अध्याय: अनुपात-समानुपात और साझेदारी
सभी 79 महत्वपूर्ण MCQ प्रश्न और उनके हल
1. यदि a : b = 7 : 9 और b : c = 5 : 7 है तो a : c क्या होगा?
हल:
a/b = 7/9 और b/c = 5/7
a/c = (a/b) × (b/c) = (7/9) × (5/7) = 5/9
अतः, a : c = 5 : 9
2. यदि A : B = 3 : 4, B : C = 5 : 7 और C : D = 8 : 9, तो A : D किसके बराबर है?
हल:
A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)
A/D = (3/4) × (5/7) × (8/9) = (3×5×8) / (4×7×9) = 120 / 252
120/252 को 12 से विभाजित करने पर = 10/21
अतः, A : D = 10 : 21
3. यदि a : b = 2/9 : 1/3, b : c = 2/7 : 5/14, d : c = 7/10 : 3/5 तो a : b : c : d =?
हल:
पहले अनुपातों को सरल करें:
a : b = 2/9 : 1/3 => (2/9)×9 : (1/3)×9 => 2:3
b : c = 2/7 : 5/14 => (2/7)×14 : (5/14)×14 => 4:5
d : c = 7/10 : 3/5 => (7/10)×10 : (3/5)×10 => 7:6 => c : d = 6:7
अब, a:b:c:d निकालने के लिए अनुपातों को मिलाएं:
a:b = 2:3, b:c = 4:5, c:d = 6:7
a:b:c:d = (2×4×6) : (3×4×6) : (3×5×6) : (3×5×7) = 48:72:90:105
3 से विभाजित करने पर = 16 : 24 : 30 : 35
4. तीन संख्याओं का योग 116 है। दूसरी और तीसरी संख्या का अनुपात 9:16 है (स्रोत में 9:6 दिया है) और पहली और तीसरी संख्या का अनुपात 1:4 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल:
माना संख्याएं F, S, T हैं। स्रोत के 9:6 में त्रुटि प्रतीत होती है, इसे 9:16 मानकर हल करते हैं।
S : T = 9 : 16
F : T = 1 : 4 = (1×4) : (4×4) = 4 : 16
अब, F : S : T = 4 : 9 : 16
अनुपातिक योग = 4x + 9x + 16x = 29x = 116 => x = 4
दूसरी संख्या (S) = 9x = 9 × 4 = 36
5. यदि w1 : w2 = 2 : 3, w1 : w3 = 1 : 2, तो w2 : w3 ज्ञात कीजिए?
हल:
w1 : w2 = 2 : 3
w1 : w3 = 1 : 2
w1 को बराबर करने के लिए दूसरे अनुपात को 2 से गुणा करें: w1 : w3 = 2 : 4
अब, w1:w2:w3 = 2:3:4
अतः, w2 : w3 = 3 : 4
6. यदि p : q = r : s = t : u = 2:3, तो (mp + nr + ot) : (mq + ns + ou) किसके बराबर होगा?
हल:
p/q = r/s = t/u = 2/3. माना p=2k, q=3k; r=2k, s=3k; t=2k, u=3k.
(mp + nr + ot) / (mq + ns + ou)
= (m(2k) + n(2k) + o(2k)) / (m(3k) + n(3k) + o(3k))
= 2k(m+n+o) / 3k(m+n+o) = 2/3
अतः, अनुपात 2:3 है।
7. यदि a : b = c : d = e : f = 1:2 तो (pa + qc + re) : (pb + qd + rf) किसके बराबर होगा?
हल:
a/b = c/d = e/f = 1/2. माना a=k, b=2k; c=k, d=2k; e=k, f=2k.
(pa + qc + re) / (pb + qd + rf)
= (p(k) + q(k) + r(k)) / (p(2k) + q(2k) + r(2k))
= k(p+q+r) / 2k(p+q+r) = 1/2
अतः, अनुपात 1:2 है।
8. यदि x:y = 3:1 तो (x³ - y³) : (x³ + y³) क्या होगा?
हल:
माना x = 3k, y = 1k.
(x³ - y³) / (x³ + y³) = ((3k)³ - (1k)³) / ((3k)³ + (1k)³)
= (27k³ - 1k³) / (27k³ + 1k³) = 26k³ / 28k³ = 26/28 = 13/14
अतः, अनुपात 13:14 है।
9. यदि 1/x = y/3 और 1/y = z/2 तो x:y:z किसके बराबर है?
हल:
स्रोत में समीकरण 1/x = y/3 और 1/y = z/2 के बजाय x = y/3 और y = z/2 होना चाहिए।
x = y/3 => y = 3x
y = z/2 => z = 2y
x : y = 1 : 3
y : z = 1 : 2
अनुपातों को मिलाएं: x:y:z = (1×1) : (3×1) : (3×2) = 1:3:6
10. A का 2/3 = B का 75% = C का .6। तो A:B:C ज्ञात कीजिए?
हल:
(2/3)A = (3/4)B = (3/5)C = k (माना)
A = 3k/2, B = 4k/3, C = 5k/3
A : B : C = 3k/2 : 4k/3 : 5k/3
6 से गुणा करने पर (2 और 3 का LCM): 9k : 8k : 10k => 9:8:10
11. यदि दो संख्याओं का योग उनके अंतर का तीन गुना है। तो संख्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संख्याएं x और y हैं।
x + y = 3(x - y)
x + y = 3x - 3y => 4y = 2x => x/y = 4/2 = 2/1
अतः, अनुपात 2:1 है।
12. A, B, C की आय 1:3:4 के अनुपात में है। यदि उनकी आय में क्रमशः 5%, 10% और 15% की वृद्धि की जाती है, तो बढ़ी हुई आय का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रारंभिक आय 100, 300, 400 है।
नई आय A = 100 × 1.05 = 105
नई आय B = 300 × 1.10 = 330
नई आय C = 400 × 1.15 = 460
नया अनुपात = 105 : 330 : 460. 5 से विभाजित करने पर = 21 : 66 : 92
13. 12, 21, 8 का चौथा समानुपाती क्या होगा?
हल:
12 : 21 :: 8 : x
12 × x = 21 × 8 => x = (21 × 8) / 12 = 14
14. (3 + √2) और (12 - √32) का मध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।
हल:
मध्यानुपाती = √[ (3+√2) × (12-√32) ]
= √[ (3+√2) × (12 - 4√2) ] = √[ 36 - 12√2 + 12√2 - 8 ]
= √ = √(4 × 7) = 2√7
15. 0.8 और 0.2 का तीसरा अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
तीसरा अनुपात x = b²/a = (0.2)² / 0.8 = 0.04 / 0.8 = 0.05
16. यदि 8, x और 50 एक ही अनुपात में हैं तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यह मध्यानुपाती का प्रश्न है।
x = √(8 × 50) = √400 = 20
17. दो संख्याओं का अनुपात 3:8 है और उनका अंतर 115 है। छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
8x - 3x = 115 => 5x = 115 => x = 23
छोटी संख्या = 3x = 3 × 23 = 69
18. चार संख्याएँ 1:2:3:4 के अनुपात में हैं। उनका योग 16 है। तो पहली और चौथी संख्या का योग क्या होगा?
हल:
x + 2x + 3x + 4x = 16 => 10x = 16 => x = 1.6
पहली और चौथी संख्या का योग = x + 4x = 5x = 5 × 1.6 = 8
19. दो संख्याओं का गुणनफल 1575 है और उनका अनुपात 9:7 है। तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए?
हल:
(9x) × (7x) = 1575 => 63x² = 1575 => x² = 25 => x = 5
छोटी संख्या = 7x = 7 × 5 = 35
20. एक स्कूल में कुल 504 छात्र हैं। जिसमें लड़के और लड़कियों का अनुपात 13:11 है। यदि 12 और लड़कियाँ आ जाएँ, तो लड़के और लड़कियों का नया अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
लड़कों की संख्या = (13/24) × 504 = 13 × 21 = 273
लड़कियों की संख्या = (11/24) × 504 = 11 × 21 = 231
नई लड़कियों की संख्या = 231 + 12 = 243
नया अनुपात = 273 : 243. 3 से विभाजित करने पर = 91 : 81
21. एक मिश्र धातु में जस्ता और तांबा 5 : 3 के अनुपात में हैं और मिश्र धातु का वजन 200 ग्राम है। अनुपात को 3 : 5 बनाने के लिए कितने ग्राम तांबा और मिलाया जाना चाहिए?
हल:
प्रारंभिक जस्ता = (5/8) × 200 = 125 ग्राम
प्रारंभिक तांबा = (3/8) × 200 = 75 ग्राम
माना x ग्राम तांबा मिलाया गया।
125 / (75 + x) = 3 / 5
625 = 3(75 + x) = 225 + 3x
3x = 400 => x = 400/3 = 133 1/3 ग्राम
22. A और B के पास 158 रुपये प्रत्येक हैं। C के पास A और B की कुल राशि से 101 रुपये कम हैं और B के पास C से 23 रुपये अधिक हैं। तो A का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
हल:
यह प्रश्न विरोधाभासी है क्योंकि A और B के पास निश्चित राशि (158 रुपये) है, इसलिए A का हिस्सा पहले से ही ज्ञात है। यदि प्रश्न A, B, C के बीच कुल राशि को विभाजित करने का होता, तो इसे हल किया जा सकता था।
प्रश्न की भाषा के अनुसार, A का हिस्सा 158 रुपये है, जो विकल्पों में नहीं है। दिए गए हल (80 रुपये) तक पहुंचने के लिए प्रश्न की जानकारी अपर्याप्त या गलत है।
23. 94 रुपये को दो भागों में इस प्रकार बांटा गया है कि पहले का 1/5 और दूसरे का 1/8, 3 : 4 के अनुपात में हैं। पहला भाग ज्ञात कीजिए?
हल:
माना दो भाग A और B हैं। A + B = 94।
(A/5) / (B/8) = 3/4 => 8A / 5B = 3/4 => 32A = 15B => A/B = 15/32
पहला भाग (A) = (15 / (15+32)) × 94 = (15/47) × 94 = 15 × 2 = 30
24. 117 रुपये की राशि को 1/2 : 1/3 : 1/4 में विभाजित करने के बजाय, इसे 2:3:4 के अनुपात में विभाजित किया जाता है। किसके हिस्से में अधिकतम राशि आएगी और कितनी आएगी?
हल:
सही अनुपात: 1/2 : 1/3 : 1/4 = 6:4:3. C का हिस्सा = (3/13)×117 = 27 रुपये।
गलत अनुपात: 2:3:4. C का हिस्सा = (4/9)×117 = 52 रुपये।
A का लाभ: (2/9)×117 - (6/13)×117 = 26 - 54 = -28 (हानि)।
B का लाभ: (3/9)×117 - (4/13)×117 = 39 - 36 = 3 रुपये।
C का लाभ: 52 - 27 = 25 रुपये। C को सबसे अधिक 25 रुपये का लाभ हुआ।
25. 1250 रुपये की राशि को A, B, C में इस प्रकार बांटे कि A को B का 2/9 और C को A का 3/4 मिले।
हल:
A = (2/9)B => A:B = 2:9
C = (3/4)A => A:C = 4:3
A को बराबर करने पर: A:B = 4:18, A:C = 4:3. तो A:B:C = 4:18:3.
A का हिस्सा = (4/25)×1250 = 200. B का हिस्सा = (18/25)×1250 = 900. C का हिस्सा = (3/25)×1250 = 150.
26. दो संख्याओं का योग = 40. उनका अंतर = 4 तो उनका अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
x + y = 40, x - y = 4. जोड़ने पर 2x = 44 => x = 22.
y = 40 - 22 = 18.
अनुपात = 22 : 18 = 11 : 9.
27. एक व्यक्ति ने 8600 रुपये की राशि को 5 बेटों, 4 बेटियों, 2 भतीजों में बांटा। यदि प्रत्येक बेटी को प्रत्येक भतीजे से 4 गुना और प्रत्येक बेटे को प्रत्येक भतीजे से 5 गुना धन मिले, तो प्रत्येक बेटी का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
हल:
माना भतीजे (N) का हिस्सा x है. तो बेटी (D) का हिस्सा 4x और बेटे (S) का हिस्सा 5x है।
कुल राशि = 5(5x) + 4(4x) + 2(x) = 25x + 16x + 2x = 43x = 8600 => x=200.
प्रत्येक बेटी का हिस्सा = 4x = 4 × 200 = 800 रुपये।
28. A:B:C की आय 7:9:12 के अनुपात में है और उनके खर्च 8:9:15 के अनुपात में हैं। यदि A अपनी आय का 1/4 बचाता है, तो A, B और C की बचत का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
माना आय 7x, 9x, 12x और खर्च 8y, 9y, 15y है।
A की बचत = 7x - 8y = (1/4)7x => (21/4)x = 8y => x/y = 32/21.
माना x=32, y=21. बचत का अनुपात = (7x-8y) : (9x-9y) : (12x-15y)
= (7×32 - 8×21) : (9×32 - 9×21) : (12×32 - 15×21)
= (224-168) : (288-189) : (384-315) = 56 : 99 : 69.
29. दो संख्याएं 17:45 के अनुपात में हैं। छोटी संख्या का 1/3 बड़ी संख्या के 1/5 से 15 कम है। तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संख्याएं 17x और 45x हैं।
(1/5)(45x) - (1/3)(17x) = 15 => 9x - 17x/3 = 15
(27x - 17x)/3 = 15 => 10x = 45 => x = 4.5.
छोटी संख्या = 17x = 17 × 4.5 = 76.5 = 76 1/2.
30. यदि दो संख्याओं का अनुपात 4 : 5 है और उनका LCM 180 है, तो छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संख्याएं 4x और 5x हैं।
LCM(4x, 5x) = 20x = 180 => x = 9.
छोटी संख्या = 4x = 4 × 9 = 36.
31. एक फल विक्रेता बड़े, मध्यम और छोटे सेब क्रमशः 15, 10 और 5 रुपये की दर से बेचता है। कुछ सेब 3:2:5 के अनुपात में बेचे गए। तो एक सेब की औसत लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेचे गए सेबों की संख्या 3, 2, और 5 है।
कुल लागत = (3 × 15) + (2 × 10) + (5 × 5) = 45 + 20 + 25 = 90 रुपये।
कुल सेबों की संख्या = 3 + 2 + 5 = 10।
औसत लागत = कुल लागत / कुल सेब = 90 / 10 = 9 रुपये।
32. 53 रुपये को A, B, C में इस प्रकार बांटा गया है कि A को B से 7 रुपये अधिक मिलते हैं, B को C से 8 रुपये अधिक मिलते हैं। तो उनके हिस्सों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना C का हिस्सा = x. तो B का हिस्सा = x + 8, और A का हिस्सा = (x + 8) + 7 = x + 15।
A + B + C = (x + 15) + (x + 8) + x = 3x + 23 = 53।
3x = 30 => x = 10।
A = 25, B = 18, C = 10। अनुपात = 25:18:10।
33. 3000 रुपये को A, B और C में इस प्रकार बांटा गया है कि A को B और C के कुल हिस्से का 1/3 मिलता है और B को A और C के कुल हिस्से का 2/3 मिलता है। तो C का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
हल:
A = (1/3)(B+C) => A : (B+C) = 1:3. A का हिस्सा = (1/4)×3000 = 750 रुपये।
B = (2/3)(A+C). स्रोत में B को A+C का 2/3 दिया है, लेकिन गणना के लिए 2/5 होना चाहिए। (2/3 से उत्तर नहीं मिलेगा)।
B : (A+C) = 2:3. B का हिस्सा = (2/5)×3000 = 1200 रुपये।
C का हिस्सा = 3000 - (750 + 1200) = 3000 - 1950 = 1050 रुपये।
34. एक स्कूल में 1554 छात्र थे और लड़के-लड़कियों की संख्या का अनुपात 4:3 था। कुछ दिनों बाद 30 लड़कियां स्कूल में शामिल हो गईं। कुछ लड़कों ने स्कूल छोड़ दिया जिसके परिणामस्वरूप लड़के-लड़कियों का अनुपात 7:6 हो गया। स्कूल छोड़ने वाले लड़कों की संख्या क्या है?
हल:
प्रारंभिक लड़के = (4/7) × 1554 = 888। प्रारंभिक लड़कियां = (3/7) × 1554 = 666।
नई लड़कियों की संख्या = 666 + 30 = 696।
माना नए लड़कों की संख्या B है। B/696 = 7/6 => B = (7/6) × 696 = 812।
स्कूल छोड़ने वाले लड़के = 888 - 812 = 76।
35. A और B के पास 2:1 के अनुपात में धन है। यदि A, B को 2 रुपये देता है, तो राशि का अनुपात 1:1 हो जाता है। तो शुरुआत में राशि क्या थी?
हल:
माना राशि 2x और x है।
(2x - 2) / (x + 2) = 1/1 => 2x - 2 = x + 2 => x = 4।
प्रारंभिक राशि A = 2x = 8 रुपये, B = x = 4 रुपये।
36. यदि दो भाइयों की आयु का अनुपात 1:2 है और 5 साल पहले उनकी आयु का अनुपात 1:3 था, तो 5 साल बाद उनकी आयु ज्ञात कीजिए?
हल:
वर्तमान आयु x और 2x है। (x-5)/(2x-5) = 1/3 => 3x-15 = 2x-5 => x=10।
वर्तमान आयु 10 और 20 है। 5 साल बाद आयु 15 और 25 होगी।
नया अनुपात = 15:25 = 3:5।
37. दो संख्याएं 5:7 के अनुपात में हैं। यदि दोनों में से 40 घटा दिया जाए, तो उनका अनुपात 17:27 हो जाता है। तो उनका अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
(5x-40)/(7x-40) = 17/27 => 27(5x-40) = 17(7x-40) => 135x-1080 = 119x-680।
16x = 400 => x=25। अंतर = 7x-5x = 2x = 2×25=50।
38. तीन कक्षाओं में छात्रों का अनुपात 2:3:5 है। यदि प्रत्येक कक्षा में 40 छात्र बढ़ा दिए जाएं तो अनुपात 4:5:7 हो जाता है तो शुरुआत में कितने छात्र थे?
हल:
अनुपात में वृद्धि 2 (4-2, 5-3, 7-5) है। 2x = 40 => x = 20।
प्रारंभिक कुल छात्र = (2+3+5)x = 10x = 10×20 = 200।
40. A और B की मासिक आय 5:6 के अनुपात में है और उनके खर्च 3:4 के अनुपात में हैं। यदि वे क्रमशः 1800 और 1600 रुपये बचाते हैं, तो B की मासिक आय ज्ञात कीजिए।
हल:
(5x-1800)/(6x-1600) = 3/4 => 20x-7200 = 18x-4800 => 2x = 2400 => x=1200।
B की आय = 6x = 6×1200 = 7200 रुपये।
44. 6, 7, 15, 17 प्रत्येक संख्या में एक संख्या जोड़ी जानी चाहिए ताकि चारों संख्याएँ समानुपाती हो जाएँ।
हल:
माना x जोड़ा गया। (6+x)/(7+x) = (15+x)/(17+x)।
(6+x)(17+x) = (7+x)(15+x) => 102+23x+x² = 105+22x+x² => x=3।
31. एक फल विक्रेता बड़े, मध्यम और छोटे सेब क्रमशः 15, 10 और 5 रुपये की दर से बेचता है। कुछ सेब 3:2:5 के अनुपात में बेचे गए। तो एक सेब की औसत लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेचे गए सेबों की संख्या 3, 2, और 5 है।
कुल लागत = (3 × 15) + (2 × 10) + (5 × 5) = 45 + 20 + 25 = 90 रुपये।
कुल सेबों की संख्या = 3 + 2 + 5 = 10।
औसत लागत = कुल लागत / कुल सेब = 90 / 10 = 9 रुपये।
32. 53 रुपये को A, B, C में इस प्रकार बांटा गया है कि A को B से 7 रुपये अधिक मिलते हैं, B को C से 8 रुपये अधिक मिलते हैं। तो उनके हिस्सों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना C का हिस्सा = x रुपये।
तो B का हिस्सा = (x + 8) रुपये।
और A का हिस्सा = (x + 8) + 7 = (x + 15) रुपये।
कुल राशि: A + B + C = (x + 15) + (x + 8) + x = 53
3x + 23 = 53 => 3x = 30 => x = 10।
A = 25, B = 18, C = 10। अतः, अनुपात 25:18:10 है।
33. 3000 रुपये को A, B और C में इस प्रकार बांटा गया है कि A को B और C के कुल हिस्से का 1/3 मिलता है और B को A और C के कुल हिस्से का 2/3 मिलता है। तो C का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
हल:
A = (1/3)(B+C) => A : (B+C) = 1:3. तो, A का हिस्सा = (1 / (1+3)) × 3000 = (1/4) × 3000 = 750 रुपये।
B = (2/3)(A+C) => B : (A+C) = 2:3. तो, B का हिस्सा = (2 / (2+3)) × 3000 = (2/5) × 3000 = 1200 रुपये।
C का हिस्सा = कुल राशि - (A का हिस्सा + B का हिस्सा) = 3000 - (750 + 1200) = 3000 - 1950 = 1050 रुपये।
34. एक स्कूल में 1554 छात्र थे और लड़के-लड़कियों की संख्या का अनुपात 4:3 था। कुछ दिनों बाद 30 लड़कियां स्कूल में शामिल हो गईं। कुछ लड़कों ने स्कूल छोड़ दिया जिसके परिणामस्वरूप लड़के-लड़कियों का अनुपात 7:6 हो गया। स्कूल छोड़ने वाले लड़कों की संख्या क्या है?
हल:
प्रारंभिक लड़के = (4/7) × 1554 = 4 × 222 = 888।
प्रारंभिक लड़कियां = (3/7) × 1554 = 3 × 222 = 666।
नई लड़कियों की संख्या = 666 + 30 = 696।
माना नए लड़कों की संख्या B है। नए अनुपात के अनुसार: B/696 = 7/6।
B = (7/6) × 696 = 7 × 116 = 812।
स्कूल छोड़ने वाले लड़के = 888 - 812 = 76।
35. A और B के पास 2:1 के अनुपात में धन है। यदि A, B को 2 रुपये देता है, तो राशि का अनुपात 1:1 हो जाता है। तो शुरुआत में राशि क्या थी?
हल:
माना प्रारंभिक राशि 2x और x है।
प्रश्न के अनुसार: (2x - 2) / (x + 2) = 1/1।
2x - 2 = x + 2 => x = 4।
प्रारंभिक राशि: A = 2x = 8 रुपये, B = x = 4 रुपये।
36. यदि दो भाइयों की आयु का अनुपात 1:2 है और 5 साल पहले उनकी आयु का अनुपात 1:3 था, तो 5 साल बाद उनकी आयु का अनुपात ज्ञात कीजिए?
हल:
माना वर्तमान आयु x और 2x है।
5 साल पहले: (x - 5) / (2x - 5) = 1/3 => 3x - 15 = 2x - 5 => x = 10।
वर्तमान आयु 10 और 20 वर्ष है।
5 साल बाद उनकी आयु 15 और 25 वर्ष होगी। नया अनुपात = 15:25 = 3:5।
37. दो संख्याएं 5:7 के अनुपात में हैं। यदि दोनों में से 40 घटा दिया जाए, तो उनका अनुपात 17:27 हो जाता है। तो उनका अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना संख्याएं 5x और 7x हैं।
(5x - 40) / (7x - 40) = 17/27 => 27(5x - 40) = 17(7x - 40)।
135x - 1080 = 119x - 680 => 16x = 400 => x = 25।
संख्याओं का अंतर = 7x - 5x = 2x = 2 × 25 = 50।
38. तीन कक्षाओं में छात्रों का अनुपात 2:3:5 है। यदि प्रत्येक कक्षा में 40 छात्र बढ़ा दिए जाएं तो अनुपात 4:5:7 हो जाता है तो शुरुआत में कितने छात्र थे?
हल:
प्रत्येक अनुपात में वृद्धि = 2 (जैसे 4-2=2)। यह वृद्धि 40 छात्रों के बराबर है।
तो, 2 इकाई = 40 छात्र => 1 इकाई = 20 छात्र।
प्रारंभिक कुल छात्र = (2+3+5) इकाई = 10 इकाई = 10 × 20 = 200 छात्र।
39. यदि (x³ - y³) : (x² + xy + y²) = 5:1 और (x² - y²) : (x - y) = 7:1, तो 2x : 3y किसके बराबर है?
हल:
पहला समीकरण: (x-y)(x²+xy+y²)/(x²+xy+y²) = 5/1 => x - y = 5।
दूसरा समीकरण: (x-y)(x+y)/(x-y) = 7/1 => x + y = 7।
दोनों समीकरणों को हल करने पर: 2x = 12 => x = 6. y = 1।
2x : 3y = 2(6) : 3(1) = 12 : 3 = 4 : 1।
40. A और B की मासिक आय 5:6 के अनुपात में है और उनके खर्च 3:4 के अनुपात में हैं। यदि वे क्रमशः 1800 और 1600 रुपये बचाते हैं, तो B की मासिक आय ज्ञात कीजिए।
हल:
आय = 5x, 6x; खर्च = 3y, 4y।
5x - 3y = 1800; 6x - 4y = 1600।
समीकरणों को हल करने पर: x=1200। B की आय = 6x = 7200 रुपये।
41. एक बॉक्स में 180 रुपये, 1 रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के हैं। सिक्कों की संख्या का अनुपात 2:3:4 है तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए?
हल:
माना सिक्कों की संख्या 2x, 3x, 4x है।
कुल मूल्य = 1(2x) + 0.50(3x) + 0.25(4x) = 2x + 1.5x + 1x = 4.5x = 180।
x = 180 / 4.5 = 40।
50 पैसे के सिक्के = 3x = 3 × 40 = 120।
42. 378 सिक्कों के ढेर में एक रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के हैं। जिनका मूल्य 13:11:7 के अनुपात में है। तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मूल्य का अनुपात = 13x : 11x : 7x।
सिक्कों की संख्या का अनुपात = (13x/1) : (11x/0.5) : (7x/0.25) = 13x : 22x : 28x।
कुल सिक्के = 13x + 22x + 28x = 63x = 378 => x = 6।
50 पैसे के सिक्के = 22x = 22 × 6 = 132।
43. एक राशि को P, Q और R के बीच 2:7:9 के अनुपात में बांटा गया है। यदि P और Q का कुल हिस्सा R के बराबर है, तो P और Q के हिस्सों का अंतर ज्ञात कीजिए।
हल:
अनुपात P:Q:R = 2:7:9। P+Q = 2+7=9, जो R के बराबर है। यह जानकारी प्रश्न में दी गई है।
P और Q के हिस्सों का अंतर 7x-2x=5x होगा, लेकिन कुल राशि या किसी एक हिस्से का मान नहीं दिया गया है, इसलिए अंतर ज्ञात नहीं किया जा सकता।
44. 6, 7, 15, 17 प्रत्येक संख्या में एक संख्या जोड़ी जानी चाहिए ताकि चारों संख्याएँ समानुपाती हो जाएँ।
हल:
माना x जोड़ा गया। (6+x)/(7+x) = (15+x)/(17+x)।
(6+x)(17+x) = (7+x)(15+x) => 102+23x+x² = 105+22x+x² => x=3।
45. 6, 14, 18 और 38 में से प्रत्येक में एक संख्या जोड़ी जानी है ताकि नई संख्याएँ समानुपाती हो जाएँ।
हल:
माना x जोड़ा गया। (6+x)/(14+x) = (18+x)/(38+x)।
(6+x)(38+x) = (14+x)(18+x) => 228+44x+x² = 252+32x+x² => 12x=24 => x=2।
46. दो संख्याओं का योग और गुणनफल क्रमशः 12 और 35 हैं। उनके व्युत्क्रमों का योग क्या होगा?
हल:
व्युत्क्रमों का योग = (1/x) + (1/y) = (x+y)/xy = 12/35।
47. यदि a : b = b : c है तो a⁴ : b⁴ का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
a/b = b/c => b² = ac। तो b⁴ = a²c²।
a⁴ : b⁴ = a⁴ : a²c² = a² : c²।
48. प्रथम श्रेणी और द्वितीय श्रेणी के किराए 3:1 के अनुपात में हैं और प्रथम श्रेणी और द्वितीय श्रेणी में यात्रा करने वाले यात्री 1:50 के अनुपात में हैं। यदि किसी विशेष दिन कुल 1325 रुपये किराया वसूला जाता है, तो द्वितीय श्रेणी से वसूला गया कुल किराया ज्ञात कीजिए?
हल:
किराया वसूली का अनुपात = (3×1) : (1×50) = 3:50।
द्वितीय श्रेणी का किराया = (50 / (3+50)) × 1325 = (50/53) × 1325 = 50 × 25 = 1250 रुपये।
49. यदि p:q:r = 1:2:4 है तो √(5p² + q² + r²) किसके बराबर है?
हल:
माना p=k, q=2k, r=4k।
√(5k² + (2k)² + (4k)²) = √(5k² + 4k² + 16k²) = √25k² = 5k = 5p।
50. एक परीक्षा में उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण छात्रों का अनुपात 25:4 है। यदि 5 और छात्र आ जाते और अनुत्तीर्ण छात्र 2 कम हो जाते, तो उत्तीर्ण छात्रों का अनुत्तीर्ण छात्रों से अनुपात 22:3 हो जाता। तो परीक्षा में शामिल होने वाले छात्र ज्ञात कीजिए?
हल:
माना उत्तीर्ण 25x, अनुत्तीर्ण 4x। कुल छात्र = 29x।
नए कुल छात्र = 29x+5। नए अनुत्तीर्ण = 4x-2।
नए उत्तीर्ण = (29x+5) - (4x-2) = 25x+7।
(25x+7)/(4x-2) = 22/3 => 75x+21 = 88x-44 => 13x=65 => x=5।
प्रारंभिक छात्र = 29x = 29×5 = 145।
58. A और B ने 15000 रुपये और 20000 रुपये का निवेश किया। वर्ष के अंत में 7000 रुपये के लाभ में से A और B का हिस्सा अलग-अलग ज्ञात कीजिए?
हल:
A:B = 15000:20000 = 3:4।
A का हिस्सा = (3/7)×7000 = 3000। B का हिस्सा = (4/7)×7000 = 4000।
59. X और Y ने मिलकर एक व्यवसाय शुरू किया। वर्ष के अंत में उन्होंने लाभ को 2:3 के अनुपात में विभाजित किया। यदि X ने 40000 रुपये का भुगतान किया, तो Y ने कितना पैसा निवेश किया?
हल:
लाभ का अनुपात निवेश के अनुपात के बराबर होगा।
40000 / Y = 2/3 => Y = (40000 × 3) / 2 = 60000 रुपये।
60. प्रेम, दिनेश और बलराम ने 2700 रुपये, 8100 रुपये और 7200 रुपये का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। वर्ष के अंत में दिनेश ने 3600 रुपये लाभ का भुगतान किया, उनका कुल लाभ क्या था?
हल:
अनुपात = 2700:8100:7200 = 27:81:72 = 3:9:8।
दिनेश का हिस्सा 9 इकाई = 3600 => 1 इकाई = 400।
कुल लाभ = (3+9+8) इकाई = 20 इकाई = 20×400 = 8000 रुपये।
61. रवि ने 15,000 रुपये लगाकर एक व्यवसाय शुरू किया। तीन महीने बाद रमेश 45000 रुपये के साथ व्यापार में शामिल हो गया, यदि वर्ष के अंत में 5850 रुपये का लाभ हुआ, तो रवि और रमेश के लाभ के बीच का अंतर क्या होगा?
हल:
अनुपात = (15000×12) : (45000×9) = (15×12) : (45×9) = 180 : 405 = 4:9।
अंतर = ((9-4)/(9+4)) × 5850 = (5/13) × 5850 = 5 × 450 = 2250 रुपये।
62. A और B ने 12000 रुपये और 16000 रुपये का निवेश किया और 8 महीने बाद C भी 15000 रुपये के साथ इसमें शामिल हो गया। 2 साल बाद 45600 रुपये के लाभ में से C का हिस्सा क्या होगा?
हल:
अनुपात = (12000×24) : (16000×24) : (15000×16) = 288:384:240 = 6:8:5।
C का हिस्सा = (5/(6+8+5)) × 45600 = (5/19) × 45600 = 12000 रुपये।
63. A और B ने 10 महीने के लिए 30 रुपये प्रति माह किराए पर एक चारागाह खरीदा। यदि A की 10 गायें 9 महीने तक चरती हैं, तो B को शेष महीनों के लिए कितनी गायें चरानी चाहिए ताकि उसे A से 60 रुपये कम किराया देना पड़े?
हल:
कुल किराया = 30×10 = 300। A का किराया = (300+60)/2 = 180। B का किराया = 120।
किराए का अनुपात = 180:120 = 3:2। B 1 महीने के लिए चराता है।
(10×9) / (x×1) = 3/2 => 90/x = 3/2 => x = 60। (विकल्पों में त्रुटि हो सकती है)
64. A, B और C ने मिलकर एक सप्ताह के लिए 9800 रुपये में एक वीडियो शूटिंग यूनिट किराए पर ली। उन्होंने इसका उपयोग क्रमशः 12 घंटे, 6 घंटे और 10 घंटे के लिए किया। A को कितना किराया देना होगा?
हल:
अनुपात = 12:6:10 = 6:3:5।
A का किराया = (6 / (6+3+5)) × 9800 = (6/14) × 9800 = 4200 रुपये।
65. A, B, C ने मिलकर एक व्यवसाय शुरू किया। A ने कुल पूंजी का 1/3 हिस्सा योगदान दिया और B ने A और C के बराबर राशि का योगदान दिया। वर्ष के अंत में, 18,000 रुपये के लाभ में से C को कितना मिलेगा?
हल:
माना कुल पूंजी 6 है। A का हिस्सा=2। B=A+C, B-C=A=2। B+C=4।
हल करने पर B=3, C=1। अनुपात A:B:C=2:3:1।
C का हिस्सा = (1/6)×18000 = 3000 रुपये।
68. A और B ने क्रमशः 15000 रुपये और 12000 रुपये का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। A एक कामकाजी साझेदार होने के नाते 12.5% लाभ लेता है। शेष लाभ राशि उनके द्वारा निवेशित पूंजी के अनुपात में उनके बीच वितरित की जाती है। यदि एक वर्ष में कुल लाभ 21600 रुपये है, तो A को मिलने वाली राशि ज्ञात कीजिए।
हल:
A का कमीशन = 21600 का 12.5% = 2700। शेष लाभ = 18900।
पूंजी अनुपात = 15:12 = 5:4।
A का हिस्सा = 2700 + (5/9)×18900 = 2700 + 10500 = 13200 रुपये।
69. A, B और C ने संयुक्त रूप से एक व्यावसायिक उद्यम में खुद को संलग्न करने के बारे में सोचा। यह सहमति हुई कि A 6 महीने के लिए 6500 रुपये, B 5 महीने के लिए 8400 रुपये और C 3 महीने के लिए 10,000 रुपये का निवेश करेगा। A कामकाजी सदस्य बनना चाहता है, जिसके लिए उसे लाभ का 5% प्राप्त होना था। अर्जित लाभ 7400 रुपये था। लाभ में B का हिस्सा ज्ञात कीजिए।
हल:
A का कमीशन = 7400 का 5% = 370। शेष लाभ = 7030।
निवेश अनुपात = (6500×6):(8400×5):(10000×3) = 390:420:300 = 13:14:10।
B का हिस्सा = (14/37)×7030 = 14×190 = 2660 रुपये।
70. A, B और C 7/2 : 4/3 : 6/5 के अनुपात में एक साझेदारी में प्रवेश करते हैं। 4 महीने के बाद, A अपना हिस्सा 50% बढ़ा देता है। यदि एक वर्ष के अंत में कुल लाभ 21,600 रुपये है, तो लाभ में B का हिस्सा है:
हल:
प्रारंभिक अनुपात = 105:40:36। माना निवेश 105x, 40x, 36x।
लाभ अनुपात = [105x×4 + 1.5(105x)×8] : [40x×12] : [36x×12] = 1680:480:432 = 35:10:9।
B का हिस्सा = (10/54)×21600 = 4000 रुपये।
71. A, B, C एक व्यवसाय के लिए 50,000 रुपये सब्सक्राइब करते हैं। A, B से 4000 रुपये अधिक और B, C से 5000 रुपये अधिक सब्सक्राइब करता है। 35,000 रुपये के कुल लाभ में से, A को प्राप्त होता है:
हल:
C=x, B=x+5000, A=x+9000। 3x+14000=50000 => 3x=36000 => x=12000।
A=21000, B=17000, C=12000। अनुपात = 21:17:12।
A का हिस्सा = (21/50)×35000 = 21×700 = 14700 रुपये।
72. तीन साझेदारों ने एक व्यवसाय में लाभ को 5:7:8 के अनुपात में साझा किया। उन्होंने क्रमशः 14 महीने, 8 महीने और 7 महीने के लिए साझेदारी की थी। उनके निवेश का अनुपात क्या था?
हल:
निवेश अनुपात = (लाभ/समय) का अनुपात = (5/14) : (7/8) : (8/7)।
56 (LCM) से गुणा करने पर: 20 : 49 : 64।
73. A 3500 रुपये के साथ व्यवसाय शुरू करता है और 5 महीने के बाद, B उसके साथी के रूप में A के साथ जुड़ जाता है। एक वर्ष के बाद, लाभ को 2:3 के अनुपात में विभाजित किया जाता है। पूंजी में B का योगदान क्या है?
हल:
(3500×12) / (B×7) = 2/3 => 42000 / 7B = 2/3 => 6000/B = 2/3 => B=9000।
75. A और B ने 3:5 के अनुपात में कुछ राशि का निवेश करके एक साझेदारी व्यवसाय शुरू किया। C छह महीने के बाद B के बराबर राशि के साथ शामिल हो गया। एक वर्ष के अंत में लाभ को A, B और C के बीच किस अनुपात में वितरित किया जाना चाहिए?
हल:
अनुपात = (3x×12) : (5x×12) : (5x×6) = 36:60:30 = 6:10:5।
76. A, B, C एक चारागाह किराए पर लेते हैं। A 7 महीने के लिए 10 बैल, B 5 महीने के लिए 12 बैल और C 3 महीने के लिए 15 बैल चराने के लिए रखता है। यदि चरागाह का किराया 175 रुपये है, तो C को अपने हिस्से के किराए के रूप में कितना भुगतान करना होगा?
हल:
किराए का अनुपात = (10×7) : (12×5) : (15×3) = 70:60:45 = 14:12:9।
C का हिस्सा = (9 / (14+12+9)) × 175 = (9/35) × 175 = 9×5 = 45 रुपये।
77. A और B ने क्रमशः 20,000 रुपये और 15,000 रुपये का निवेश करके साझेदारी में एक व्यवसाय शुरू किया। छह महीने बाद, C 20,000 रुपये के साथ उनके साथ शामिल हो गया। व्यवसाय शुरू होने के 2 साल बाद अर्जित 25,000 रुपये के कुल लाभ में B का हिस्सा क्या होगा?
हल:
A, B, C के निवेश का अनुपात = (20000×24) : (15000×24) : (20000×18)
= 480000 : 360000 : 360000 = 48:36:36 = 4:3:3।
B का हिस्सा = (3 / (4+3+3)) × 25000 = (3/10) × 25000 = 7500 रुपये।
76. A, B, C एक चारागाह किराए पर लेते हैं। A 7 महीने के लिए 10 बैल, B 5 महीने के लिए 12 बैल और C 3 महीने के लिए 15 बैल चराने के लिए रखता है। यदि चरागाह का किराया 175 रुपये है, तो C को अपने हिस्से के किराए के रूप में कितना भुगतान करना होगा?
हल:
किराए का अनुपात = (10×7) : (12×5) : (15×3) = 70:60:45 = 14:12:9।
C का हिस्सा = (9 / (14+12+9)) × 175 = (9/35) × 175 = 9×5 = 45 रुपये।
77. A और B ने क्रमशः 20,000 रुपये और 15,000 रुपये का निवेश करके साझेदारी में एक व्यवसाय शुरू किया। छह महीने बाद, C 20,000 रुपये के साथ उनके साथ शामिल हो गया। व्यवसाय शुरू होने के 2 साल बाद अर्जित 25,000 रुपये के कुल लाभ में B का हिस्सा क्या होगा?
हल:
A, B, C के निवेश का अनुपात = (20000×24) : (15000×24) : (20000×18)
= 480000 : 360000 : 360000 = 48:36:36 = 4:3:3।
B का हिस्सा = (3 / (4+3+3)) × 25000 = (3/10) × 25000 = 7500 रुपये।
77. A और B ने क्रमशः 20,000 रुपये और 15,000 रुपये का निवेश करके साझेदारी में एक व्यवसाय शुरू किया। छह महीने बाद, C 20,000 रुपये के साथ उनके साथ शामिल हो गया। व्यवसाय शुरू होने के 2 साल बाद अर्जित 25,000 रुपये के कुल लाभ में B का हिस्सा क्या होगा?
हल:
A का निवेश = 20000 × 24 महीने
B का निवेश = 15000 × 24 महीने
C का निवेश = 20000 × 18 महीने
अनुपात = (20×24) : (15×24) : (20×18) = 480 : 360 : 360
120 से विभाजित करने पर = 4 : 3 : 3.
B का हिस्सा = (3 / (4+3+3)) × 25000 = (3/10) × 25000 = 7500 रुपये।
78. अमन ने 70,000 रुपये का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। राखी छह महीने बाद 1,05,000 रुपये की राशि के साथ उसके साथ शामिल हो गई और सागर अगले छह महीने बाद 1.4 लाख रुपये के साथ उनके साथ शामिल हो गया। अमन के व्यवसाय शुरू करने के 3 साल बाद अर्जित लाभ की राशि को क्रमशः अमन, राखी और सागर के बीच किस अनुपात में वितरित किया जाना चाहिए?
हल:
कुल समय = 36 महीने
अमन का निवेश = 70,000 × 36
राखी का निवेश (6 महीने बाद) = 1,05,000 × 30
सागर का निवेश (और 6 महीने बाद) = 1,40,000 × 24
अनुपात = (70000×36) : (105000×30) : (140000×24)
= (70×36) : (105×30) : (140×24)
= 2520 : 3150 : 3360
210 से विभाजित करने पर = 12 : 15 : 16
78. अमन ने 70,000 रुपये का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। राखी छह महीने बाद 1,05,000 रुपये की राशि के साथ उसके साथ शामिल हो गई और सागर अगले छह महीने बाद 1.4 लाख रुपये के साथ उनके साथ शामिल हो गया। अमन के व्यवसाय शुरू करने के 3 साल बाद अर्जित लाभ की राशि को क्रमशः अमन, राखी और सागर के बीच किस अनुपात में वितरित किया जाना चाहिए?
हल:
कुल समय = 36 महीने
अमन का निवेश = 70,000 × 36
राखी का निवेश (6 महीने बाद) = 1,05,000 × 30
सागर का निवेश (और 6 महीने बाद) = 1,40,000 × 24
अनुपात = (70000×36) : (105000×30) : (140000×24)
= (70×36) : (105×30) : (140×24)
= 2520 : 3150 : 3360
210 से विभाजित करने पर = 12 : 15 : 16
79. सिमरन ने 50,000 रुपये का निवेश करके एक सॉफ्टवेयर व्यवसाय शुरू किया। छह महीने के बाद, नंदा 80,000 रुपये की पूंजी के साथ उसके साथ जुड़ गई। 3 साल के बाद, उन्होंने 24,500 रुपये का लाभ कमाया। लाभ में सिमरन का हिस्सा क्या था?
हल:
सिमरन का निवेश = 50,000 रुपये 36 महीने (3 साल) के लिए।
नंदा का निवेश = 80,000 रुपये 30 महीने (3 साल - 6 महीने) के लिए।
लाभ का अनुपात (सिमरन : नंदा) = (50000 × 36) : (80000 × 30)
= (5 × 36) : (8 × 30) = 180 : 240 = 3 : 4
अनुपातिक योग = 3 + 4 = 7
सिमरन का हिस्सा = (3 / 7) × 24500 = 3 × 3500 = 10,500 रुपये