेंदें शामिल करते हुए अधिक से अधिक 6 गेंदों के चयनों की संख्या होगी- H. TET 2015
A bag contains 3 black, 4 white and 2 red balls, all the balls being different. The number of selections of at most 6 balls containing balls of all the colours is
(1) \( 4^2 - 4 \)    (2) \( 6^2 - 4 \)    (3) \( 6(2^4 - 1) \)    (4) इनमें से कोई नही

58. 240 को विभाजित करने वाले ऐसे अंक जो \( 4n + 2; n \ge 0 \) रूप में हो, की संख्या है- H. TET 2015
The number of divisors of the form \( 4n + 2; n \ge 0 \) of the integer 240 is
(1) 8    (2) 4    (3) 10    (4) 6

59. यदि \( ^xP_3 + ^xC_{x-2} = 14x \), तो x बराबर है- I Grade July, 2016
If \( ^xP_3 + ^xC_{x-2} = 14x \), then x is equal to
(1) 5    (2) 10    (3) 8    (4) 6

60. संख्या N = 720 के सह-अभाज्य गुणनखण्डों की संख्या है- Navodaya Dec. 2016
The number of co-prime factors of number N = 720 are
(1) 67    (2) 65    (3) 64    (4) 63

61. 44 विकर्णों वाले एक बहुभुज में भुजाओं की संख्या है- H-TET Feb.2016
If the number of diagonals of a polygon is 44 then the number of its sides is
(1) 10    (2) 8    (3) 11    (4) 7

62. \( ^7C_0 + ^7C_1 + ^7C_2 + ^7C_3 + ^7C_4 + ^7C_5 + ^7C_6 + ^7C_7 = \) H-TET Feb.2016
(1) 128    (2) 121    (3) 120    (4) 129

63. r पत्रों को शहर के n लेटर बॉक्स में पोस्ट करने के कितने तरीके हो सकते हैं- H-TET Feb.2016
The number of ways in which r letters can be posted in n letter boxes in a town is
(1) \( n^r \)    (2) \( r^n \)    (3) \( ^nP_r \)    (4) \( ^nC_r \)

64. 8 अंकों की कुल संख्याएँ जिसमें सभी अंक विभिन्न हों, है- H-TET Feb.2016
The total number of eight digit numbers in which all digits are different, is
(1) \( 9! \)    (2) \( 9 \cdot 9! \)    (3) \( ^9P_8 \)    (4) \( 9 \cdot ^9P_7 \)

65. अधिकतम बिन्दुओं की संख्या जिसमें 4 वृत्त और 4 सरल रेखा प्रतिच्छेद कर सकते हैं- H-TET Feb.2016
The maximum number of points into which 4 circles and 4 straight lines intersect is
(1) 26    (2) 50    (3) 56    (4) इनमें से कोई नही

66. ARRANGE शब्द के अक्षरों को कितने प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है कि बनने वाले शब्द में दोनों R साथ नहीं आयें- H-TET Feb.2016
Number of ways in which the letters of the word ARRANGE can be arranged such that both R do not come together is
(1) 360    (2) 900    (3) 1260    (4) 1620

67. यदि \( \frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!} \) तो x = H. TET July. 2016
If \( \frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!} \) then x =
(1) 8    (2) 9    (3) 10    (4) 100

68. शब्द "SOME" में यदि सभी स्वरों को एक साथ रखा जाए, तो इसके चारों अक्षरों को लेकर व्यवस्थित जितने प्रकार से किया जा सकता है, वह है- K.V. 2017
From the word "SOME" the number of arrangements of all four letters which can be made by taking all the vowels together are:
(1) 6    (2) 12    (3) 24    (4) 4

69. \( 1! + 2! + 3! + \dots + 99! + 100! \) की इकाई के स्थान पर अंक है- K.V. 2017
The unit digit of \( 1! + 2! + 3! + \dots + 99! + 100! \) is:
(1) 6    (2) 3    (3) 1    (4) 5

70. 10 परीक्षा पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित किया जाये कि सबसे कठिन तथा सबसे आसान परीक्षा पत्र कभी भी इकट्ठे न हो, की संख्या है- K.V. 2017
The number of ways in which 10 question papers can be arranged so that the most difficult and the most easy papers never come together is given by:
(1) \( 10! - 2 \cdot 9! \)    (2) \( 9! \)    (3) \( 10! - 2! \)    (4) \( 10! - 9! \)

71. 846 को कितने विभिन्न तरीकों से दो गुणनखण्डों में लिख सकते हैं- K.V. 2017
In how many ways can 846 be written into two factors?
(1) 12    (2) 9    (3) 6    (4) 11

72. यदि एक समतल में 25 रेखाएँ इस प्रकार खींची जाएं कि कोई भी दो समांतर न हों और कोई भी तीन संगामी न हों, तो वे जितनी बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करेंगी, उनकी संख्या है- (K.V. Jan., 2017)
(1) 250    (2) 300    (3) 100    (4) 150

73. (127)! को सरल करने पर अन्त में आने वाले शून्यों की संख्या है- H-TAT 2017
The number of zeroes at the end of (127)! on simplification is:
(1) 25    (2) 30    (3) 31    (4) 335

74. यदि शब्द 'DANGER' के अक्षरों के सभी संभव तरीकों के क्रमचयों को शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित किया जाए तो शब्द 'GANDER' की कोटि है- RPSC II Grade 30 July, 2017
If the letters of the word 'DANGER' be permuted in all possible ways and the words formed be arranged as in a dictionary, then the rank of the word 'GANDER' is
(1) 373    (2) 593    (3) 372    (4) 393

75. पूर्णांक \( 1! + 2! + 3! + \dots + 99! \) में इकाई के स्थान पर अंक है- RPSC II Grade 30 July, 2017
The digit in the unit position of the integer \( 1! + 2! + 3! + \dots + 99! \) is
(1) 3    (2) 0    (3) 7    (4) 1

76. एक बैग में 3 काली, 4 सफ़ेद तथा 2 लाल गेंदें हैं, अधिकतम 6 गेंदों का चुनाव, जिसमें सभी रंगों की गेंद हों, कितने प्रकार से किया जा सकता है- RPSC II Grade 2018
A bag contains 3 black, 4 white and 2 red balls. The number of selections of at most 6 balls containing balls of all the colours is
(1) \( 4^2 \times 4! \)    (2) \( 2^6 \times 4! \)    (3) \( (2^6 - 1) \times 4! \)    (4) इनमें से कोई नही

77. 8 अमेरिकी तथा 5 भारतीयों में से 6 सदस्यों की समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकती है जबकि उसमें कम से कम 3 भारतीय हों- RPSC II Grade 2018
Out of 8 Americans and 5 Indians, in how many ways a committee of 6 members can be formed if it should have at least 3 Indians?
(1) 560    (2) 708    (3) 140    (4) इनमें से कोई नही

78. "POSTMAN" शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं, यदि प्रत्येक शब्द P से प्रारम्भ हो तथा N से ख़त्म हो- RPSC II Grade 2018
How many words can be formed with the letters of the word "POSTMAN", if every word begins with P and ends with N?
(1) 720    (2) 5040    (3) 120    (4) 4320

79. संख्या 360 के भाजकों की कुल संख्या है- RPSC II Grade 2018
The total number of divisors of number 360 are
(1) 30    (2) 24    (3) 6    (4) 12

80. एक कमेटी के 15 सदस्य एक वृत्ताकार मेज के चारों तरफ कितनी तरह से बैठ सकते हैं, जबकि अध्यक्ष के एक तरफ सचिव तथा दूसरी तरफ डिप्टी सचिव बैठा हो- RPSC II Grade 2018
In how many ways can 15 members of a council sit along a circular table, when the secretary is to sit on one side of the chairman and the deputy secretary on the other side?
(1) 24    (2) \( 2 \times 15! \)    (3) \( 2 \times 12! \)    (4) इनमें से कोई नही

81. एक परीक्षार्थी को 12 प्रश्नों में से 7 प्रश्नों का उत्तर देना है। प्रश्न पत्र में दो खण्ड हैं तथा प्रत्येक खण्ड में 6 प्रश्न हैं। परीक्षार्थी को प्रत्येक खण्ड से 5 से अधिक प्रश्न नहीं करने हैं। प्रश्न पत्र को कुल कितने तरीकों से हल किया जा सकता है- K.V. Dec. 2018
A candidate is required to answer 7 questions out of 12 questions which are divided into two sections, each containing 6 questions. He is not allowed to attempt more than 5 questions from each group. In how many ways, he can attempt the paper?
(1) 180    (2) 600    (3) 792    (4) 780

82. निम्न में कौन-सा अधिकतम है- K.V. Dec. 2018
Which of the following is the greatest?
(1) \( ^{31}C_0^2 - ^{31}C_1^2 + ^{31}C_2^2 - \dots - ^{31}C_{31}^2 \)
(2) \( ^{32}C_0^2 - ^{32}C_1^2 + ^{32}C_2^2 - \dots + ^{32}C_{32}^2 \)
(3) \( ^{32}C_0^2 + ^{32}C_1^2 + ^{32}C_2^2 + \dots + ^{32}C_{32}^2 \)
(4) \( ^{34}C_0^2 - ^{34}C_1^2 + ^{34}C_2^2 - \dots + ^{34}C_{34}^2 \)

83. 10 पुरुषों तथा 7 महिलाओं में से एक समिति जिसके 6 सदस्य हों, का गठन इस प्रकार करना है कि समिति में कम से कम 3 पुरुष तथा 2 महिलायें हों। ऐसी समिति का गठन कितनी प्रकार से किया जा सकता है जबकि दो विशेष महिलायें एक ही समिति की सदस्य होने से इन्कार करती है- K.V. Dec. 2018
A committee of 6 is to be chosen from 10 men and 7 women so as to have at least 3 men and 2 women. In how many different ways can this be done if two particular women refuse to be in the same committee?
(1) 9376    (2) 8610    (3) 7800    (4) 7200

84. यदि \( ^{n+1}C_{r+1} : ^nC_r : ^{n-1}C_{r-1} = 11 : 6 : 3 \), तो (nr) का मान होगा- K.V. Dec. 2018
If \( ^{n+1}C_{r+1} : ^nC_r : ^{n-1}C_{r-1} = 11 : 6 : 3 \), then (nr) is equal to:
(1) 20    (2) 30    (3) 40    (4) 50

85. 5 बालक एक टूर्नामेंट में भाग लेते हैं। प्रत्येक को अन्य प्रत्येक के साथ खेलना है। उन्हें कितने खेल खेलने चाहिए- H-TAT 2019
Five children take part in a tournament. Each one has to play every other one. How many games must they play?
(1) 10    (2) 15    (3) 17    (4) 20

86. सरल रेखाएँ \( l_1, l_2, l_3 \) समान्तर हैं तथा एक ही तल पर स्थित हैं। रेखा \( l_1 \) पर कुल m बिन्दु हैं, \( l_2 \) पर n बिन्दु \( l_3 \) पर k बिन्दु लिए गए हैं। इन बिन्दुओं पर शीर्षों वाले त्रिभुजों की अधिकतम संख्या है- H-TAT 2019
In straight line \( l_1, l_2, l_3 \) are parallel and lie in the same plane. A total number of m points are taken on \( l_1 \), n points on \( l_2 \), k points on \( l_3 \). The maximum number of triangles formed with vertices at these points are:
(1) \( ^mC_3 + ^nC_3 + ^kC_3 \)
(2) \( ^{m+n+k}C_1 \)
(3) \( ^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3 \)
(4) \( ^{m+n+k}C_3 + ^mC_3 + ^nC_3 + ^kC_3 \)

87. 6480 के भाजकों की कुल संख्या है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
The total number of divisors of 6480 are
(1) 30    (2) 20    (3) 50    (4) 40

88. दो लड़कियों और चार लड़कों को एक कतार में इस तरह से बैठना है कि लड़कियाँ एक साथ न बैठें। कितने विभिन्न प्रकार से उनको बैठाया जा सकता है- NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) 720    (2) 240    (3) 480    (4) 360

89. सबसे बड़ा पूर्णांक n जिसके लिए \( 35! \), \( 3^n \) से विभाज्य होगा वह होगा- NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) 15    (2) 1    (3) 3    (4) 11

90. यदि \( 1! + 2! + 3! + \dots + 1000! \) के योगफल को 4 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल कितना बचेगा- NVS PGT 2019
If the sum \( 1! + 2! + 3! + \dots + 1000! \) is divisible by 4, then the remainder is
(1) 1    (2) 0    (3) 3    (4) 2

91. शब्द 'MATHEMATICS' के अक्षरों के क्रम परिवर्तन की संख्या ------------- है- NVS PGT 2019
The number of permutations of the letters of the word 'MATHEMATICS' are
(1) 4986800    (2) 4869800    (3) 4989600    (4) 4896800

92. 5 चित्रों को दीवार पर लगी 7 चित्र कीलों पर कुल कितने तरीके से लटकाया जा सकता है- MP TET 2019
In how many ways can 7 pictures be hung from 5 picture nails on a wall?
(1) 2520    (2) 16807    (3) 2250    (4) 21

93. 'TRICK' शब्द के अक्षरों का उपयोग कर 3 अक्षरों के शब्दों (अर्थ के साथ या बिना) की संख्या का ज्ञात करें- MP TET 2019
Find the number of 3 letter words [with or without meaning] that can be formed using letters of the word "TRICK"?
(1) 125    (2) 120    (3) 60    (4) 15

94. शब्द 'MATHEMATICS' से चार अक्षरों के चयन करने के तरीकों की कुल संख्या है- MP TET 2019
The total number of selections of four alphabets taken from the word "MATHEMATICS" is
(1) 133    (2) 70    (3) 73    (4) 136

95. यदि \( ^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_x \), तब x = MP TET 2019
If \( ^nC_r + ^nC_{r+1} = ^{n+1}C_x \), then x =
(1) 2r + 1    (2) r    (3) r + 1    (4) 2r

98. अंकों 3, 5, 6, 7 एवं 8 के उपयोग से निर्मित 6000 से बड़े पूर्णांकों की संख्या निम्न में से होगी, यदि अंकों की पुनरावृत्ति न हो- H-TET 2019
The number of integers greater than 6000 that can be formed, using the digit 3, 5, 6, 7 and 8, without repetition, is
(1) 216    (2) 192    (3) 120    (4) 72

99. शब्द SMALL के अक्षरों का प्रयोग करके, पाँच अक्षरों वाले सभी शब्दों (अर्थपूर्ण अथवा अर्थहीन) को शब्दकोश के क्रमानुसार रखने पर SMALL का स्थान है- H-TET 2019
If all the words (with or without meaning) having five letters, formed using the letters of the word SMALL and arranged as in dictionary; then the position of the word SMALL is:
(1) 46th    (2) 59th    (3) 52nd    (4) 58th

100. शब्द "INDIADELHI" के अक्षरों से निर्मित विभिन्न शब्दों की संख्या है- RPSC I Grade 2020
The number of different words that can be formed with the letters of the word "INDIADELHI" is
(1) \( \frac{10!}{3! 2!} \)    (2) \( 5! 5! 3! 2! \)    (3) \( 5! 5! 2! \)    (4) \( 2! 5! 2! 3! \)

101. यदि बिन्दु (x, y, z) के सभी निर्देशांक प्राकृत संख्याएँ हों तथा x + y + z = n है, तो बिन्दुओं की अधिकतम संख्या होगी- RPSC I Grade 2020
If all the co-ordinates of the point (x, y, z) are natural numbers and x + y + z = n, then the maximum number of points is
(1) \( \frac{n(n+1)}{2} \)    (2) \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)    (3) \( \frac{n(n-1)}{2} \)    (4) \( \frac{(n-1)(n-2)}{2} \)

102. \( L_1, L_2, L_3 \) तीन समानान्तर रेखाएँ हैं। \( L_1 \) पर 3 बिन्दु, \( L_2 \) पर 6 बिन्दु \( L_3 \) पर 9 बिन्दु हैं। अधिकतम त्रिभुजों की संख्या जिनके शीर्ष इन बिन्दुओं पर हैं, होगी- RPSC I Grade 2020
\( L_1, L_2, L_3 \) are three parallel lines, there are 3 points on \( L_1 \), 6 points on \( L_2 \), 9 points on \( L_3 \). The maximum number of triangles formed with vertices at these points is
(1) 666    (2) 531    (3) 711    (4) 387

103. xyz = 24 के पूर्णांक हलों से कितने बिन्दु (x, y, z) अनुरेखित किये जा सकते हैं- RPSC I Grade 2020
How many points (x, y, z) can be traced by integral solutions of xyz = 24?
(1) 60    (2) 32    (3) 30    (4) 24

104. चार विभिन्न प्राकृत संख्याएँ, जिनका योग 10 है, क्रॉस आकृति के सिरों पर इस प्रकार रखी गई हैं कि दोनों रेखाओं पर संख्याओं का योग बराबर हो। इस प्रकार कितनी व्यवस्थाएँ बनाई जा सकती हैं- RPSC I Grade 2020
Four distinct natural numbers whose sum is 10, are placed on the vertex of the figure such that sum of numbers on both the lines are equal. How many such arrangements can be made?
(1) 4    (2) 6    (3) 8    (4) 16

105. एक समुच्चय में (2n + 1) अवयव हैं, तब इस समुच्चय के ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें n से ज्यादा अवयव हैं- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
A set contains (2n + 1) elements. The number of subsets of this set which contains more than n elements is
(1) \( 2n + 1 \)    (2) \( 2^{2n} \)    (3) \( 2^{2n} - 1 \)    (4) \( 2^n \)

106. \( ^{47}C_4 + \sum_{i=1}^5 {^{52-i}C_3} \) का मान बराबर है- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
The value of \( ^{47}C_4 + \sum_{i=1}^5 {^{52-i}C_3} \) is equal to
(1) \( ^{52}C_3 \)    (2) \( ^{52}C_4 \)    (3) \( ^{52}C_5 \)    (4) \( ^{47}C_7 \)

107. यदि एक बहुभुज के विकर्णों की कुल संख्या 44 है, तो इसकी भुजा की संख्या बराबर है- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
If total number of diagonals of polygon is 44, then the number of its sides is
(1) 9    (2) 11    (3) 13    (4) 7

108. यदि \( ^9P_5 + 5 \cdot ^9P_4 = ^{10}P_r \) हो, तब r है- DSSSB Female 10-07-2021
If \( ^9P_5 + 5 \cdot ^9P_4 = ^{10}P_r \) then r is:
(1) 10    (2) 9    (3) 8    (4) 5

109. यदि \( ^{2n+1}P_{n-1} : ^{2n-1}P_n = 3 : 5 \) है, तो n का मान क्या है- DSSSB Female 10-07-2021
If \( ^{2n+1}P_{n-1} : ^{2n-1}P_n = 3 : 5 \) then the value of n is
(1) 3    (2) 4    (3) 0    (4) 2

110. 1, 2, 3, 4, 5, 6 इन अंकों का उपयोग करके, सिर्फ़ एक ही बार 3000 और 4000 के बीच की कितनी संख्याएँ बनायी जा सकती हैं- DSSSB Female 10-07-2021
Using digits 1, 2, 3, 4, 5 and 6 how many numbers between 3000 and 4000 can be made if no digit should be repeated?
(1) 60    (2) 70    (3) 90    (4) 100

111. JUXTAPOSED में अक्षरों के कितने अलग क्रम परिवर्तन में चार स्वर एक साथ आते हैं- DSSSB Female 10-07-2021
In how many of the distinct permutation of letters in JUXTAPOSED do the four vowels come together?
(1) 182900    (2) 102960    (3) 190026    (4) 120960

112. 11 क्रिकेटरों का एक समूह है। 4 बल्लेबाजी कर सकते हैं और 7 गेंदबाजी कर सकते हैं। 5 क्रिकेटरों के समूह को कितने तरीकों से चुना जा सकता है, यदि समूह में कम से कम एक बल्लेबाज और एक गेंदबाज हो- DSSSB Female 10-07-2021
There is a group of 11 cricketers 4 can bat and 7 can bowl, in how many ways can a group of 5 cricketers be selected if the group has at least one batsman and bowler?
(1) 745    (2) 237    (3) 669    (4) 441

113. यदि किसी दो '–' चिह्न की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है तो छः '+' चिह्न और चार '–' चिह्न से कितने प्रकार से रेखा बनाई जा सकती है- DSSSB Female 10-07-2021
If no two '–' signs can be repeated, then in how many ways a line can be made from six '+' signs and four '–' signs?
(1) 15    (2) 50    (3) 53    (4) 35

114. यदि \( ^nP_r = 336 \) और \( ^nC_r = 56 \) है, तो n और r का मान क्या होगा- DSSSB Female 10-07-2021
If \( ^nP_r = 336 \) and \( ^nC_r = 56 \), then what is the value of n and r?
(1) n = 8, r = 3    (2) n = 7, r = 8    (3) n = 14, r = 4    (4) n = 3, r = 2

115. एक बहुभुज के विकर्ण की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं की संख्या "n" है- DSSSB Female 10-07-2021
Find the number of diagonals of a polygon whose number of sides is "n".
(1) \( n(n - 1) / 2 \)    (2) \( (n - 1)(n - 2) / 3 \)    (3) \( n(n - 3) / 2 \)    (4) \( (n - 2)(n - 5) / 3 \)

116. यदि \( ^{25}C_r = ^{25}C_{2r+1} \) तो \( ^rC_5 \) का मान क्या होगा- DSSSB Female 10-07-2021
If \( ^{25}C_r = ^{25}C_{2r+1} \), then what is the value of \( ^rC_5 \)?
(1) 64    (2) 50    (3) 65    (4) 56

I Grade RPSC Answers: Permutations & Combinations
Qus.123456789101112131415
Ans343133132313232
Qus.161718192021222324252627282930
Ans434232132442413
Qus.313233343536373839404142434445
Ans411414223332311
Qus.464748495051525354555657585960
Ans243121431321213
Qus.616263646566676869707172737475
Ans331422422132311
Qus.767778798081828384858687888990
Ans423234334433311
Qus.919293949596979899100101102103104105
Ans323431324143332
Qus.106107108109110111112113114115116
Ans22421444134

पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)

द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem)

01. \( (x - 1) (x - 3) \dots (x - 99) \) में \( x^{49} \) का गुणांक है- H-TET 2008
The coefficient of \( x^{49} \) in the product \( (x - 1) (x - 3) \dots (x - 99) \) is
(1) –992    (2) 1    (3) –2500    (4) इनमें से कोई नही

02. \( (1 + x - 3x^2)^{2143} \) के प्रसार में गुणांकों का योग है- H-TET 2008
The sum of the coefficients in the expansion of \( (1 + x - 3x^2)^{2143} \) is
(1) 0    (2) 1    (3) –1    (4) इनमें से कोई नही

03. यदि \( (1 + x)^{18} \) के प्रसार में \( (2r + 4) \)वें पद तथा \( (r - 2) \)वें पद के गुणांक बराबर हैं, तो r का मान है- H-TET 2008
If the coefficients of \( (2r + 4) \)th and of \( (r - 2) \)th terms in the expansion of \( (1 + x)^{18} \) are equal, then the value of r is
(1) 5    (2) 6    (3) 7    (4) 9

04. x के घातों के गुणांकों का योग, व्यंजक \( (x - 3x^2 + x^3)^{99} \) के प्रसार में, है- S. TET 2009
The sum of the coefficient of powers of x in the expansion of the polynomial \( (x - 3x^2 + x^3)^{99} \) is
(1) 0    (2) 1    (3) 2    (4) –1

05. व्यंजक \( (3 + 2x)^{74} \) के प्रसार में दो लगातार पद बराबर गुणांक रखते हैं, तो पद हैं- S. TET 2009
Two consecutive terms in the expansion of \( (3 + 2x)^{74} \) have equal coefficients, then terms are:
(1) 30 और 31    (2) 38 और 39    (3) 31 और 32    (4) 37 और 38

06. व्यंजक \( (1 + x + \frac{1}{x})^n \) के प्रसार में पदों की संख्या है- S. TET 2009
The number of terms in the expansion of \( (1 + x + \frac{1}{x})^n \) is
(1) \( 2n \)    (2) \( 2n + 1 \)    (3) \( 2n - 1 \)    (4) इनमें से कोई नही

07. यदि \( ^nC_8 = ^nC_2 \) हो तो \( ^nC_2 \) का मान होगा- (RPSC II Grade 2010)
If \( ^nC_8 = ^nC_2 \) then the value of \( ^nC_2 \) is
(1) 40    (2) 54    (3) 46    (4) 45

08. \( (x + a)^n \) के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमशः 240, 720 और 1080 हैं, तो n का मान होगा- (RPSC II Grade 2010)
(1) 3    (2) 4    (3) 5    (4) 6

09. \( (1 + x)^{2n}, n \in N \) के प्रसार में मध्य पद होगा- (RPSC II Grade 2011)
(1) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1)}{n!} 2^n x^n \)
(2) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1)}{n!} (-2^n) x^n \)
(3) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1)}{(n-1)!} (-2^n) x^n \)
(4) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n - 1)}{(n+1)!} 2^n x^n \)

10. यदि \( (x + a)^n \) के विस्तार में विषम पदों का योग A तथा सम पदों का योग B हो, तो \( (x^2 - a^2)^n \) का मान है- (RPSC I Grade 2012)
If in the expansion of \( (x + a)^n \), the sum of the odd terms is A and that of even terms is B, then the value of \( (x^2 - a^2)^n \) is:
(1) \( A^2 + B^2 \)    (2) \( A^2 - B^2 \)    (3) 4AB    (4) 2(A – B)

11. \( (x - \frac{2}{x^2})^{12} \) के विस्तार में 10वाँ पद होगा- RPSC (ACF) 2012
10th term in the expansion of \( (x - \frac{2}{x^2})^{12} \) will be
(1) \( \frac{1760}{x^3} \)    (2) \( \frac{1760}{x^6} \)    (3) \( \frac{-1760}{x^3} \)    (4) \( \frac{1760}{x^9} \)

12. \( (x - y - z)^8 \) के विस्तार में कुल पदों की संख्या होगी- RPSC (ACF) 2012
Number of terms in the expansion of \( (x - y - z)^8 \) is
(1) 9    (2) 17    (3) 45    (4) 68

13. \( (\frac{x}{2} - \frac{2}{y})^{10} \) के विस्तार में मध्य पद होगा- RPSC (ACF) 2012
Middle term in the expansion of \( (\frac{x}{2} - \frac{2}{y})^{10} \) will be
(1) \( -\frac{63 x^5}{8 y^5} \)    (2) \( \frac{63 x^5}{8 y^5} \)    (3) \( \frac{63 y^5}{8 x^5} \)    (4) \( -\frac{63 y^5}{8 x^5} \)

14. \( (1 + a)^n \) के विस्तार में पाँचवें, छठे व सातवें पद के गुणांक स-श्रे- में हैं। n का मान होगा- RPSC (ACF) 2012
The coefficient of 5th, 6th and 7th term in the expansion of \( (1 + a)^n \) are in A.P. the value of n will be
(1) 7, 14    (2) 6, 11    (3) 8, 15    (4) 8, 16

15. यदि \( (1 + x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots + c_nx^n \) तो \( c_0c_1 + c_1c_2 + c_2c_3 + \dots + c_{n-1}c_n \) बराबर है- RPSC (ACF) 2012
If \( (1 + x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots + c_nx^n \) then \( c_0c_1 + c_1c_2 + c_2c_3 + \dots + c_{n-1}c_n \) will be equal to
(1) \( \frac{(2n)!}{(n-1)! n!} \)    (2) \( \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} \)    (3) \( \frac{(2n)!}{n! n!} \)    (4) \( \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} \)

16. \( (1 + x + x^2)^{-3} \) के विस्तार में \( x^6 \) का गुणांक होगा- RPSC (ACF) 2012, II Grade Sanskrit Dept. 2019
In the expansion of \( (1 + x + x^2)^{-3} \) the coefficient of \( x^6 \) will be
(1) 9    (2) 1    (3) –3    (4) 3

17. \( (x - \frac{1}{x^2})^{12} \) के विस्तार में x रहित पद होगा- RPSC (ACF) 2012
The term without x in the expansion of \( (x - \frac{1}{x^2})^{12} \) will be
(1) 79    (2) \( 79 \times 2^6 \)    (3) 792    (4) 7920

18. \( (1 - x^5)^8 \) के प्रसार में गुणांकों का योग होगा- RPSC (ACF) 2012
The sum of the coefficients in the expansion of \( (1 - x^5)^8 \) will be
(1) 0    (2) \( 2^8 - 1 \)    (3) \( 2^8 \)    (4) \( 2^8 + 1 \)

19. यदि \( (1 + x)^n \) के विस्तार में विषम पदों का योग \( s_1 \) एवं सम पदों का योग \( s_2 \) हो तो \( (s_1^2 - s_2^2) \) बराबर है- RPSC (ACF) 2012
If in the expansion of \( (1 + x)^n \), the sum of odd terms is \( s_1 \) and sum of even terms is \( s_2 \), then \( (s_1^2 - s_2^2) \) equals
(1) \( (x^2 - 1)^2 \)    (2) \( (1 - x^2)^n \)    (3) \( (x^2 - 1) \)    (4) \( 2^n - 1 \)

20. यदि \( (1 + x)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots + c_n x^n \) तब \( (c_1 + c_3 + c_5 + \dots) \) का मान है- RPSC (ACF) 2012
If \( (1 + x)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots + c_n x^n \) then the value of \( (c_1 + c_3 + c_5 + \dots) \) is
(1) \( 2^{n-1} \)    (2) \( 2^{n-1} \)    (3) \( 2^n \)    (4) \( 2^{n+1} \)

21. \( (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) (1 - x + x^2 - x^3 + \dots) \) बराबर है- RPSC (ACF) 2012
(1) \( 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \dots \)
(2) \( 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \dots \)
(3) \( 1 - x^2 - x^4 - x^6 - \dots \)
(4) \( 1 - x - x^2 - x^5 - x^7 - \dots \)

22. यदि \( (2 + 3x)^n \) के विस्तार में \( x^7 \) और \( x^8 \) के गुणांक बराबर हों, तो n का मान है- RPSC I Grade 2012
If in the expansion of \( (2 + 3x)^n \), the coefficient of \( x^7 \) and \( x^8 \) are equal, then n is equal to :
(1) 56    (2) 55    (3) 45    (4) 49

23. \( (1 - x)^{10} \) के विस्तार में सभी गुणांकों का योग होगा- H.TET 2013
The sum of all coefficients in the expansion of \( (1 - x)^{10} \) is
(1) 4024    (2) 0    (3) 1    (4) \( 10^2 \)

24. \( (1 + \frac{1}{3})^{2013} \) के प्रसार में महत्तम पद है- H.TET 2013
The greatest term in the expansion of \( (1 + \frac{1}{3})^{2013} \) is:
(1) \( T_7 \)    (2) \( T_9 \)    (3) \( T_8 \)    (4) \( T_{10} \)

25. \( (x - \frac{1}{x^2})^9 \) के विस्तार में x से मुक्त पद का मान है- H.TET 2013
The term independent of x in \( (x - \frac{1}{x^2})^9 \) is :
(1) 1    (2) 49    (3) 48    (4) 84

26. सरलीकरण के बाद \( (x + a)^{51} - (x - a)^{51} \) के विस्तारण में कुल पदों की संख्या होगी- PGT 2014
The total number of terms in the expansion of \( (x + a)^{51} - (x - a)^{51} \) after simplification is
(1) 102    (2) 25    (3) 26    (4) इनमें से कोई नही

27. \( (\sqrt{2} + 1)^6 \) का महत्तम पूर्णांक मान है- H-TAT 2014,2016
The greatest integral value of \( (\sqrt{2} + 1)^6 \) is
(1) 195    (2) 197    (3) 199    (4) 201

28. \( (1 + 5x - 7x^3)^{3165} \) के विस्तार में समस्त गुणांकों का योग है- H-TAT 2014
The sum of the coefficients in the expansion of \( (1 + 5x - 7x^3)^{3165} \) is:
(1) 1    (2) \( 2^{3165} \)    (3) \( 1^{3164} \)    (4) –1

29. \( [(x - 3y)^2 (x + 3y)^2]^3 \) के प्रसार में पदों की संख्या है- H-TAT 2014, 2016
The number of terms in the expansion of \( [(x - 3y)^2 (x + 3y)^2]^3 \) is
(1) 6    (2) 7    (3) 8    (4) 9

30. सरलीकरण के पश्चात् \( (x + a)^{100} + (x - a)^{100} \) के प्रसार में पदों की संख्या है- (RPSC II Grade 2014)
After simplification, the number of terms in the expansion of \( (x + a)^{100} + (x - a)^{100} \) is :
(1) 202    (2) 51    (3) 100    (4) 50

31. \( (1 - 3x + 3x^2 - x^3)^{2n} \) के प्रसार में मध्य पद है- (RPSC II Grade 2014)
In the expansion of \( (1 - 3x + 3x^2 - x^3)^{2n} \), the middle term is :
(1) \( (n+1) \)th term    (2) \( (2n+1) \)th term    (3) \( (3n+1) \)th term    (4) \( n \)th term

32. \( (2x + 3y - 4z)^{15} \) के विस्तार में पदों की संख्यायें हैं- [I Grade July 2014]
The number of terms in the expansion of \( (2x + 3y - 4z)^{15} \) is:
(1) 16    (2) 45    (3) 120    (4) 136

33. x के बढ़ती हुई घात में \( (x^3 - \frac{1}{x^3})^n \) (n एक धनात्मक पूर्णांक है) के विस्तार में अंतिम 5वाँ पद है- [I Grade July 2014]
The 5th term from the end in the expansion of \( (x^3 - \frac{1}{x^3})^n \) in increasing power of x, is (n is a positive integer)
(1) \( ^nC_4 x^{3n-10} \)    (2) \( - ^nC_4 x^{3n-10} \)    (3) \( ^nC_4 x^{3n-8} \)    (4) \( (-1)^n {^nC_4} x^{3n-8} \)

34. \( 2^{60} \) को 7 से विभाजित करने पर शेष संख्या है- H. TET 2016
\( 2^{60} \) when divided by 7 leaves the remainder
(1) 1    (2) 2    (3) 6    (4) 3

35. \( (1 - x + x^2)^5 \) के विस्तार में \( x^3 \) का गुणांक है- H. TET 2015
The coefficient of \( x^3 \) in the expansion of \( (1 - x + x^2)^5 \)
(1) 30    (2) –30    (3) –20    (4) 20

36. \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^6 \) के प्रसार में परिमेय पदों की संख्या है- H. TET 2015
The number of rational terms in the expansion of \( (\sqrt{2} + \sqrt{3})^6 \) is
(1) 7    (2) 6    (3) 8    (4) 10

37. \( (1 + px)^n, n, p \in N \) के प्रसार में \( x \) और \( x^2 \) के गुणांक क्रमशः 8 और 24 हैं, तब- I Grade July, 2016
In the expansion of \( (1 + px)^n, n, p \in N \) the coefficients of \( x \) and \( x^2 \) are 8 and 24 respectively, then
(1) n = 3, p = 2    (2) n = 4, p = 2    (3) n = 4, p = 3    (4) n = 5, p = 3

38. यदि \( y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \), तो- I Grade July, 2016
If \( y = x - x^2 + x^3 - x^4 + \dots \), then
(1) \( x = y - y^2 + y^3 - y^4 + \dots \)
(2) \( x = y + y^2 + y^3 + y^4 + \dots \)
(3) \( x = -y + y^2 - y^3 + y^4 - \dots \)
(4) \( x = -y - y^2 - y^3 - y^4 - \dots \)

39. \( (x + a)^{2n} ; n \in N \) के प्रसार में मध्य पद है- I Grade July, 2016
The middle term in the expansion of \( (x + a)^{2n} ; n \in N \) is
(1) \( ^{2n}C_{n+1} x^{n+1} a^{n+1} \)
(2) \( ^{2n}C_{n+1} x^n a^{n+1} \)
(3) \( ^{2n}C_n x^{n+1} a^{n-1} \)
(4) \( ^{2n}C_n x^n a^n \)

40. यदि \( (1 + x)^n = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n \), तब \( c_0 + 2c_1 + 3c_2 + \dots + (n + 1) c_n \) का मान है- I Grade July, 2016
If \( (1 + x)^n = c_0 + c_1 x + \dots + c_n x^n \), then the value of \( c_0 + 2c_1 + 3c_2 + \dots + (n + 1) c_n \) is equal to
(1) \( n 2^n \)    (2) \( n 2^{n-1} \)    (3) \( n 2^n + 2^{n-1} \)    (4) \( 2^n + n 2^{n-1} \)

41. \( (x+ 2y)^9 \) के प्रसार में \( x^6y^3 \) का गुणांक होगा- H. TET July. 2016
In expansion of \( (x+ 2y)^9 \), coefficient of \( x^6y^3 \) is
(1) 672    (2) 572    (3) 472    (4) 272

42. यदि \( C_r \), बाइनॉमियल गुणांक \( ^nC_r \) को दर्शाता है, तो \( \frac{C_0}{1} + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \dots + \frac{C_n}{n+1} \) का मान है- (Navodaya, Dec., 2016)
(1) \( \frac{2^{n+1}-1}{n+1} \)    (2) \( \frac{2^{n-1}}{n-1} \)    (3) \( \frac{2^n}{2^n} \)    (4) \( \frac{2^{n+1}+1}{n+1} \)

43. \( (1 + x)^{24} \) के विस्तार में दो सतत पद जिनके गुणांक 1 : 4 में हैं, है- (Navodaya, Dec., 2016)
(1) तीसरा तथा चौथा पद    (2) 5वाँ तथा 6वाँ पद    (3) 6वाँ तथा 7वाँ पद    (4) चौथा तथा पाँचवाँ पद

44. \( (1 + x)^{2n} \) तथा \( (1 + x)^{2n - 1} \) के प्रसारों में \( x^n \) के गुणांकों का अनुपात है- (Novodaya, Dec., 2016)
(1) 1 : 2    (2) 1 : 3    (3) 3 : 1    (4) 2 : 1

45. \( (1 + x) (1 - x)^n \) के प्रसार में \( x^n \) का गुणांक है- K.V. 2017
The coefficient of \( x^n \) in expansion of \( (1 + x) (1 - x)^n \) is:
(1) \( (-1)^{n-1} \cdot n \)    (2) \( (-1)^n (n - 1)^2 \)    (3) \( (-1)^n (1 - n) \)    (4) \( (n - 1) \)

46. \( \{(1 + x)^6 + (1 + x)^7 + \dots + (1 + x)^{15}\} \) के विस्तार में \( x^6 \) का गुणांक है- K.V. 2017
The coefficient of \( x^6 \) in the expansion of \( \{(1 + x)^6 + (1 + x)^7 + \dots + (1 + x)^{15}\} \) is:
(1) \( ^{16}C_{10} \)    (2) \( ^{16}C_6 \)    (3) \( ^{16}C_9 \)    (4) \( ^{16}C_8 \)

47. यदि \( (3 + ax)^9 \) के प्रसार में \( x^4 \) और \( x^5 \) के गुणांक समान हैं तो a का मान है- K.V. 2017
If in the expansion of \( (3 + ax)^9 \), the coefficients of \( x^4 \) and \( x^5 \) are equal, then the value of 'a' is:
(1) 3    (2) 6    (3) 5    (4) 1

48. \( (1 + x)^{2n} \) के प्रसार के दो क्रमागत पद जिनके गुणांक 1 : 4 के अनुपात में हैं, हैं- K.V. 2017
The two successive terms in the expansion of \( (1 + x)^{2n} \) whose coefficients are in the ratio 1 : 4 are:
(1) छठा व सातवां (6th and 7th)    (2) तीसरा व चौथा (3rd and 4th)    (3) चौथा और पांचवा (4th and 5th)    (4) पांचवां व छठा (5th and 6th)

49. \( (a + b + c)^{25} \) के विस्तार में पदों की संख्या है- RPSC II Grade 30 July, 2017
Number of terms in the expansion of \( (a + b + c)^{25} \) is
(1) 351    (2) 325    (3) 625    (4) 338

50. \( (\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2})^{10} \) के विस्तार में \( x^4 \) का गुणांक होगा- RPSC II Grade 2018, Chandigarh (TGT) 2019
The co-efficient of \( x^4 \) in \( (\frac{x}{2} - \frac{3}{x^2})^{10} \) is
(1) \( \frac{405}{256} \)    (2) \( \frac{504}{259} \)    (3) \( \frac{450}{263} \)    (4) \( \frac{806}{456} \)

51. यदि n एक सम संख्या है तथा \( (\frac{x}{2} + \frac{3}{x})^n \) के विस्तार में मध्य पद \( 924 x^6 \) हो, तो n का मान होगा- RPSC II Grade 2018
If n is even, then the middle term in the expansion of \( (\frac{x}{2} + \frac{3}{x})^n \) is \( 924 x^6 \). Find the value of n :
(1) 10    (2) 12    (3) 14    (4) इनमें से कोई नही

52. यदि \( (1 + x)^{14} \) के प्रसार में \( r \)th, \( (r + 1) \)th तथा \( (r + 2) \)th पदों के गुणांक समान्तर श्रेढ़ी में हों, तो r का मान होगा- K.V. Dec. 2018
If the coefficient of \( r \)th , \( (r + 1) \)th and \( (r + 2) \)th terms in the expansion of \( (1 + x)^{14} \) are in A.P. then the value of r is:
(1) 5 या 8 (5 or 8)    (2) 5 या 9 (5 or 9)    (3) 4 या 9 (4 or 9)    (4) 6 या 7 (6 or 7)

53. \( (1 + x)^{50} \) के प्रसार में x की विषम घातों के गुणांकों का योगफल है- H-TAT 2019
In the expansion of \( (1 + x)^{50} \), the sum of the coefficients of odd powers of x is:
(1) 0    (2) 1    (3) \( 2^{49} \)    (4) \( 2^{51} \)

54. \( (\frac{x^3}{2} - \frac{2}{x^2})^9 \) के प्रसार में अन्त से तीसरा पद है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
In the expansion of \( (\frac{x^3}{2} - \frac{2}{x^2})^9 \), the third term from the end is:
(1) \( \frac{672}{x^3} \)    (2) \( -\frac{672}{x^3} \)    (3) \( \frac{1152}{x^8} \)    (4) \( -\frac{1152}{x^8} \)

55. \( (3x^2 - 2x + 1) (x + 1)^{14} \) के प्रसार में \( x^{11} \) का गुणांक है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
The co-efficient of \( x^{11} \) in the expansion \( (3x^2 - 2x + 1) (x + 1)^{14} \) is
(1) \( ^{14}C_{11} \)    (2) 4368    (3) \( (^{14}C_{11}) \)    (4) \( (-2) (^{14}C_{10}) \)

56. \( (x^{1/2} - \frac{1}{x^{1/3}})^{12} \) के प्रसार में x से रहित पद कौनसा है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
In the expansion of \( (x^{1/2} - \frac{1}{x^{1/3}})^{12} \), which term is independent of x?
(1) 9    (2) 11    (3) 10    (4) 8

57. \( (x + a)^n \) के प्रसार में विषम पदों का योग P एवं सम पदों का योग Q हो, \( n \in I^+ \) है, तो \( \{(x + a)^{2n} + (x - a)^{2n}\} \) बराबर है- RPSC II Grade (Sanskrit Dept.) 2019
In the expansion of \( (x + a)^n \), the sum of odd terms is P and sum of even terms is Q, \( n \in I^+ \), then \( \{(x + a)^{2n} + (x - a)^{2n}\} \) is
(1) \( P^2 + Q^2 \)    (2) \( 2(P^2 + Q^2) \)    (3) \( 2(P^2 - Q^2) \)    (4) 4PQ

58. \( (1- x)^{2008} (1 + x + x^2)^{2007} \) में विस्तार में \( x^{2009} \) का गुणांक होगा- NVS (PGT) JUNE, 2019
(1) –1    (2) 1    (3) 3    (4) 0

59. यदि \( (1 + x + x^2)^n = \sum_{r=0}^{2n} a_r x^r \) है तब \( a_1 - 2a_2 + 3a_3 - \dots - 2n a_{2n} \) है- MP TET 2019
(1) \( (n + 1)2^n \)    (2) \( n \)    (3) \( -n \)    (4) \( n(2^n) \)

60. यदि \( (1+ x)^{34} \) के व्यंजक में \( (k - 5) \)th तथा \( (2k - 1) \)th पदों के गुणांक बराबर हैं, तो k का मान क्या होगा- NVS PGT 2019
If the coefficients of the \( (k - 5) \)th and \( (2k - 1) \)th terms in the expansion of \( (1 + x)^{34} \) are equal, then the value of k is
(1) 16    (2) 8    (3) 12    (4) 14

61. द्विपद प्रमेय का प्रयोग करते हुए \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 \) का मान ज्ञात करें- NVS PGT 2019
Use the binomial theorem to find the value of \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} - 1)^6 \).
(1) 198    (2) 162    (3) 176    (4) 186

62. यदि \( \alpha \) वास्तविक है तो \( (x \cos \alpha + \frac{\text{cosec } \alpha}{x})^{10} \) के विस्तार में \( x^0 \) का अधिकतम संभावित गुणांक है- RPSC I Grade 2020
If \( \alpha \) is real, then the greatest possible coefficient of \( x^0 \) in the expansion of \( (x \cos \alpha + \frac{\text{cosec } \alpha}{x})^{10} \) is
(1) \( \frac{10!}{5! 5!} 2^5 \)    (2) \( \frac{10!}{5! 5!} 2^3 \)    (3) \( \frac{10!}{5! 5!} 2 \)    (4) \( \frac{10!}{5! 5!} 2^6 \)

63. श्रेणी \( (a \in N) \) \( [^nC_1 (a - 1) - ^nC_2(a - 2) + ^nC_3(a - 3) - ^nC_4(a - 4) + \dots n \text{ पद}] \) का मान है- RPSC I Grade 2020
Value of the series \( (a \in N) \) \( [^nC_1 (a - 1) - ^nC_2(a - 2) + ^nC_3(a - 3) - ^nC_4(a - 4) + \dots n \text{ terms}] \)
(1) \( na - 2^{n-1} \)    (2) \( (n - 1)2^n \)    (3) \( na \)    (4) \( a \)

64. \( (1 + \frac{2x}{5} + \frac{x^2}{5})^{10} \) के विस्तार में संख्यात्मक गुणांकों का योग है- RPSC I Grade 2020
The sum of the numerical coefficients in the expansion of \( (1 + \frac{2x}{5} + \frac{x^2}{5})^{10} \) is-
(1) \( (\frac{3}{5} + \frac{2}{5})^{10} \)    (2) \( (\frac{3}{5} + \frac{2}{5})^{10} \)    (3) \( 2^5 \cdot 3^5 \)    (4) \( 2^{10} \)

65. यदि \( a = (2)^{1/2} \) तथा \( b = (3)^{1/3} \) तब \( (1 + a + b)^6 \) के विस्तार में कितने पदों में अपरिमेय संख्याएँ होगी- RPSC I Grade 2020
If \( a = (2)^{1/2} \) and \( b = (3)^{1/3} \) then in the expansion of \( ( 1 + a + b)^6 \) how many terms contain irrational number?
(1) 18    (2) 20    (3) 21    (4) 24

66. \( (x^2 + \frac{1}{x})^{2n} \) के विस्तार में \( x^p \) (यदि अस्तित्व हो) का गुणांक होगा- I Grade Sanskrit Dept. Dec 2020
The coefficient of \( x^p \) (if it exists) in the expansion of \( (x^2 + \frac{1}{x})^{2n} \) is
(1) \( ^{2n}C_{4n-p} \)    (2) \( ^{2n}C_{\frac{4n-p}{3}} \)    (3) \( ^{2n}C_{\frac{4n-p}{3}} \)    (4) \( ^{2n}C_{p-3} \)

67. \( (x + \frac{1}{x} + 2)^n \) के प्रसार में मध्य पद है- [DSSB 10.07..2021]
(1) \( [\frac{(2n)!}{(n!)^2}] \)    (2) \( \frac{1 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (2n - 1)}{n!} 2^n \)    (3) \( \frac{(2n)!}{n! n!} \)    (4) \( [\frac{n!}{n! 2!}] \)

68. \( (x + 1)^{20} \) का सबसे बड़ा गुणांक है- [DSSB 10.07..2021]
(1) \( \frac{(20)!}{6!4!} \)    (2) \( \frac{(20)!}{10!5!} \)    (3) \( \frac{(20)!}{5!4!} \)    (4) \( \frac{2 \cdot (20)!}{(10!)^2} \)

69. \( (x^3 - \frac{7}{x^2})^8 \) के विस्तार (आयाम) के \( x^{-2} \) का गुणांक है- [DSSB 10.07..2021]
(1) 40    (2) 72    (3) 90    (4) 0

70. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात करें कि \( (2^{3n} - 7n - 1) \) किससे विभाज्य है- [DSSB 10.07..2021]
(1) 27    (2) 49    (3) 7    (4) 15

71. निम्नलिखित में से कौनसा सत्य है? [DSSB 10.07..2021]
1. \( (1.01)^{1000000} > 10000 \)
2. \( (98)^{55} > 959500000000 \)
(1) ना तो 1 ना ही 2    (2) दोनों 1 और 2    (3) केवल 1    (4) केवल 2

72. \( (1 + x - 3x^2)^{4165} \) इनके विस्तार (आयाम) का गुणांक का योग ज्ञात करें- [DSSB 10.07..2021]
(1) –1    (2) 2    (3) 0    (4) 1

73. यदि \( (a + b) = 2 \) है, तो \( \sum_{r=0}^n {^nC_r} a^{n-r} b^r \) का मान है- [DSSB 10.07..2021]
(1) 0    (2) \( -2^n \)    (3) \( 2^n \)    (4) 1

74. \( (\frac{x}{3} + \frac{2}{x^2})^{12} \) के विस्तार में x से स्वतंत्र पद है- [UP TGT 08.08.21]
The term independent of x in the expansion of \( (\frac{x}{3} + \frac{2}{x^2})^{12} \) is
(1) 160/9    (2) 80/9    (3) 160/27    (4) 80/3

75. \( \sum_{r=0}^n {^nC_r} 3^r \) बराबर है- [UP PGT 18.08.21]
\( \sum_{r=0}^n {^nC_r} 3^r \) is equal to
(1) \( 2^n \)    (2) \( 3^n \)    (3) \( 4^n \)    (4) 1

76. \( (\frac{3}{x^2} - \frac{x^3}{6})^9 \) के प्रसार में अंत से चौथा पद है- [UP PGT 18.08.21]
In the expansion of \( (\frac{3}{x^2} - \frac{x^3}{6})^9 \) the 4th term from the end is
(1) \( \frac{48}{x^3} \)    (2) \( \frac{84}{x^3} \)    (3) \( \frac{64}{x^3} \)    (4) \( \frac{72}{x^3} \)

77. \( (1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots)^{-n} \) के विस्तार में \( x^n \) का गुणांक है- [UP PGT 18.08.21]
The coefficient of \( x^n \) in the expansion of \( (1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots)^{-n} \)
(1) \( (-1)^{n+1} \cdot n \)    (2) \( \frac{n(n+1)}{2} \)    (3) \( \frac{n(n-1)}{2} \)    (4) None of these

II Grade RPSC Answer Key: Binomial Theorem
Qus.123456789101112131415
Ans313444223132224
Qus.161718192021222324252627282930
Ans324431134422422
Qus.313233343536373839404142434445
Ans413132321223422
Qus.464748495051525354555657585960
Ans312,4112234212434
Qus.616263646566676869707172737475
Ans114433344231313
Qus.7677
Ans22

द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem)

परिचय (Introduction)

दो पद वाला बीजीय व्यंजक (algebraic expression) एक द्विपद व्यंजक या द्विपद कहलाता है। जैसे \(x + a\), \(3x - 5\), \(x^2 - 3x\) आदि।
\((x + a)\) की किसी भी घात के लिये इसका प्रसार का सूत्र ही द्विपद प्रमेय कहलाता है। \((x + a)^n, n \in N\) के प्रसार का सूत्र सर्वप्रथम सर आइजक न्यूटन ने दिया था।

  • \( (x + a)^0 = 1 \)
  • \( (x + a)^1 = x + a \)
  • \( (x + a)^2 = x^2 + 2xa + a^2 \)
  • \( (x + a)^3 = x^3 + 3x^2a + 3xa^2 + a^3 \)

धनात्मक पूर्णांक घात के लिये द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem for positive integral index)

यदि \(x\) और \(a\) दो वास्तविक संख्याएं हों तो \(n\) एक धन पूर्णांक हो तब:

\[ (x + a)^n = ^nC_0 x^n a^0 + ^nC_1 x^{n-1} a^1 + ^nC_2 x^{n-2} a^2 + \dots + ^nC_r x^{n-r} a^r + \dots + ^nC_n x^0 a^n \] या \[ (x + a)^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} x^{n-r} a^r \]

महत्वपूर्ण निरीक्षण (Important observations)

  • (i) \((x + a)^n\) के विस्तार में \((n + 1)\) पद अर्थात् \((x + a)\) की घात से एक अधिक पद आते हैं।
  • (ii) विस्तार से प्रत्येक उत्तरोत्तर (successive) पद में \(x\) की घात एक से घटती जा रही है और \(a\) की घात बढ़ती जा रही है। इस प्रकार प्रत्येक पद में \(x\) व \(a\) की घातों का योग समान और द्विपद की घात \(n\) के बराबर रहता है।
  • (iv) चूँकि \(^nC_0 = ^nC_n\), \(^nC_1 = ^nC_{n-1}\), आदि इसलिए द्विपद विस्तार में प्रारम्भ और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों के गुणांक बराबर हैं।
  • (v) \((x + a)^n\) के विस्तार में \((r + 1)\) वाँ पद व्यापक पद (general term) कहलाता है। इसे हम \(T_{r+1}\) से व्यक्त करते हैं: \[ T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} a^r \]

द्विपद प्रमेय के कुछ निगमन (Some deduction of Binomial Theorem)

(i) \((x - a)^n\) का विस्तार:

\[ (x - a)^n = \sum_{r=0}^n (-1)^r {^nC_r} x^{n-r} a^r \]

(ii) \((1 + x)^n\) का विस्तार:

\[ (1 + x)^n = \sum_{r=0}^n {^nC_r} x^r = 1 + {^nC_1} x + {^nC_2} x^2 + \dots + {^nC_n} x^n \]

(iii) \((1 - x)^n\) का विस्तार:

\[ (1 - x)^n = \sum_{r=0}^n (-1)^r {^nC_r} x^r = 1 - {^nC_1} x + {^nC_2} x^2 - \dots + (-1)^n {^nC_n} x^n \]

\((x + a)^n\) के विस्तार में मध्य पद (Middle term in the expansion of \((x + a)^n\))

  • (i) जब द्विपद की घात \(n\) सम हो तब विस्तार में पदों की संख्या विषम होगी इसलिये मध्य पद एक ही होगा तथा \( \left(\frac{n}{2} + 1\right) \) वाँ पद मध्य पद होगा।
  • (ii) जब द्विपद की घात \(n\) विषम हो तो विस्तार में पदों की संख्या सम होगी इसलिये दो मध्य पद होंगे तथा ये \( \left(\frac{n+1}{2}\right) \) वाँ पद और \( \left(\frac{n+3}{2}\right) \) वाँ पद मध्य पद होंगे।

विस्तार में \(x\) रहित पद (Term free from \(x\))

माना \( \left( ax^\alpha \pm \frac{b}{x^\beta} \right)^n \) के विस्तार में \(x\) रहित पद \(T_{r+1}\) है।

\[ T_{r+1} = ^nC_r (ax^\alpha)^{n-r} \left(\pm \frac{b}{x^\beta}\right)^r = ^nC_r a^{n-r} (\pm b)^r x^{n\alpha - r(\alpha + \beta)} \]

यह पद \(x\) रहित होगा यदि \(x\) की घात 0 हो। अर्थात् \(n\alpha - r(\alpha + \beta) = 0 \implies r = \frac{n\alpha}{\alpha + \beta}\)

विस्तार में \(x^m\) को रखने वाला पद (Term containing \(x^m\))

उपरोक्त विस्तार में \(x^m\) होगा जबकि \(n\alpha - r(\alpha + \beta) = m \implies r = \frac{n\alpha - m}{\alpha + \beta}\)

द्विपद गुणांकों के गुणधर्म (Properties of Binomial coefficients)

यदि \(^nC_0, ^nC_1, \dots, ^nC_n\) को क्रमशः \(C_0, C_1, \dots, C_n\) से व्यक्त करें तब:

  • (i) \( C_0 + C_1 + C_2 + \dots + C_n = 2^n \)
  • (ii) \( C_0 - C_1 + C_2 - \dots + (-1)^n C_n = 0 \)
  • (iii) \( C_1 + C_3 + C_5 + \dots = C_0 + C_2 + C_4 + \dots = 2^{n-1} \)
  • (iv) गुणांकों के वर्गों का योग: \( C_0^2 + C_1^2 + C_2^2 + \dots + C_n^2 = ^{2n}C_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \)
  • (v) \( C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + \dots + C_{n-r} C_n = ^{2n}C_{n-r} = \frac{(2n)!}{(n-r)!(n+r)!} \)
  • (vi) \( C_1 + 2C_2 + 3C_3 + \dots + nC_n = n \cdot 2^{n-1} \)

\((a + b + c)^n\) के विस्तार में पदों की संख्या (Number of terms in the expansion of \((a + b + c)^n\))

\[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \]

गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिये \(a, b, c\) सभी को 1 रखेंगे। अतः \((a + b + c)^n\) के गुणांकों का योग = \((1 + 1 + 1)^n = 3^n\)।

किसी भी घात के लिये द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem for any index)

यदि \(n \in Q\) और \(-1 < x < 1\) हो तब:

\[ (1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots \infty \]

यह विस्तार तभी मान्य है जब \(|x| < 1\)।

कुछ महत्वपूर्ण विस्तार (Some important expansions)

  • (i) \( (1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots \infty = \sum_{r=0}^\infty (-1)^r x^r \)
  • (ii) \( (1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \infty = \sum_{r=0}^\infty x^r \)
  • (iii) \( (1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots \infty = \sum_{r=0}^\infty (-1)^r (r+1)x^r \)
  • (iv) \( (1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty = \sum_{r=0}^\infty (r+1)x^r \)
  • (v) \( (1 - x)^{-3} = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 + \dots \infty \)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) - Binomial Theorem

01. \((x - 3)^8\) के प्रसार में 5 वाँ पद है:
(1) \( ^8C_5 x^3 (-3)^5 \)    (2) \( ^8C_5 x^3 3^5 \)    (3) \( ^8C_4 x^4 (-3)^4 \)    (4) \( ^8C_6 x^6 (-3)^6 \)

03. \((1 + x)^n, n \in N\) के विस्तार में पदों की संख्या है
(1) \( n \)    (2) \( 2^n \)    (3) \( n + 1 \)    (4) \( n - 1 \)

12. \( \left( x - \frac{1}{x} \right)^4 \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 \) के प्रसार में x रहित पद है-
(1) -3    (2) 0    (3) 1    (4) 3

35. \((1+ x)^{10}\) के प्रसार में महत्तम गुणांक है-
(1) \(\frac{10!}{5!5!}\)    (2) \(\frac{10!}{7!3!}\)    (3) \(\frac{10!}{2!5!}\)    (4) इनमें से कोई नही

64. \( 1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{6!} + \dots \) बराबर है-
(Wait, formula context from text: `1 - 1/2! + ... ` usually represents $\cos(1)$, but let's stick to the options as provided in OCR: `(1) 2^n, (2) 2^{2n-1}, (3) 2^{n+1}`.)

पूर्व परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्न (Previous year Examination Questions)

02. \((1 + x - 3x^2)^{2143}\) के प्रसार में गुणांकों का योग है- H-TET 2008
The sum of the coefficients in the expansion of \((1 + x - 3x^2)^{2143}\) is
(1) 0    (2) 1    (3) -1    (4) इनमें से कोई नही

09. \((1 + x)^{2n}, n \in N\) के प्रसार में मध्य पद होगा- (RPSC II Grade 2011)
(1) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{n!} 2^n x^n \)    (2) \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{n!} (-2^n) x^n \)

26. सरलीकरण के बाद \((x + a)^{51} - (x - a)^{51}\) के विस्तारण में कुल पदों की संख्या होगी PGT 2014
The total number of terms in the expansion of \((x + a)^{51} - (x - a)^{51}\) after simplification is
(1) 102    (2) 25    (3) 26    (4) इनमें से कोई नही

49. \((a + b + c)^{25}\) के विस्तार में पदों की संख्या है- RPSC II Grade 30 July, 2017
Number of terms in the expansion of \((a + b + c)^{25}\) is
(1) 351    (2) 325    (3) 625    (4) 338

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