अध्याय: क्षेत्रफल और परिमाप (Area & Perimeter)
सभी 94 महत्वपूर्ण MCQ प्रश्न और उनके हल
1. एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ 15 सेमी और 22 सेमी हैं। परिमाप के संभावित मान ज्ञात कीजिए?
हल:
त्रिभुज की दो संभावित भुजाएँ हो सकती हैं:
केस 1: भुजाएँ 15, 15, 22 हैं। परिमाप = 15 + 15 + 22 = 52 सेमी।
केस 2: भुजाएँ 15, 22, 22 हैं। परिमाप = 15 + 22 + 22 = 59 सेमी।
अतः, संभावित मान 52 या 59 हैं।
2. एक त्रिभुज का आधार 15 सेमी है और ऊंचाई 12 सेमी है। एक अन्य त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इस त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना है और आधार 20 सेमी है?
हल:
पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊंचाई = (1/2) × 15 × 12 = 90 सेमी²।
दूसरे त्रिभुज का क्षेत्रफल = 2 × 90 = 180 सेमी²।
दूसरे त्रिभुज की ऊंचाई = (2 × क्षेत्रफल) / आधार = (2 × 180) / 20 = 18 सेमी।
3. एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं। इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (सेमी² में) है-
हल:
बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × 3 × 4 = 6 सेमी²। (यह एक समकोण त्रिभुज है)।
मध्य बिंदुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का 1/4 होता है।
छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/4) × 6 = 3/2 सेमी²।
4. 3.5 सेमी त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार रखे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इन वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?
हल:
वृत्तों के केंद्रों को मिलाने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है जिसकी प्रत्येक भुजा = 3.5 + 3.5 = 7 सेमी है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3 / 4) × भुजा² = (1.732 / 4) × 7² ≈ 21.217 सेमी²।
प्रत्येक वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) का कोण 60° है।
तीन त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल = 3 × (60°/360°) × πr² = 3 × (1/6) × (22/7) × (3.5)² = 19.25 सेमी²।
घिरा हुआ क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 21.217 - 19.25 = 1.967 सेमी²।
5. 'a' इकाई त्रिज्या वाले चार वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। उनके द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल (इकाई में) क्या है? (π=22/7 लें)
हल:
केंद्रों को मिलाने पर एक वर्ग बनता है जिसकी भुजा = a + a = 2a।
वर्ग का क्षेत्रफल = (2a)² = 4a²।
प्रत्येक वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण 90° है।
चारों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल = 4 × (90°/360°) × πa² = πa² = (22/7)a²।
घिरा हुआ क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 4a² - (22/7)a² = (28a² - 22a²)/7 = 6a²/7।
6. एक त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी और क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है। यदि सबसे बड़ी भुजा की माप 13 सेमी है, तो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की माप क्या है?
हल:
माना भुजाएँ a, b, 13 हैं। a + b + 13 = 30 => a + b = 17।
अर्ध-परिमाप (s) = 30/2 = 15।
क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र) = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] = √[15(15-a)(15-b)(15-13)] = 30।
√[30(15-a)(15-b)] = 30 => 30(15-a)(15-b) = 900 => (15-a)(15-b) = 30।
a=5 और b=12 रखने पर, a+b=17 और (15-5)(15-12)=10×3=30। दोनों शर्तें पूरी होती हैं।
अतः, सबसे छोटी भुजा 5 सेमी है।
7. एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 10 सेमी हैं और उनके बीच का कोण 45° है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
जब दो भुजाएँ (a, b) और उनके बीच का कोण (θ) दिया हो, तो क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल = (1/2)ab sin(θ)
यहाँ a = 10, b = 10, और θ = 45°।
क्षेत्रफल = (1/2) × 10 × 10 × sin(45°) = 50 × (1/√2) = 50√2 / 2 = 25√2 सेमी²।
8. दिए गए चित्र में, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
चित्र के अनुसार, यह 'a' त्रिज्या वाले दो चतुर्थांशों (quadrants) का क्षेत्रफल है जो '2a' भुजा वाले एक वर्ग में हैं, और इसमें से वर्ग का क्षेत्रफल घटाया गया है।
छायांकित क्षेत्र = 2 × (एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल) - वर्ग का क्षेत्रफल
भुजा = a, त्रिज्या = a (चित्र के अनुसार)।
वर्ग का क्षेत्रफल = a²। दो चतुर्थांश मिलकर एक अर्धवृत्त बनाते हैं।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2)πa²।
छायांकित क्षेत्र = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल - वर्ग का क्षेत्रफल = (1/2)πa² - a² = a²(π/2 - 1)।
9. एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप उसके क्षेत्रफल का √3 गुना है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा ज्ञात कीजिए?
हल:
माना भुजा 'a' है। परिमाप = 3a। क्षेत्रफल = (√3/4)a²।
3a = √3 × (√3/4)a² => 3a = (3/4)a²।
1 = a/4 => a = 4 इकाई।
10. यदि एक समबाहु त्रिभुज की भुजा में 2 इकाई की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में 3 + √3 इकाई² की वृद्धि होती है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा ज्ञात कीजिए?
हल:
नया क्षेत्रफल - पुराना क्षेत्रफल = वृद्धि
(√3/4)(a+2)² - (√3/4)a² = 3 + √3
(√3/4)[(a²+4a+4) - a²] = √3(√3+1)
(1/4)(4a+4) = √3+1 => a+1 = √3+1 => a = √3 इकाई।
11. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 इकाई है। यदि असमान भुजा की लंबाई 2 इकाई है, तो बराबर भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए?
हल:
ऊंचाई (h) = √(a² - (b/2)²) = √(a² - 1)।
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊंचाई = (1/2) × 2 × √(a²-1) = 4।
√(a²-1) = 4 => a²-1 = 16 => a² = 17 => a = √17 इकाई।
12. दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल 360 सेमी और 250 सेमी है। यदि पहले त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है, तो दूसरे त्रिभुज की भुजा ज्ञात कीजिए?
हल:
(क्षेत्रफल1 / क्षेत्रफल2) = (भुजा1 / भुजा2)²
360/250 = (8/x)² => 36/25 = 64/x² => x² = (64×25)/36 => x = (8×5)/6 = 40/6 = 20/3 = 6 2/3 सेमी।
13. ΔABC और ΔDEF समरूप हैं, और BC = 3 सेमी, EF = 4 सेमी। ΔABC का क्षेत्रफल = 54 सेमी² है तो ΔDEF का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
(क्षेत्रफल ABC / क्षेत्रफल DEF) = (BC / EF)²
54 / क्षेत्रफल(DEF) = (3/4)² = 9/16।
क्षेत्रफल(DEF) = (54 × 16) / 9 = 6 × 16 = 96 सेमी²।
14. दो समरूप त्रिभुजों ABC और DEF का क्षेत्रफल 20 सेमी² और 45 सेमी² है। यदि AB = 5 सेमी, तो DE का मान ज्ञात कीजिए?
हल:
20 / 45 = (5 / DE)² => 4/9 = (5/DE)² => 2/3 = 5/DE => DE = 15/2 = 7.5 सेमी।
15. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 544 सेमी है और प्रत्येक बराबर भुजा आधार का 5/6 है। त्रिभुज का क्षेत्रफल (सेमी में) ज्ञात कीजिए?
हल:
माना आधार b है, बराबर भुजा a = (5/6)b। परिमाप = 2a+b = 2(5/6)b+b = (5/3)b+b = (8/3)b = 544।
b = (544×3)/8 = 204. a = (5/6)×204 = 170।
ऊंचाई h = √(170² - (204/2)²) = √(170² - 102²) = 136।
क्षेत्रफल = (1/2)×204×136 = 13872 सेमी²।
16. एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर, ऊंचाई 8 सेमी और परिमाप 64 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल (सेमी² में) ज्ञात कीजिए?
हल:
परिमाप = 2a+b = 64। a² = h²+(b/2)² = 8²+(b/2)² = 64+b²/4।
a = (64-b)/2। [(64-b)/2]² = 64+b²/4 => (64-b)² = 256+b² => 4096-128b+b²=256+b²।
128b=3840 => b=30। क्षेत्रफल = (1/2)×30×8 = 120 सेमी²।
17. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल a और ऊंचाई b है। b²/a का मान ज्ञात कीजिए?
हल:
b=(√3/2)s, a=(√3/4)s²। b²=(3/4)s²।
b²/a = [(3/4)s²] / [(√3/4)s²] = 3/√3 = √3।
18. ΔABC एक समकोण त्रिभुज है। B समकोण पर है। BC और AC के मध्य बिंदु B' और A' हैं। ΔA'B'C का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
मध्य-बिंदु प्रमेय से, ΔA'B'C, ΔABC के समरूप है और इसकी भुजाएँ ΔABC की आधी हैं।
क्षेत्रफलों का अनुपात भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है: (1/2)² = 1/4।
अतः, क्षेत्रफल(ΔA'B'C) = (1/4) × क्षेत्रफल(ABC)।
19. एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ a और b समकोण पर हैं और समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया लंब p है। p² का मान ज्ञात कीजिए?
हल:
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)ab।
कर्ण (c) = √(a² + b²)।
क्षेत्रफल को कर्ण को आधार मानकर भी लिख सकते हैं: क्षेत्रफल = (1/2)cp।
तो, (1/2)ab = (1/2)p√(a²+b²) => ab = p√(a²+b²)।
दोनों तरफ वर्ग करने पर: a²b² = p²(a² + b²) => p² = a²b² / (a² + b²)।
20. दो त्रिभुजों के आधार x : y के अनुपात में हैं और उनके क्षेत्रफल a : b के अनुपात में हैं। उनकी पारस्परिक ऊंचाइयों का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊंचाई।
a / b = [(1/2)x h₁] / [(1/2)y h₂] = (x h₁) / (y h₂)।
h₁/h₂ = (a/b) × (y/x) = ay/bx।
अतः, ऊंचाइयों का अनुपात = ay : bx।
21. एक वर्ग ABCD के कर्ण AC की लंबाई 5.2 सेमी है। वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण)² / 2
क्षेत्रफल = (5.2)² / 2 = 27.04 / 2 = 13.52 वर्ग सेमी।
22. A एक आयताकार मैदान को उसके विकर्ण के अनुदिश 52 मी/मिनट की गति से 15 सेकंड में पार करता है और B उसी मैदान को उसकी भुजाओं के अनुदिश 68 मी/मिनट की गति से उतने ही समय में पार करता है। मैदान का क्षेत्रफल क्या है?
हल:
विकर्ण की लंबाई = गति × समय = 52 × (15/60) = 13 मीटर।
भुजाओं का योग (l+b) = गति × समय = 68 × (15/60) = 17 मीटर।
हम जानते हैं l²+b² = विकर्ण² = 13² = 169।
(l+b)² = l²+b²+2lb => 17² = 169+2lb => 289-169=2lb => lb=60।
क्षेत्रफल (lb) = 60 मी²।
23. पाँच वर्गों का परिमाप 24 सेमी, 32 सेमी, 40 सेमी, 76 सेमी और 80 सेमी है। एक ऐसे वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल उपरोक्त वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?
हल:
भुजाएँ = 24/4=6, 32/4=8, 40/4=10, 76/4=19, 80/4=20।
क्षेत्रफलों का योग = 6²+8²+10²+19²+20² = 36+64+100+361+400 = 961 सेमी²।
नए वर्ग का क्षेत्रफल = 961 => नए वर्ग की भुजा = √961 = 31 सेमी।
नए वर्ग का परिमाप = 4 × 31 = 124 सेमी।
24. 200 मी × 180 मी आकार के एक आयताकार मैदान के चारों ओर 10 मी चौड़ा एक रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
बाहरी आयत की लंबाई = 200 + 2(10) = 220 मी।
बाहरी आयत की चौड़ाई = 180 + 2(10) = 200 मी।
रास्ते का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल - भीतरी क्षेत्रफल = (220×200) - (200×180) = 44000 - 36000 = 8000 मी²।
25. एक वर्ग और एक आयत का परिमाप समान है। उनके द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल P और Q के बीच संबंध स्थापित करें?
हल:
समान परिमाप के लिए, वर्ग का क्षेत्रफल (P) हमेशा आयत के क्षेत्रफल (Q) से बड़ा होता है। अतः, P > Q।
26. एक वर्गाकार पतंग का विकर्ण 32 सेमी है और इसके एक कोने पर 8 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। पतंग बनाने के लिए कितने कागज की आवश्यकता होगी? (√3 = 1.732 लें)
हल:
वर्ग का क्षेत्रफल = (1/2) × विकर्ण² = (1/2) × 32² = 512 सेमी²।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × 8² = 16√3 = 16 × 1.732 = 27.712 सेमी²।
कुल क्षेत्रफल = 512 + 27.712 = 539.712 सेमी²।
27. एक आयत का क्षेत्रफल एक वर्ग के क्षेत्रफल का तीन गुना है। आयत की लंबाई 20 सेमी है और चौड़ाई वर्ग की भुजा की 3/2 गुनी है। वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए?
हल:
माना वर्ग की भुजा 's' है।
आयत की चौड़ाई (b) = (3/2)s। आयत की लंबाई (l) = 20 सेमी।
प्रश्न के अनुसार: आयत का क्षेत्रफल = 3 × वर्ग का क्षेत्रफल
l × b = 3 × s²
20 × (3/2)s = 3s²
30s = 3s²
s = 10 सेमी।
28. एक आयताकार इमारत की चौड़ाई उसकी लंबाई की तीन-चौथाई है। यदि फर्श का क्षेत्रफल 768 मी² है, तो इमारत की लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए?
हल:
माना लंबाई l है, तो चौड़ाई b = (3/4)l।
क्षेत्रफल = l × b = l × (3/4)l = (3/4)l² = 768।
l² = (768 × 4) / 3 = 256 × 4 = 1024।
l = √1024 = 32 मीटर।
b = (3/4) × 32 = 24 मीटर।
अंतर = l - b = 32 - 24 = 8 मीटर।
29. एक वर्गाकार खेत को 135 रुपये प्रति हेक्टेयर की दर से जोतने की लागत 1,215 रुपये है। 75 पैसे प्रति मीटर की दर से इसकी बाड़ लगाने की लागत क्या होगी?
हल:
खेत का क्षेत्रफल (हेक्टेयर में) = कुल लागत / दर = 1215 / 135 = 9 हेक्टेयर।
क्षेत्रफल (मी² में) = 9 × 10000 = 90000 मी²।
वर्ग की भुजा = √क्षेत्रफल = √90000 = 300 मीटर।
परिमाप = 4 × भुजा = 4 × 300 = 1200 मीटर।
बाड़ लगाने की लागत = 1200 × 0.75 = 900 रुपये।
30. एक वर्ग का क्षेत्रफल 200 मी² है। एक नया वर्ग इस प्रकार खींचा जाता है कि उसके विकर्ण की लंबाई पहले वर्ग के विकर्ण की लंबाई की दोगुनी हो। नए वर्ग का क्षेत्रफल क्या है?
हल:
पहले वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण₁)² / 2 = 200 => विकर्ण₁² = 400।
नए वर्ग का विकर्ण₂ = √2 × विकर्ण₁।
विकर्ण₂² = 2 × विकर्ण₁² = 2 × 400 = 800।
नए वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण₂)² / 2 = 800 / 2 = 400 मी²।
(नोट: यदि प्रश्न के अनुसार विकर्ण की लंबाई दोगुनी है, तो नया क्षेत्रफल 4 गुना होगा: 4 × 200 = 800 मी²।)
31. वर्ग A का विकर्ण (a + b) है। वर्ग B का विकर्ण क्या होगा जिसका क्षेत्रफल A के क्षेत्रफल का दोगुना है?
हल:
क्षेत्रफल(A) = (a+b)² / 2।
क्षेत्रफल(B) = 2 × क्षेत्रफल(A) = (a+b)²।
क्षेत्रफल(B) = (विकर्ण_B)² / 2 => (a+b)² = (विकर्ण_B)² / 2।
विकर्ण_B² = 2(a+b)² => विकर्ण_B = √2(a+b)।
32. दो वर्गाकार खेतों में से एक का क्षेत्रफल एक हेक्टेयर है और दूसरा खेत पहले खेत से 1% चौड़ा है। उनके क्षेत्रफलों में क्या अंतर है?
हल:
पहले खेत का क्षेत्रफल = 1 हेक्टेयर = 10000 मी²। भुजा₁ = 100 मी।
दूसरे खेत की भुजा₂ = 100 × 1.01 = 101 मी।
दूसरे खेत का क्षेत्रफल = 101² = 10201 मी²।
अंतर = 10201 - 10000 = 201 मी²।
33. एक वर्ग की दो सम्मुख भुजाओं में से प्रत्येक में 4 सेमी की वृद्धि और अन्य दो भुजाओं में से प्रत्येक में 4 सेमी की कमी करने पर, हमें 84 सेमी² का एक आयत मिलता है। मूल वर्ग का परिमाप क्या होगा?
हल:
माना वर्ग की भुजा 's' है। आयत की भुजाएँ (s+4) और (s-4) हैं।
आयत का क्षेत्रफल = (s+4)(s-4) = s² - 16 = 84।
s² = 100 => s = 10 सेमी।
वर्ग का परिमाप = 4s = 4 × 12 = 48 सेमी। )
34. एक वर्ग का क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण क्रमशः a, b, c हैं। तदनुसार (bc)/a का मान क्या होगा?
हल:
माना भुजा s है। a=s², b=4s, c=s√2।
(bc)/a = (4s × s√2) / s² = 4√2।
35. एक वर्ग और एक आयत का परिमाप बराबर है। यदि आयत की लंबाई 48 सेमी है और आयत की चौड़ाई उसकी लंबाई की एक-तिहाई है, तो वर्ग का क्षेत्रफल है:
हल:
आयत की चौड़ाई = 48/3 = 16 सेमी।
परिमाप = 2(48+16) = 128 सेमी।
वर्ग का परिमाप = 4s = 128 => s = 32 सेमी।
वर्ग का क्षेत्रफल = s² = 32² = 1024 सेमी²।
36. एक आयताकार मैदान की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7:4 है। इसके चारों ओर बाहर की ओर बनाया गया 4 मीटर चौड़ा एक रास्ता 416 मी² क्षेत्रफल का है। तदनुसार, उस मैदान की चौड़ाई कितने मीटर है?
हल:
रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(l+b+2w) = 2(4)(7x+4x+8) = 8(11x+8) = 416।
11x+8 = 52 => 11x=44 => x=4।
चौड़ाई = 4x = 16 मीटर।
37. समान परिमाप के एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्रफल क्रमशः S और R द्वारा दर्शाए जाते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
हल:
दिए गए परिमाप के लिए, वर्ग का क्षेत्रफल (S) हमेशा किसी भी आयत के क्षेत्रफल (R) से बड़ा होता है।
38. एक वर्ग और एक आयत का क्षेत्रफल बराबर है। यदि उनके परिमाप क्रमशः p₁ और p₂ हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही होगा?
हल:
दिए गए क्षेत्रफल के लिए, वर्ग का परिमाप (p₁) हमेशा किसी भी आयत के परिमाप (p₂) से छोटा होता है।
39. एक वर्ग और एक आयत का क्षेत्रफल बराबर है। आयत की लंबाई वर्ग की किसी भी भुजा की लंबाई से 5 सेमी अधिक है और उसकी चौड़ाई वर्ग की भुजा से 3 सेमी कम है। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
s² = (s+5)(s-3) = s²+2s-15 => 2s=15 => s=7.5।
l=12.5, b=4.5। परिमाप = 2(12.5+4.5) = 2(17) = 34 सेमी।
40. एक कमरे की लंबाई कमरे की चौड़ाई की 4/3 गुनी है। कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल फर्श के क्षेत्रफल का 28/15 गुना है। तो कमरे की ऊंचाई और लंबाई का अनुपात है:
हल:
l = (4/3)w। चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l+w)। फर्श का क्षेत्रफल = lw।
2h(4/3w + w) = (28/15)(4/3w²) => 2h(7/3w) = (112/45)w²।
14h/3 = 112w/45 => h/w = (112/45) × (3/14) = 8/15।
h/l = (h/w) × (w/l) = (8/15) × (3/4) = 2/5। ()
41. एक आयताकार सर्किट बोर्ड की चौड़ाई w सेमी, परिमाप p सेमी और क्षेत्रफल k वर्ग सेमी है। तदनुसार, इसके लिए निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण सही है?
हल:
p=2(l+w) => l = p/2 - w। k=lw = (p/2-w)w = pw/2 - w²।
2k = pw - 2w² => 2w² - pw + 2k = 0।
42. 8 मीटर लंबे और 6 मीटर चौड़े फर्श को 4 डेसीमीटर भुजा वाली वर्गाकार टाइलों से ढकने के लिए कितनी वर्गाकार टाइलों की आवश्यकता होगी?
हल:
फर्श का क्षेत्रफल = 80 × 60 = 4800 डेसीमीटर²।
टाइल का क्षेत्रफल = 4² = 16 डेसीमीटर²।
टाइलों की संख्या = 4800 / 16 = 300।
49. एक वृत्त की परिधि में 50% की कमी की जाती है। इसके क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी ज्ञात कीजिए?
हल:
परिधि में 50% की कमी का मतलब है कि त्रिज्या में भी 50% की कमी हुई है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र: A + B + (AB/100)
यहाँ A = -50% और B = -50%।
परिवर्तन = -50 - 50 + ((-50)(-50)/100) = -100 + 25 = -75%।
अतः, क्षेत्रफल में 75% की कमी होगी।
50. यदि एक वर्ग की भुजा में 25% की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए?
हल:
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = A + B + (AB/100)
यहाँ A = +25% और B = +25%।
वृद्धि = 25 + 25 + (25 × 25 / 100) = 50 + 6.25 = 56.25%।
51. एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं में 20%, 30% और 50% की वृद्धि की गई। अतः, त्रिभुज के परिमाप में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए?
हल:
माना प्रारंभिक भुजाएँ 100, 100, 100 हैं। प्रारंभिक परिमाप = 300।
नई भुजाएँ = 120, 130, 150। नया परिमाप = 120 + 130 + 150 = 400।
परिमाप में वृद्धि = 400 - 300 = 100।
प्रतिशत वृद्धि = (100 / 300) × 100 = 100/3 %।
52. यदि एक आयताकार पार्क की लंबाई में 5% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी की जाती है, तो क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए?
हल:
प्रतिशत परिवर्तन = A + B + (AB/100)
यहाँ A = +5% और B = -10%।
परिवर्तन = 5 - 10 + (5 × -10 / 100) = -5 - 0.5 = -5.5%।
अतः, क्षेत्रफल में 5.5% की कमी होगी।
53. एक समचतुर्भुज के विकर्ण क्रमशः 32 सेमी और 24 सेमी हैं, तो समचतुर्भुज का परिमाप है?
हल:
समचतुर्भुज की भुजा (s) = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²]।
s = √[(32/2)² + (24/2)²] = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20 सेमी।
परिमाप = 4 × s = 4 × 20 = 80 सेमी।
54. दो वृत्तों की इकाई लंबाई के चाप केंद्र पर 60° और 75° का कोण बनाते हैं। त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
चाप की लंबाई (L) = (θ/360) × 2πr। यहाँ L₁ = L₂।
(60/360) × 2πr₁ = (75/360) × 2πr₂
60r₁ = 75r₂ => r₁/r₂ = 75/60 = 5/4।
अनुपात = 5 : 4।
55. एक समलंब (ट्रेपेज़ियम) की समानांतर भुजाओं का अनुपात 3:2 है। उनके बीच की दूरी 15 सेमी है। यदि समलंब का क्षेत्रफल 450 सेमी² है, तो समानांतर भुजाओं का योग ज्ञात कीजिए?
हल:
क्षेत्रफल = (1/2) × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई।
450 = (1/2) × (योग) × 15।
योग = (450 × 2) / 15 = 60 सेमी।
56. एक समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई 15 सेमी और 7 सेमी है। यदि एक विकर्ण की लंबाई 20 सेमी है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित करता है जिनकी भुजाएँ 15, 7 और 20 हैं।
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र): s = (15+7+20)/2 = 21।
क्षेत्रफल = √[21(21-15)(21-7)(21-20)] = √[21×6×14×1] = 42 सेमी²।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 2 × 42 = 84 सेमी²।
57. एक वृत्ताकार स्विमिंग पूल 4 मीटर चौड़ी दीवार से घिरा है। यदि दीवार का क्षेत्रफल स्विमिंग पूल के क्षेत्रफल का 11/25 है, तो स्विमिंग पूल की त्रिज्या (मीटर में) ज्ञात कीजिए?
हल:
माना पूल की त्रिज्या r है। बाहरी त्रिज्या R = r+4।
दीवार का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π((r+4)² - r²) = π(8r + 16)।
पूल का क्षेत्रफल = πr²।
π(8r + 16) = (11/25)πr² => 8(r+2) = 11r²/25।
200(r+2) = 11r² => 11r² - 200r - 400 = 0।
हल करने पर r = 20 मीटर।
58. एक समांतर चतुर्भुज की असमान भुजाएँ 15 सेमी और 18 सेमी हैं। यदि छोटी भुजाओं के बीच की दूरी 12 सेमी है, तो लंबी भुजाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए?
हल:
क्षेत्रफल = आधार₁ × ऊंचाई₁ = आधार₂ × ऊंचाई₂।
15 × 12 = 18 × h₂
h₂ = (15 × 12) / 18 = 10 सेमी।
59. एक खेत की भुजाएँ 32 मीटर और 24 मीटर हैं और वे ठीक समकोण पर हैं। अन्य दो भुजाएँ प्रत्येक 25 मीटर हैं। खेत का क्षेत्रफल मीटर² में ज्ञात कीजिए?
हल:
यह चतुर्भुज दो त्रिभुजों से बना है। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)×32×24 = 384 मी²।
विकर्ण = √(32²+24²) = 40 मी।
दूसरे त्रिभुज (भुजाएँ 25, 25, 40) का क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र): s=45. क्षेत्रफल=√[45(5)(5)(5)] = 300 मी²।
कुल क्षेत्रफल = 384 + 300 = 684 मी²।
60. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 256 वर्ग सेमी है और इसका एक विकर्ण दूसरे की लंबाई का दोगुना है, तो इसके बड़े विकर्ण की लंबाई क्या है?
हल:
माना विकर्ण d और 2d हैं।
क्षेत्रफल = (1/2) × d₁ × d₂ = (1/2) × d × 2d = d² = 256।
d = √256 = 16 सेमी।
बड़ा विकर्ण = 2d = 2 × 16 = 32 सेमी।
61. एक इंजन के अगले पहिये का व्यास 2x सेमी और पिछले पहिये का 2y सेमी है। यदि एक दूरी तय करने के लिए अगला पहिया 'n' बार घूमता है, तो उसी दूरी को तय करने के लिए पिछला पहिया कितनी बार घूमेगा?
हल:
तय की गई दूरी = n × (अगले पहिये की परिधि) = n × π(2x)।
पिछले पहिये के चक्कर = दूरी / (पिछले पहिये की परिधि) = (n × 2πx) / (2πy) = nx/y बार।
62. एक कमरे का फर्श 100 मीटर लंबा और 3 मीटर चौड़ा है। 50 सेमी चौड़े कालीन से फर्श को ढकने की लागत ज्ञात कीजिए, जब कालीन की कीमत 15 रुपये प्रति मीटर है?
हल:
फर्श का क्षेत्रफल = 100 × 3 = 300 मी²।
कालीन की आवश्यक लंबाई = फर्श का क्षेत्रफल / कालीन की चौड़ाई = 300 / 0.5 = 600 मीटर।
लागत = 600 मीटर × 15 रुपये/मीटर = 9000 रुपये।
63. 2 इकाई त्रिज्या वाले दो वृत्त जिनके केंद्र A और B हैं, बाह्य रूप से बिंदु 'C' पर स्पर्श करते हैं। केंद्र 'C' और '2' इकाई त्रिज्या वाला एक तीसरा वृत्त दोनों वृत्तों को बिंदु D और E पर स्पर्श करता है। चतुर्भुज ABDE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
चतुर्भुज ABDE दो समरूप समलंबों (trapeziums) से बना है, ACDE और BCDE।
प्रत्येक समलंब का क्षेत्रफल = (1/2) × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई।
इस ज्यामितीय व्यवस्था को हल करने पर, चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल 3√3 वर्ग इकाई आता है।
64. ΔABC में, D और E भुजाओं AB और BC पर दो बिंदु इस प्रकार हैं कि DE||AC और AD : BD = 3 : 2 है। समलंब ACED और ΔBED के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
चूंकि DE || AC, ΔBED ~ ΔBAC।
उनकी भुजाओं का अनुपात = BD/BA = 2/(3+2) = 2/5।
उनके क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजा का अनुपात)² = (2/5)² = 4/25।
माना क्षेत्रफल(ΔBED) = 4k, तो क्षेत्रफल(ΔBAC) = 25k।
समलंब ACED का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(ΔBAC) - क्षेत्रफल(ΔBED) = 25k - 4k = 21k।
अभीष्ट अनुपात = क्षेत्रफल(ACED) : क्षेत्रफल(ΔBED) = 21k : 4k = 21 : 4।
66. एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच का अंतर 30 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए?
हल:
परिधि - व्यास = 30
2πr - 2r = 30
2r(π - 1) = 30
2r(22/7 - 1) = 30 => 2r(15/7) = 30 => r = 7 सेमी।
67. उस पहिये का व्यास ज्ञात कीजिए जो 2 किमी 26 डेसीमीटर की दूरी तय करने में 113 चक्कर लगाता है?
हल:
कुल दूरी = 2000 मी + 2.6 मी = 2002.6 मी। (1 डेसीमीटर = 0.1 मीटर)
एक चक्कर में तय दूरी (परिधि) = कुल दूरी / चक्करों की संख्या = 2026 / 113 = 17.929 मीटर (लगभग)।
πd = 17.929 => d = 17.929 / (22/7) ≈ 5.7 मीटर।
2 किमी 260 डेसीमीटर = 2260 मी मानकर हल करने पर: परिधि=20मी, व्यास=6.36मी आता है)
68. एक पहिया खिलौने का व्यास 14 सेमी है। 15 चक्करों में उसके द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए?
हल:
परिधि = πd = (22/7) × 14 = 44 सेमी।
कुल दूरी = परिधि × चक्कर = 44 × 15 = 660 सेमी।
69. एक पहिये का व्यास 3 मीटर है, यह पहिया 1 मिनट में 28 चक्कर लगाता है, 5.280 किमी की दूरी तय करने में पहिया कितना समय लेगा?
हल:
परिधि = πd = (22/7) × 3 मीटर।
कुल दूरी = 5280 मीटर।
कुल चक्कर = कुल दूरी / परिधि = 5280 / ((22/7)×3) = 560 चक्कर।
लगा समय = कुल चक्कर / (चक्कर/मिनट) = 560 / 28 = 20 मिनट।
70. दो संकेंद्रित वृत्तों द्वारा घिरे वलय (ring) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी परिधि 88 सेमी और 132 सेमी है।
हल:
2πR = 132 => R=21 सेमी। 2πr = 88 => r=14 सेमी।
वलय का क्षेत्रफल = π(R²-r²) = (22/7)(21²-14²) = (22/7)(21-14)(21+14) = (22/7)×7×35 = 770 सेमी²।
71. एक वृत्ताकार पार्क के चारों ओर एक समान चौड़ाई का एक रास्ता बनाया गया है, इस वृत्ताकार पथ की आंतरिक और बाहरी परिधि के बीच का अंतर 132 मीटर है। पथ की चौड़ाई क्या है?
हल:
2πR - 2πr = 132 => 2π(R-r) = 132।
चौड़ाई (R-r) = 132 / (2 × 22/7) = 21 मीटर।
72. A 40 मिनट में एक वृत्ताकार पथ के 8 चक्कर लगाता है। यदि वृत्त का व्यास मूल व्यास से 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो A को नए वृत्ताकार पथ का एक चक्कर पूरा करने में कितना समय लगेगा, जबकि गति समान रहती है?
हल:
1 चक्कर का समय = 40/8 = 5 मिनट।
जब व्यास 10 गुना बढ़ता है, तो परिधि भी 10 गुना बढ़ती है।
समान गति से, नए पथ का एक चक्कर लगाने में समय भी 10 गुना लगेगा।
नया समय = 5 मिनट × 10 = 50 मिनट।
73. एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच का अंतर X इकाई है। वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए?
हल:
πd - d = X => d(π - 1) = X => d = X/(π-1)।
74. एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच का अंतर 150 मीटर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए?
हल:
2πr - 2r = 150 => 2r(π-1) = 150।
2r(15/7) = 150 => r = (150×7)/(2×15) = 35 मीटर।
75. 1 सेमी त्रिज्या वाले 3 बराबर सिक्के एक मेज पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हुए रखे गए हैं। सिक्के द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
यह प्रश्न संख्या 4 के समान है। त्रिभुज की भुजा = 2 सेमी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)×2² = √3।
त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = (1/2)πr² = (1/2)π(1)² = π/2।
घिरा हुआ क्षेत्रफल = √3 - π/2 सेमी²।
76. 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में खुदे वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होगा।
विकर्ण = 2 × त्रिज्या = 2 × 8 = 16 सेमी।
वर्ग का क्षेत्रफल = (विकर्ण)² / 2 = 16² / 2 = 256 / 2 = 128 वर्ग सेमी।
77. एक वृत्त में खुदे वर्ग की भुजा a√2 इकाई है। वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए?
हल:
वर्ग का विकर्ण = भुजा × √2 = (a√2) × √2 = 2a।
वृत्त का व्यास = वर्ग का विकर्ण = 2a।
वृत्त की परिधि = π × व्यास = π(2a) = 2πa इकाई।
78. एक बड़ी दीवार घड़ी की मिनट की सुई 35 सेमी लंबी है। तदनुसार, 18 सेकंड में उस सुई की गति से शुरू से अंत तक बने चाप की लंबाई क्या होगी?
हल:
1 मिनट (60 सेकंड) में मिनट की सुई 360° घूमती है।
1 सेकंड में कोण = 360/60 = 6°। 18 सेकंड में कोण (θ) = 18×6 = 108° (यह मिनट की सुई नहीं सेकंड की सुई होनी चाहिए)
यदि मिनट की सुई है: 60 मिनट में 360°, तो 1 मिनट में 6°। 18 सेकंड (=0.3 मिनट) में कोण = 0.3×6 = 1.8°।
चाप की लंबाई = (θ/360)×2πr = (1.8/360)×2×(22/7)×35 = 1.1 सेमी।
79. एक घोड़ा एक खंभे से रस्सी से बंधा है। यदि घोड़ा हमेशा रस्सी को खींचकर गोल-गोल घूमता है और केंद्र पर 72° का कोण बनाने पर 88 मीटर की दूरी तय करता है, तो रस्सी की लंबाई क्या है?
हल:
चाप की लंबाई = 88 मीटर, कोण (θ) = 72°। रस्सी की लंबाई = त्रिज्या (r)।
88 = (72/360) × 2 × (22/7) × r
88 = (1/5) × (44/7) × r => r = (88 × 5 × 7) / 44 = 70 मीटर।
80. यदि एक अर्धवृत्त का परिमाप 36 सेमी है, तो इसका व्यास है:
हल:
अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r = r(π + 2)।
r(22/7 + 2) = r(36/7) = 36 => r = 7 सेमी।
व्यास = 2r = 14 सेमी।
81. दो वृत्तों के व्यास एक वर्ग की भुजाएँ और वर्ग का विकर्ण हैं। छोटे वृत्त और बड़े वृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?
हल:
माना वर्ग की भुजा 's' है। छोटे वृत्त का व्यास = s। बड़े वृत्त का व्यास = s√2।
त्रिज्याओं का अनुपात = s/2 : s√2/2 = 1 : √2।
क्षेत्रफलों का अनुपात = (त्रिज्याओं का अनुपात)² = (1)² : (√2)² = 1 : 2।
83. एक वृत्ताकार मैदान में 180 मीटर लंबा और 120 मीटर चौड़ा एक आयताकार टैंक है। यदि मैदान का क्षेत्रफल (टैंक को छोड़कर) 40,000 वर्ग मीटर है, तो वृत्ताकार मैदान का अर्ध-व्यास क्या है?
हल:
टैंक का क्षेत्रफल = 180 × 120 = 21600 मी²।
वृत्ताकार मैदान का कुल क्षेत्रफल = 40000 + 21600 = 61600 मी²।
πr² = 61600 => (22/7)r² = 61600 => r² = (61600×7)/22 = 19600।
r = √19600 = 140 मीटर।
84. ABC 2 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। A, B, C को केंद्र मानकर, 1 सेमी त्रिज्या से तीन चाप खींचे जाते हैं। तीनों चापों से घिरे त्रिभुज के आंतरिक भाग का क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
यह प्रश्न संख्या 4 और 75 के समान है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)×2² = √3।
त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = (1/2)πr² = π/2।
घिरा हुआ क्षेत्रफल = (√3 - π/2) सेमी²।
85. a, b, c त्रिज्या वाले तीन वृत्त बाह्य रूप से एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
हल:
त्रिभुज की भुजाएँ a+b, b+c, c+a हैं।
अर्ध-परिमाप (s) = (a+b+b+c+c+a)/2 = a+b+c।
क्षेत्रफल (हीरोन का सूत्र) = √[s(s-(a+b))(s-(b+c))(s-(c+a))]
= √[(a+b+c)(c)(a)(b)] = √(a+b+c)abc।
86. एक आयत ABCD की भुजा AB को x, y, z बिंदुओं द्वारा चार बराबर भागों में बांटा गया है, तो Δxyc का क्षेत्रफल / आयत ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
माना आयत की लंबाई l और चौड़ाई b है। AB = l, BC = b।
त्रिभुज xyc का आधार xy = l/4।
त्रिभुज xyc की ऊंचाई आयत की चौड़ाई के बराबर है = b।
क्षेत्रफल(Δxyc) = (1/2) × आधार × ऊंचाई = (1/2) × (l/4) × b = lb/8।
क्षेत्रफल(ABCD) = lb।
अनुपात = (lb/8) / lb = 1/8।
87. वृत्त A की त्रिज्या वृत्त B की त्रिज्या की दोगुनी है। वृत्त B की त्रिज्या वृत्त C की त्रिज्या की दोगुनी है। A, B, C के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
माना C की त्रिज्या r है। तो B की त्रिज्या 2r और A की त्रिज्या 4r है।
क्षेत्रफलों का अनुपात = π(4r)² : π(2r)² : πr²
= 16πr² : 4πr² : πr² = 16 : 4 : 1।
88. यदि एक वृत्त की त्रिज्या में 1 सेमी की वृद्धि की जाती है, तो इसका क्षेत्रफल 22 सेमी² बढ़ जाता है। वृत्त की मूल त्रिज्या ज्ञात कीजिए?
हल:
नया क्षेत्रफल - पुराना क्षेत्रफल = वृद्धि
π(r+1)² - πr² = 22
π(r² + 2r + 1 - r²) = 22
(22/7)(2r + 1) = 22 => 2r + 1 = 7 => 2r = 6 => r = 3 सेमी।
89. जब एक तार को एक वर्ग के रूप में मोड़ा जाता है, तो उसके द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल 484 सेमी² होता है। यदि इस तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाए तो तार द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
वर्ग की भुजा = √484 = 22 सेमी।
तार की लंबाई (परिमाप) = 4 × 22 = 88 सेमी।
वृत्त की परिधि = 2πr = 88 => r = 88 / (2 × 22/7) = 14 सेमी।
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14² = 616 सेमी²।
90. कागज की एक वर्गाकार शीट से जिसका क्षेत्रफल 784 वर्ग मीटर है, अधिकतम आकार की चार समान वृत्ताकार प्लेटें काटी जाती हैं। प्रत्येक प्लेट का परिमाप क्या है?
हल:
वर्ग की भुजा = √784 = 28 मीटर।
प्रत्येक प्लेट का व्यास = वर्ग की भुजा / 2 = 28 / 2 = 14 सेमी।
प्रत्येक प्लेट का परिमाप = πd = (22/7) × 14 = 44 सेमी।
91. एक वृत्त की परिधि 11 सेमी है और एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। त्रिज्या खंड (त्रिज्यखंड) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
हल:
2πr = 11 => r = 11 / (2 × 22/7) = 7/4 सेमी।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (60/360) × (22/7) × (7/4)²
= (1/6) × (22/7) × (49/16) = 77/48 सेमी² ≈ 1.6 सेमी²।
92. 10 सेमी व्यास वाले 3 वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं और एक इलास्टिक बैंड द्वारा बंधे होते हैं। रबर की लंबाई ज्ञात कीजिए?
हल:
त्रिज्या (r) = 10/2 = 5 सेमी।
बैंड की लंबाई में तीन सीधी भुजाएँ (प्रत्येक 2r = 10 सेमी) और तीन 120° के चाप (arc) होते हैं जो मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
कुल लंबाई = (3 × 2r) + (2πr) = (3 × 10) + (2 × π × 5) = 30 + 10π सेमी।
92. 10 सेमी व्यास वाले 3 वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं और एक इलास्टिक बैंड द्वारा बंधे होते हैं। रबर की लंबाई ज्ञात कीजिए?
हल:
त्रिज्या (r) = 10/2 = 5 सेमी।
बैंड की लंबाई में तीन सीधी भुजाएँ (प्रत्येक 2r=10 सेमी) और तीन 120° के चाप (arc) होते हैं जो मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
कुल लंबाई = (3 × 2r) + (2πr) = (3 × 10) + (2 × π × 5) = 30 + 10π सेमी।
93. एक वर्ग का विकर्ण 12√2 सेमी है। इसके अंदर एक वृत्त स्थित है। इस वृत्त के अंदर एक समबाहु त्रिभुज स्थित है। त्रिभुज की भुजा ज्ञात कीजिए?
हल:
वर्ग का विकर्ण = भुजा × √2 => 12√2 = भुजा × √2 => वर्ग की भुजा = 12 सेमी।
वर्ग के अंदर बने वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है, इसलिए वृत्त का व्यास = 12 सेमी।
वृत्त की त्रिज्या (r) = 12 / 2 = 6 सेमी।
वृत्त के अंदर बने समबाहु त्रिभुज की भुजा = r√3 = 6√3 सेमी।
94. 352 सेमी परिधि वाली एक वृत्ताकार शीट से, दो समान वृत्ताकार प्लेटें, जो बड़ी से बड़ी हों, काटी जाती हैं। तो प्रत्येक प्लेट की परिधि ज्ञात कीजिए?
हल:
बड़ी वृत्ताकार शीट की परिधि = 2πR = 352 => R = 352 / (2 × 22/7) = 56 सेमी।
बड़ी शीट का व्यास = 2R = 112 सेमी।
जब दो सबसे बड़ी समान प्लेटें काटी जाती हैं, तो प्रत्येक प्लेट का व्यास बड़ी शीट के व्यास का आधा होगा।
प्रत्येक छोटी प्लेट का व्यास (d) = 112 / 2 = 56 सेमी।
प्रत्येक प्लेट की परिधि = πd = (22/7) × 56 = 22 × 8 = 176 सेमी।